បណ្តុំលំហាត់ទី12

lim លំហាត់លីមីតនៃអនុគមន៍

គណនាលីមីតខាងក្រោម៖

១. $\lim_{x\to 0}\frac{e^x+1}{2e^x}$

២. $\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}$

៣. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt{3}(\frac{\pi}{3}-x)}{\sin(x-\frac{\pi}{3})}$

៤. $\lim_{x\to 0}(2e^{3x}-xe^{2x}+2e^x+4)$

៥. រកតម្លៃ $a$ ដែល $\lim_{x\to +\infty} \frac{8x^2-x+1}{ax^2+8}=1$

៦. $\lim_{x\to -\infty}(x+\sqrt{x^2+9})$

៧. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - \sin x \cos x}{x^3}$

៨. តាង $X = \frac{1}{x}$ រួចគណនា $\lim_{x\to \infty} [x\ln(1+\frac{1}{x})]$ គេដឹងថា $\lim_{X\to 0}\frac{\ln(1+X)}{X}=1$

៩. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin^2 x}{2+2\sin x}$

១០. $\lim_{x\to 3}\frac{x^3-27}{27(\sqrt{x+6}-3)}$

១១. $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{3x^2-11}}{x}$

១២. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt{3}\sin(x-\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi}{3}-x}$

១៣. $\lim_{x\to +\infty}(2x-7-11\ln x)$

១៤. $\lim_{x\to +\infty} [\sqrt{x^2+2x+3}-(x+1)]$

១៥. $\lim_{x\to 0} \frac{-2x\sin x}{1-\cos^2 x}$

១៦. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin x}{\sin^4 x - 1}$

១៨. $\lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-2)+x^2+x-1}{1-x}$

១៨. $\lim_{x\to 0} \frac{-2x}{\sin 3x}$

១៩. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{2(\pi - 3x)}$

២០. $\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{x^3-x^2+x-1}$

២១. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{-x}$

២២. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{\sin x}$

២៣. $\lim_{x\to 1}\frac{1-x^2}{x^2+2-3x}$

២៤. $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^3-27}$

២៥. $\lim_{x\to 0}\frac{5\sin 5x}{x}$

២៦. $\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{\sqrt{x+2}-2}$

២៧. $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{\sin^2 x}$

២៨. $\lim_{x\to 0}\frac{3\sin 3x}{x}$

២៩. $\lim_{x\to 1}\frac{x^3-x^2+x-1}{x-1}$

៣០. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 x - 1}{1+\sin x}$

៣១. $\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)$

៣២. $\lim_{x\to 0}\frac{(e^x+e^{-x})\sin^2 x}{2x^2}$

៣៣. $\lim_{x\to +\infty}\left[\ln(x+2)-\ln x-\frac{2}{x+2}+\frac{1}{x}\right]$

៣៤. $\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\frac{\pi}{4}-x}$

៣៥. $\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin 5x}{\sqrt{5-x}-\sqrt{x+5}}$

៣៦. $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 3x}{-2x^2}$

៣៧. $\lim_{x\to 0}\frac{x^2-x}{|x|}$

៣៨. $\lim_{x\to 1} (7-5x-2x^2)$

៣៩. $\lim_{x\to e} \frac{\ln^2 x - 1}{1-\ln x}$

៤០. $\lim_{x\to 4} \frac{2-\sqrt{x}}{x-4}$

៤១. $\lim_{x\to 0} \frac{x}{e^{2x}+e^{3x}}$

៤២. $\lim_{x\to -2} \frac{x^2-4}{x+2}$

៤៣. $\lim_{x\to e} [(\ln x)^2-2\ln x+1]$

៤៤. $\lim_{x\to +\infty} \frac{5x-3x^2}{x^2+x+1}$

៤៥. $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}$

៤៦. $\lim_{x\to +\infty} (3x^2-x)$

៤៧. $\lim_{x\to 2} \frac{4(\sqrt{x+2}-2)}{4-x^2}$

៤៨. $\lim_{x\to \infty} e^x\left(-x^2+\frac{1}{x}\right)$

៤៩. $\lim_{x\to 0} (e^{2x}-2e^x+1)$

៥០. $\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

៥១. $\lim_{x\to +\infty} \frac{3-x}{2x-1}$

៥២. $\lim_{x\to -1} (-x^3+x^2-2x-4)$

៥៣. $\lim_{x\to +\infty} \frac{2x-1}{3-x}$

៥៤. $\lim_{x\to +\infty} e^x\left(-x^2+\frac{1}{x}\right)$

៥៥. $\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{2(x^2-1)}$

៥៦. $\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+x+1}{2x^2-x+1}$

៥៧. $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{2e^x}$

៥៨. $A = \lim_{x\to 3} \frac{x^4+6x+1}{x^2+1}$

៥៩. $B = \lim_{x\to +\infty} \frac{x-1}{(x+1)^2}$

៦០. $C = \lim_{x\to +\infty} (x^2+2-\ln x)$

៦១. $\lim_{x\to +\infty} \frac{x^3+x+1}{x^2+1}$

៦២. $\lim_{x\to 3} \frac{x^3-27}{\sqrt{x+6}-3}$

៦៣. $\lim_{x\to 0} \frac{e^x+e^{-x}}{2}$

៦៤. $\lim_{x\to 1} (3x^3-4x)$

៦៥. $\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{\sqrt{x+2}-2}$

៦៦. $\lim_{x\to +\infty} (\ln x - x^2)$

៦៧. $\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$

៦៨. $\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

៦៩. $ \lim_{x\to -\infty} \frac{(2x^2-3)(1-x)}{(5+2x)(2-x^2)}$

ខ) ៧០. $ \lim_{x\to 1} \frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}$

៧១. $ \lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{x-1}$

៧២. $ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}$

៧៣. $ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi-2x}{\cos x}$

៧៤. ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^7-1}{x^2-4x+3}$ ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{1-\cos x}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{e^{2021x}-\cos 2020x}{\sin x}$

៧៥. 1. $\lim_{x\to -1} \frac{2x^2-x-3}{x^3+2x^2+6x+5}$ 2. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{x^2+x}$ 3. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi - 2x}{\cos x}$ 4. $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x^2-1}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2+2x-4}}$

៧៦. $A = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{1-\cos x}$ , $B = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}$ , $C = \lim_{x\to 1} \frac{x^2+x-2}{x^2-1}$

៧៧. 1. $\lim_{x\to 2} \frac{x^3+4x-16}{x^2+3x-10}$ 2. $\lim_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin^2 x - 3\sin x + 1}{4\sin^2 x - 1}$ 3. $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x}{x^2}$

៧៨. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x \cos 4x \cos 7x}{x^2}$ ខ. $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[2021]{x} - 1}{x - 1}$ គ. $\lim_{x\to 0} (1 + 4\tan^2 x)^{\cot^2 x}$

៧៩. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to -1} \frac{1+x}{\sqrt{x^2+3}-2}$ ខ. $\lim_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{x} + \ln x\right)$ គ. $\lim_{x\to +\infty} (x - e^x + \ln x)$

៨០. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^7 - 2x^5 + 1}{x^3 - 3x^2 + 2}$ ខ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{1-\cos 6x}}{\sqrt{2}(\frac{\pi}{3}-x)}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1+\cos x}}{\sin^2 x}$

៨១. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ 1. $\lim_{x\to 1} \frac{2x^2-3x+1}{\sqrt{x+3}-2}$ 2. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x + e^x - 1}{x+x^2}$ 3. $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{4x^2+3}-2x)$

៨២. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to 2} \frac{(x^2-x-2)^{20}}{(x^3-12x+16)^{10}}$ ខ. $\lim_{x\to a} \frac{x\sqrt{x} - a\sqrt{a}}{x^2-a^2}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{e^{2019x} - \sin 3x - 1}{x}$

៨៣. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $A = \lim_{x\to \sqrt{3}} \frac{x^3-3\sqrt{3}}{x^2-3}$ ខ. $B = \lim_{x\to 0} \frac{e^{5x+3}-e^3}{2x}$ គ. $C = \lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

៨៤. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $A = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+3}}$ ខ. $B = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{\sin x}$ គ. $C = \lim_{x\to 0} \frac{(e^{\sin x}-1)(1-\cos 2x)}{\sin^3 x}$ ឃ. $D = \lim_{x\to +\infty} \left(2-\ln\frac{2x-1}{2x}\right)$

៨៥. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to 0} \frac{2021x-\sin 2023x}{2020x+\sin 2025x}$ ខ. $\lim_{x\to 2} \frac{5x^2-20}{\sqrt[3]{3x+2}-2}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{e^{2021x}-e^{-2021x}}{\sin 2x}$

៨៦. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}$ ខ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi-2x}{\cos x}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{(e^x-1)(1-\cos 2x)\sin x}{x^4}$

៨៧. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x^2-x+3}-x+1)$ ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{-3x\sin x}{\cos^2 x - 1}$ គ. $\lim_{x\to \pi} \frac{2(1+\cos x)}{\cos^4 x - 1}$

៨៨. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to -1} \frac{\sqrt{2+x}-1}{\sqrt{5+x}-2}$ ខ. $\lim_{x\to 1} \frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}$ គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\sin 3x}$

៨៩. គណនាលីមីតៈ ក. $\lim_{x\to 1} \frac{\ln x + 1}{x^2}$ ខ. $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{\sqrt{x}-1}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sin 3x}$

៩០. គណនាលីមីតៈ ក. $\lim_{x\to 2} \left(x^2 + \cos \frac{\pi x}{4}\right)$ ខ. $\lim_{x\to -1} \frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$ គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin(x-\frac{\pi}{6})}{\sqrt{3}-2\cos x}$

៩១. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$ ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 3x}{\sin 2x}$ គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{2x-\frac{\pi}{2}}{\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}$

៩២. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to 2}\frac{x^3-2x^2-4x+8}{3x^2-4x-4}$ ខ. $\lim_{x\to -3}\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6+x}}{x+3}$ គ. $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{-5x^2}$

៩៣. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to -1}\frac{x^3+x+2}{2x^2+3x+1}$ ខ. $\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{\sqrt{3}-\sqrt{1+x}}$ គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}$

៩៤. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to -1} \frac{3x^2-x-4}{1-x^2}$ ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{5\sin x}{\sqrt{5}-\sqrt{5+x}}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{-x^2}$ ឃ. $\lim_{x\to \pi} \frac{1-\cos^2 x}{\cos x + 1}$

៩៥. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1}$ ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 2x}{2x^2}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{\sin 5x}$

៩៦. គណនាលីមីត: ក. $\lim_{x\to -1} \frac{3x^3+2x^2+1}{1-x^2}$ ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{-2\sin 3x}{\sqrt{2x+1}-\sqrt{1+x}}$ គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{2(3x-\frac{\pi}{2})}{\cos x - \sqrt{3}\sin x}$

៩៧. កំណត់តម្លៃ $a$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2x^2-4}-2}{x^2-4} & \text{បើ } x > 2 \\ ax^2+1 & \text{បើ } x \le 2 \end{cases}$ ជាប់ត្រង់ $x=2$ ។

៩៨. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x-1}, x \neq 0$ ។ កំណត់អនុគមន៍ $g$ ជាបន្លាយជាប់នៃ $f$ ត្រង់ $x=0$ ។

៩៩. គណនាលីមីត៖ a) $\lim_{x\to 2} \frac{x-2}{\sqrt{x^2-2}-\sqrt{2}}$ b) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+4x}-\sqrt{1-4x}}$ c) $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x^2+6x}-\sqrt{x^2+1})$ d) $\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\sin 2x}{(2x-\frac{\pi}{2})^2}$

១០០. គណនាលីមីត៖ a) $\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x-2}-5}{3x^2-9x}$ b) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x \cos 2x}{x^2}$ c) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{2\sin^2 x - 3\sin x + 1}{\cos^2 x}$ d) $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x^2+4}-\sqrt{x^2-6x+1})$

១០១. គណនាលីមីត: a) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2-2x}{\sqrt{x^3+1}-3}$ b) $\lim_{x\to 0} \frac{x\sin 3x}{\sqrt{9x^2+4}-2}$ c) $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{2\cos 2x+1}{2\cos^2 x - 3\cos x + 1}$ d) $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x^2+x-5}-x+4)$

១០២. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{e^x+\cos 2x - 2}{2x}$ ចំពោះ $x \neq 0$ និង $f(0) = \frac{a+5}{4040}$ ។ ១. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ ។ ២. កំណត់តម្លៃ $a$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ $f$ ជាប់ត្រង់ $x=0$ ។

១០៣. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{1-\sin x - e^{-x}}{x^2+x}$ ចំពោះ $x \neq 0$ និង $f(0) = \frac{3-m}{1006}$ ។ ១. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ ។ ២. កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ $f$ ជាប់ត្រង់ $x=0$ ។

១០៤. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ដូចខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-e^{-x}+\sin 2x}{x-x^2}$ , $B = \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt{2x-4}-2}{\sqrt{x+1}-3}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} (x^2+x)\cdot\sin\left(\frac{1}{x^2+x}\right)$

១០៥. គណនាលីមីត: $A = \lim_{x\to +\infty} (2x+1+\sqrt{x^2+x-2})$, $B = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{2\sin^2 x - 1}{4x-\pi}$

១០៦. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $f(x) = \begin{cases} \frac{3+x}{x^2+1} & \text{បើ } x \le a \\ \frac{1}{x} & \text{បើ } x > a \end{cases}$ ។ រកតម្លៃ $a$ ដោយដឹងថា $f$ ជាប់ត្រង់ $x=a$ ។

១០៧. គណនាលីមីត: $A = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4+\sin \pi x}{x-2}$, $B = \lim_{x\to +\infty} \frac{xe^{-x}(\ln x + e^{-2x})}{x}$, $C = \lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x^2}$

១០៨. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \begin{cases} 2-x & \text{បើ } x \le 1 \\ x^2+2x-2 & \text{បើ } x > 1 \end{cases}$ ។ សិក្សាភាពជាប់នៃអនុគមន៍ $f$ លើ $\mathbb{R}$ ។

១០៩. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-4} & \text{បើ } x > 2 \\ ax^2+1 & \text{បើ } x \le 2 \end{cases}$ ។ ១. គណនា $\lim_{x\to 2^-} f(x)$ និង $\lim_{x\to 2^+} f(x)$ ។ ២. កំណត់តម្លៃ $a$ ដើម្បីឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ $x=2$ ។

១១០. គណនាលីមីត៖ ក. $A = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2026x - 2x}{\sin 2025x - x}$ ខ. $B = \lim_{x\to 0} \frac{(x^2+2026)\sqrt{2x+1}-2026}{x}$ គ. $C = \lim_{x\to 0} \frac{x(1-\cos x)}{\tan^3 x}$

១១១. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to -2} \frac{x^2+ax-6}{2x^2+3x-2} = b$ ខ. $\lim_{x\to +\infty} \frac{ax^2+bx+8}{2x-3} = 3$

១១២. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{x+2}}{-2x}$ ខ. $\lim_{x\to +\infty} \frac{2e^x-x}{1+e^x}$ គ. $\lim_{x\to 1} \frac{3x^2-\sqrt{2x^2+7}}{x^2-1}$

១១៣. 1. គណនាលីមីត: $A = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x + \cos x}{1-\sin x - \cos x}$ , $B = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x \cos 2x}{x^2}$ ។ 2. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}-\{0\}$ ។ គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ ដោយដឹងថា $\frac{1}{x^2} \le f(x) \le \frac{1}{x^2} + 1$ ។

១១៤. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^3-3x+2}{\sqrt{2x-1}-1}$ ខ. $\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2 x}{1-\sqrt{\cos x}}\right)$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{1-e^{\sin^2 x}\sqrt{\cos x}}{2x^2}$ ឃ. $\lim_{x\to +\infty} \left[\ln\sqrt{x^2} - \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) - x\right]$

១១៥. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-1)-x^3+1}{x^2(4x-3)+x-2}$ ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{2-\cos^2 x - \cos 2x}{-2x^2}$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{5-\sin x} - \sqrt{5+\sin x}}{5x}$ ឃ. $\lim_{x\to +\infty} \left[\ln(2x-1) - \ln x + \frac{9}{4}\right]$

១១៦. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to 2} \frac{x^3-2x^2+2x-4}{x^2-6x+8}$ ខ. $\lim_{x\to 1} \left(\frac{2}{1-x^2} - \frac{3}{1-x^3}\right)$ គ. $\lim_{x\to 0} \frac{1+x-\sqrt{2x+1}}{x^2}$ ឃ. $\lim_{x\to 0} \frac{|x|+\sin x}{x}$

១១៧. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x}{\sqrt{x+1}} - \frac{x}{\sqrt{x+2}}\right)$ ខ. $\lim_{x\to 2} \left(\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}\right)$ គ. $\lim_{x\to 1} \frac{x+\cos(\pi x)}{x^2-1}$ ឃ. $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt[3]{x^2+4}-2}{2-\sqrt{x+2}}$

១១៨. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{4x^2+x+2} - \sqrt{2x^2-x+3})$ ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{2x-\sin x}{\sqrt{1-\cos 2x}}$ គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{2(3x-\pi)}$ ឃ. $\lim_{x\to -1} \frac{x^2+2x+1}{1-\sqrt{x+2}}$

១១៩. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x})$ , $B = \lim_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3}\sin x - \cos x}{6x-\pi}$ , $C = \lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x^3+1}-3}{\sqrt{x^2+5}-3}$ , $D = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{1-\sin^3 x}$

១២០. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8-4(x-2)}{x^2-4}$ , $B = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x}{4x-\pi}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} \frac{2e^x-1}{x^2+x-3}$ , $D = \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2 2x - \sin^2 2x}{x^4}$

១២១. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-2)+x^2+x-1}{1-x}$ , $B = \lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{2(\pi-3x)}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x+x-\ln^2 x}{e^x-2x}$ , $D = \lim_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{(6x-\pi)\sin 6x}{3-4\cos^2 x}$

១២២. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sin x}$ , $B = \lim_{x\to 2} \frac{\sin \pi x}{\sqrt[3]{x+6}-2}$ , $C = \lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin x} - e^{\sin 2x}}{-2x}$ , $D = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{(2x-\pi)\cos 3x}{\cos^2 x}$

១២៣. គណនាលីមីត៖ ក. $\lim_{x\to 3} \left(\frac{2-x}{x^2-9} - \frac{x-1}{x-3}\right)$ ខ. $\lim_{x\to \pi^+} \frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sin x}$ គ. $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x \ln x + x^2}{2x^2-1}$ ឃ. $\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x^2-2x+2)}{x^3-3x+2}$

១២៤. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 1} \frac{x(x-1)-2x+2}{x^2-1}$ , $B = \lim_{x\to 0} \frac{3x^2}{1-\cos^2 x}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} \frac{x\ln x+x^2}{2x^2-1}$

១២៥. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 1} \frac{\sin(2021x)-2x}{\sin(2020x)-x}$ , $B = \lim_{x\to 0} \frac{(x^2+2020)\sqrt{2x+1}-2020}{x}$ , $C = \lim_{x\to 0} \frac{x(1-\cos x)}{\tan^3 x}$

១២៦. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\frac{\pi}{4}-x}$ , $B = \lim_{x\to 0} \frac{-2\sin 5x}{\sqrt{5-x}-\sqrt{x+5}}$ , $C = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 3x}{-2x^2}$ , $D = \lim_{x\to 0} \frac{x^2-x}{|x|}$

១២៧. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sqrt{5x}}$ , $B = \lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x})$ , $C = \lim_{x\to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$ , $D = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x-\sqrt{3}\cos x}{\sin 3x}$

១២៨. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}$ , $B = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}$ , $C = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2+\sin x}-\sqrt{2-\sin x}}{x}$

១២៩. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-\cos x}{x^2}$ , $B = \lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{3x}$ , $C = \lim_{x\to 0} \frac{2\sin x \cos x}{1-\cos x}$ , $D = \lim_{x\to 2} \frac{\sqrt[3]{8x+11}-\sqrt{x+7}}{x^2-3x+2}$

១៣០. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 1} \left(\frac{4}{1-x} - \frac{1}{1-x^3}\right)$ , $B = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{2x+3}$

១៣១. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{2+x-3x^2}$ , $B = \lim_{x\to 3} \frac{4-\sqrt{x^2+7}}{x^2-9}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} (2x-\sqrt{4x^2+x-1})$ , $D = \lim_{x\to \pi} \frac{\sin \pi x}{x^2-\pi^2}$

១៣២. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-e^{-x}+\sin 2x}{x-x^2}$ , $B = \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt{2x-4}-2}{\sqrt{x+1}-3}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} (x^2+x)\sin\left(\frac{1}{x^2+x}\right)$

១៣៣. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 1} \frac{1-\sin^3 x}{\sqrt{2-\sqrt{1+\sin x}}}$ , $B = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{2x^2+x+e^x}}{2e^x+3}$ , $C = \lim_{x\to 1} \frac{2\ln^2 x-3\ln x+1}{1-\ln^3 x}$

១៣៤. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ ក. $\lim_{x\to 1} \left(\frac{4}{1-x^4} - \frac{1}{1-x}\right)$ ខ. $\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{2x+3}$

១៣៥. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 1} \frac{x^3-x^2+x-1}{x^2-1}$ , $B = \lim_{x\to 3} \frac{4-\sqrt{x^2+7}}{x-3}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} (2x-\sqrt{4x^2+x-1})$ , $D = \lim_{x\to \pi} \frac{\sin \pi x}{x^2-\pi^2}$

១៣៦. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-e^{-x}+\sin 2x}{x-x^2}$ , $B = \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt{2x-4}-2}{\sqrt{x+1}-3}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} (x^2+x)\sin\left(\frac{1}{x^2+x}\right)$ , $D = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)^2}{x\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+1}$

១៣۷. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{1-\sin^3 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\sin x}}$ , $B = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{2x^2+x+e^x}}{2e^x+3}$ , $C = \lim_{x\to 1} \frac{2\ln^2 x - 3\ln x+1}{1-\ln^3 x}$

១៣៨. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x^2-2}-\sqrt{2}}{x^2-4}$ , $B = \lim_{x\to a} \frac{\cos x - \cos a}{\sin x - \sin a}$ , $C = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}$ , $D = \lim_{x\to +\infty} [x\ln(1+x)-x\ln x]$

១៣៩. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 1} \frac{x(x-1)-2x+2}{x^2-1}$ , $B = \lim_{x\to 0} \frac{3x^2}{1-\cos^2 x}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} \frac{x\ln x+x^2}{2x^2-1}$

១៤០. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8-4(x-2)}{x^2-4}$ , $B = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x}{4x-\pi}$ , $C = \lim_{x\to +\infty} \frac{2e^x-1}{x^2+x-3}$ , $D = \lim_{x\to 0} \frac{\tan^2 2x - \sin^2 2x}{x^4}$

១៤១. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+\sin^2 x}-\cos x}{x^2}$ , $B = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+x+2}}{\sqrt{x^2+x+2}}$ , $C = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin^2 x \cos 2x}{(\frac{\pi}{2}-x)^2}$ , $D = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{2\sin^2 x - 1}{\frac{\pi}{4}-x}$

១៤២. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sqrt{5}x}$ , $B = \lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x})$ , $C = \lim_{x\to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$ , $D = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\sin 3x}$

១៤៣. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖ $A = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}$ , $B = \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}$ , $C = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2+\sin x}-\sqrt{2-\sin x}}{x}$

∫ លំហាត់អាំងតេក្រាល

គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖

១. ក. $I = \int_0^1(2-x+2x^2)dx$ ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\cos 4x - \cos 2x}{2}\right)dx$ គ. គេមាន $f(x) = \frac{x^2-1}{2x-1}$ បង្ហាញថា $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4(2x-1)}$ គណនា $K = \int_{-1}^0 f(x)dx$ ។

២. ក. $I = \int_1^e \left(2x+1+\frac{\ln x}{x}\right)dx$ ខ. $J = \int_1^2 \frac{6x^2+4x}{x^3+x^2-1}dx$ គ. $K = \int_0^1 (x^2+1)^7 x dx$ ឃ. $L = \int_0^\frac{\pi}{4} (2\cos 2x - \cos 4x)dx$

៣. ក. $I = \int_0^1 (x-1)(x+3)dx$ ខ. $J = \int_0^\frac{\pi}{2} 5\sin^4 x \cos x dx$ គ. $K = \int_0^1 \left(\frac{3}{2x+1}\right)dx$

៤. ក. $I = \int_0^1 (3x^2-2x+1)dx$ ខ. $J = \int_0^1 \left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)dx$ គ. $K = \int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2} (\sin^3 x \cos x)dx$

៥. ក. $I = \int_0^1 (x^2+1)^2 dx$ ខ. $J = \int_0^{\ln 6} (e^x-1)dx$ គ. $K = \int_0^\pi \left[\sin\left(3x+\frac{\pi}{2}\right) + \sin^4 x \cos x\right]dx$

៦. ក. $I = \int_1^2 (2-x+x^2)dx$ ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{\cos 2x - \cos 4x}{2}\right]dx$ គ. $K = \int_0^3 \left(3x-2+\frac{1}{x+1}\right)dx$

៧. ក. $I = \int_1^2 (x-2+3x^2)dx$ ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x - \cos x)dx$ គ. $K = \int_0^1 \frac{x^3+(x+1)^2}{x^2+1}dx$ ។ (ដើម្បីគណនា $K$ យើងត្រូវបង្ហាញថា $\frac{x^3+(x+1)^2}{x^2+1} = x+1+\frac{x}{x^2+1}$)

៨. ក. $I = \int_0^1 (6x^2-3x-1)dx$ ខ. $J = \int_0^\pi (1-2\sin^2 x)dx$ គ. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}^*$ ដោយ $f(x) = -2\left(\frac{x+1}{x^2}\right)$ ។ បង្ហាញថា $f(x) = -\frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}$ ។ គណនា $K = \int_1^e f(x)dx$ ( $\ln e = 1$ )។

៩. ក. $I = \int_1^2 \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} + 3\right)dx$ ខ. គេមានអនុគមន៍ $f(x) = \frac{2-x}{(x-1)^2}$ បង្ហាញថា $f(x) = -\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$ ។ គណនា $K = \int_{-1}^0 f(x) dx$

១០. ក) $I = \int_{-1}^1 (2x^3-x^2+2x-1)dx$ ខ) $J = \int_1^e \left(\frac{2}{x}+e^x\right)dx$ គ) $K = \int_{-1}^0 \left[\frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}\right]dx$

១១. ក) $I = \int_2^4 (x-1)dx$ ខ) $J = \int_0^{\ln 6} (e^x-1)dx$ គ) $K = \int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$

១២. ក) a. $\int_0^1 (1-x+x^2)dx$ ខ) b. $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x+1}dx$ គ) c. $\int_0^1 \left[\frac{e^x}{e^x+1} + \frac{1}{1+e^x}\right]dx$

១៣. ក) $A = \int_0^1 [(x^2-3x+1) + (2x+1)]dx$ ខ) $B = \int_1^3 \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$

១៤. ក) $A = \int_0^1 (x^2+x+1)dx$ ខ) $B = \int_1^2 \left(\frac{4}{x^2}\right)dx$

១៥. ក) $A = \int_0^1 (2-3x+x^2)dx$ ខ) $B = \int_0^1 \left(2x-\frac{1}{x+e}\right)dx$ គ) $C = \int_{-1}^0 \left[2-\frac{1}{(x-1)^2}\right]dx$

១៦. ក) $I = \int_1^2 (3x^2-2x+3)dx$ ខ) $J = \int_0^1 (e^{2x}-e^x+1)dx$ គ) $K = \int_1^2 \left(\frac{1}{x+3} + \frac{1}{x^2}\right)dx$

១៧. ក) $I = \int_0^1 (3x^2+2x+1)dx$ ខ) $J = \int_0^1 (2e^x-1)dx$ គ) $K = \int_1^2 \left(x+\frac{1}{x^2}\right)dx$

១៨. ក) $I = \int_{-1}^2 (1-3x^2)dx$ ខ) $J = \int_1^3 \frac{1}{x^2} dx$ គ) $K = \int_0^1 \left(\frac{1}{x+e}-1\right)dx$

១៩. ក) គណនា $I = \int_{-2}^3 (3x^2+3x-1)dx$ ខ) គេមាន $f(x) = \frac{1+2x}{(x^2-4x)+(4-x)}$ បង្ហាញថា $f(x) = \frac{1}{1-x}-\frac{3}{4-x}$ រួចគណនា $J = \int_2^3 f(x)dx$

២០. ក) គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_1^5 (x^2+2x-3)dx$ ខ) បង្ហាញថាគ្រាប់ចំនួនពិត $x \neq 1$ គេមាន $\frac{2x^2-3x+2}{x-1} = 2x-1+\frac{1}{x-1}$ រួចទាញរក $I = \int_2^3 \frac{2x^2-3x+2}{x-1}dx$

២១. គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖ ក. $\int (x^2+2x-3)dx$ ខ. $\int \frac{e^x}{1-e^x} dx$ គ. $\int \ln x dx$ ឃ. $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

២២. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ត្រង់ $x>0$ ដោយ $f(x) = \frac{3x^2+4x-25}{x^2+x-6}$ ។ 1. កំណត់តម្លៃ $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឱ្យ $f(x) = a + \frac{b}{x+3} + \frac{c}{x-2}$ ។ 2. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int f(x)dx$ ។

២៣. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $A = \int \frac{2x+7}{x^2-1} dx$ , $B = \int_e^{e^2} \frac{dx}{x\ln x}$ , $C = \int xe^x dx$

២៤. គណនាអាំងតេក្រាល៖ 1. $I = \int \frac{3x^2+5x-4}{(x-1)(x+1)^2} dx$ 2. $J = \int \frac{3(x^2-2x+3)}{(x-1)(x+2)^2} dx$ 3. $K = \int \cos^3 x dx$

២៥. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{(2x-1)^2}{x}$ ចំពោះគ្រប់តម្លៃ $x \neq 0$ ។ ក. ចូរកំណត់តម្លៃ $A, B$ និង $C$ ដើម្បីអោយ $f(x) = Ax + B + \frac{C}{x}$ ។ ខ. គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ $\int_1^2 f(x)dx$ ។

២៦. គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = \frac{x+1}{x^2-3x+2} ; x \neq 1, x \neq 2$ ។ 1. សរសេរ $f$ ជារាង $f(x) = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$ ដែល $a, b$ ជាចំនួនពិតត្រូវកំណត់។ 2. គណនា $\int_0^3 f(x)dx$ ។

២៧. គេមានអាំងតេក្រាល $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x \cos^4 x dx$ និង $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x \sin^4 x dx$ ។ គណនា $I+J ; I-J$ រួចទាញរក $I$ និង $J$ ។

២៨. គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ខាងក្រោម៖ 1. $\int_{-1}^1 (1-6x+3x^2)dx$ 2. $\int_0^3 (2e^{2x} + e^{-x} - 1)dx$ 3. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x \cos^4 x)dx$ 4. $\int_0^1 \frac{x^2+x+1}{2x+3}dx$

២៩. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{x^2-2x+2}{x^3-2x^2+x} ; (x \neq 0, x \neq 1)$ ។ ក. កំណត់តម្លៃ $M, N$ និង $P$ ដើម្បីឱ្យ $f(x) = \frac{M}{x} + \frac{N}{x-1} + \frac{P}{(x-1)^2}$ ។ ខ. គណនា $\int_2^3 f(x)dx$ ។

៣០. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ត្រង់ $x>0$ ដោយ $f(x) = \frac{3x^2+4x-25}{x^2+x-6}$ ។ 1. កំណត់តម្លៃ $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឱ្យ $f(x) = a + \frac{b}{x+3} + \frac{c}{x-2}$ ។ 2. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int f(x)dx$ ។

៣១. គេមានអនុគមន៍ $f$ មួយកំណត់ដោយ $f(x) = \frac{e^x}{1-e^x}$ ចំពោះគ្រប់ $x \neq 0$ ។ 1. រកចំនួនពិត $A$ និង $B$ ដើម្បីឱ្យ $f(x) = A + \frac{Be^x}{1-e^x}$ ។ 2. គណនា $I(x) = \int \frac{e^x}{1-e^x} dx$ រួចទាញរក $J(x) = \int \frac{dx}{1-e^x}$ ។

៣២. គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖ $I = \int_{-1}^2 (2-x+3x^2)dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos 2x - \frac{1}{2}\cos 4x)dx$ , $K = \int_{-2}^1 (3x-2+\frac{1}{x-1})dx$ ។

៣៣. គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖ $I = \int \frac{\cos^3 x}{\sin^4 x}dx$ និង $J = \int_1^e \frac{1+\ln x}{x} dx$ ។

៣៤. គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖ ក. $I = \int_0^1 (x^2-1)^2 dx$ ខ. $J = \int_0^{\ln 7} (e^x-2) dx$ គ. $K = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left[\sin\left(3x+\frac{\pi}{2}\right) + \sin^4 x \cos x\right] dx$

៣៥. គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖ ក. $I = \int_0^1 (3+x-x^2)dx$ ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + \sin x)^2 dx$ គ. $K = \int_0^1 \frac{x^2+(x+1)^2}{x^2+1} dx$

៣៦. គណនាអាំងតេក្រាលៈ ក. $I = \int_{-1}^2 (4x^3 - 5x^2 + 6x + 9) dx$ ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$ គ. $K = \int_1^2 \frac{x}{(x^2+2)^2} dx$

៣៧. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{x^3-2x^2+3x-1}{x-1} , x \neq 1$ ។ ក. កំណត់តម្លៃ $a, b, c$ និង $d$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = ax^2+bx+c+\frac{d}{x-1}$ ។ ខ. គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ $I = \int_0^{\frac{1}{2}} f(x) dx$ ។

៣៨. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^{\ln 2} (1-e^x)^2 dx ; J = \int_3^4 \left(2x+\frac{3}{(x-2)^2}\right) dx$ និង $K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \sin x)^2 dx$

៣៩. គណនាអាំងតេក្រាលៈ $I = \int_0^1 (5x^4-4x+e^x)dx , J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x - \sin^2 x)dx , K = \int_{-1}^0 \frac{x^3-3x}{x^2-2}dx$ ។ ដើម្បីគណនា $K$ ត្រូវបង្ហាញថា $\frac{x^3-3x}{x^2-2} = x - \frac{x}{x^2-2}$

៤០. គណនាអាំងតេក្រាលៈ $I = \int_0^1 (3-4x-3x^2)dx , J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2\cos^2 x - 1)dx$ ។ គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{1+2x}{x^2-5x+4}$ ។ បង្ហាញថា $f(x) = \frac{3}{x-4} - \frac{1}{x-1}$ ។ គណនា $K = \int_2^3 f(x)dx$ ។

៤១. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_{-1}^0 [(2x+1)(x+3)]dx$ និង $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-2\cos^2 x)dx$ ។ គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}^*$ ដោយ $f(x) = \frac{-3x^2-5}{x(1+x^2)}$ ។ បង្ហាញថា $f(x) = \frac{2x}{1+x^2} - \frac{5}{x}$ ។ គណនា $K = \int_1^e f(x)dx \ (\ln e = 1)$ ។

៤២. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_{-1}^1 (3x-1)^2 dx , J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2\sin^2 x - 1)dx$ ។ គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{2x+1}{x^2(x+1)}$ ចំពោះគ្រប់ $x, x \neq 0, x \neq -1$ ។ គណនា $K = \int_1^2 f(x)dx$ ។ ដើម្បីគណនាទាញរកសរសេរ $f(x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x+1}$ ដែល $a,b,c$ ជាចំនួនពិតត្រូវកំណត់។

៤៣. ១. គណនាអាំងតេក្រាល: $I = \int_0^1 (1-4x+3x^2)dx , J = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x + \cot x)^2 dx$ ២. គណនា $K = \int_0^2 \frac{x^3+x^2-1}{x^2-1}dx$ ដើម្បីគណនា $K$ ត្រូវបង្ហាញថា $\frac{x^3+x^2-1}{x^2-1} = x+1 - \frac{x}{x^2-1}$

៤៤. ក) កំណត់ចំនួនពិត $A, B$ និង $C$ ដើម្បីឲ្យបាន $\frac{3x^2+3x+3}{x^3-3x+2} = \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ដែល $x \neq -2 ; x \neq 1$ ខ) គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int \frac{3x^2+3x+3}{x^3-3x+2} dx$

៤៥. គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖ $I = \int \frac{x^3}{x-1} dx \quad J = \int \cos(\ln x) dx$

៤៦. គេឲ្យអនុគមន៍ $F(x) = (Ax+B)\sqrt{1+x}$ និង $f(x) = \frac{9x+8}{2\sqrt{1+x}}$ ១ កំណត់ចំនួនពិត $A$ និង $B$ ដើម្បីឲ្យ $F(x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)$ ២ គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^3 f(x)dx$

៤៧. គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x) = \frac{2x^2-3x+5}{(x-2)^2(x+1)}$ ។ ក. សរសេរ $f(x)$ ជាទម្រង់ $\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$ ។ ខ. គណនា $\int_0^1 f(x)dx$ ។

៤៨. គេឲ្យ $f(x) = \frac{3e^x-1}{e^x+1}$ និង $g(x) = -x+4\ln(e^x+1)$ ។ ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថា $g(x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)$ ។ រួចគណនា $I = \int_0^1 \frac{3e^x-1}{e^x+1} dx$ ។

៤៩. គណនាអាំងតេក្រាល៖ a) $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\sin x + \cos x)^2 dx$ b) $J = \int_0^{\ln 2} (2e^x-1)^2 dx$ c) $K = \int_1^2 \frac{10x+1}{\sqrt{5x^2+x+3}} dx$

៥០. គណនាអាំងតេក្រាល៖ a) $I = \int_0^1 (5x^2-6x)^2 dx$ b) $J = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x + \cot x)^2 dx$ c) $K = \int_0^1 \frac{3x^2+4}{\sqrt{x^3+4x+4}} dx$

៥១. គណនាអាំងតេក្រាល: a) $I = \int_0^1 (5x^2+6x)dx$ b) $J = \int_0^{\ln 5} \frac{16e^x}{(e^x+3)^2} dx$ c) $K = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 3\sin x)dx$

៥២. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x \neq -1$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2+2x-1}{(x+1)(x^2+1)}$ ។ ១. កំណត់ចំនួនពិត $A, B$ និង $C$ ដើម្បីឲ្យបាន $f(x) = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ ។ ២. គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ $I = \int_0^1 f(x)dx$ ។

៥៣. គេឲ្យអាំងតេក្រាលកំណត់ $I, J$ និង $K$ ដែល $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos 2x dx, J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos^2 x dx$ និង $K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin^2 x dx$ ។ គណនា $I, J+K, J-K$ ។ ទាញរក $J$ និង $K$ ។

៥៤. គណនាអាំងតេក្រាល $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+2\sin x} dx$ និង $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1+2\sin x} dx$

៥៥. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^2 f(x)dx$ ដែល $f(x) = \begin{cases} 2-x & \text{បើ } x \le 1 \\ x^2+2x-2 & \text{បើ } x > 1 \end{cases}$ ។

៥៦. គណនាអាំងតេក្រាល : $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin 2x} dx, J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2-2\sin x} dx$ និង $K = \int_1^e x^2\ln x dx$

៥៧. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $I = \int_1^2 (2x^3-4x+5)dx \quad J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\cos 2x - \frac{1}{2}\cos 4x\right)dx \quad K = \int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{e^x+1} dx$

៥៨. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{3x^2+4x+12}{x^3-2x^2+x}$ ។ 1. រកចំនួនពិត $A, B, C$ ដែល $f(x) = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ ។ 2. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int f(x)dx$ ។

៥៩. គេមានអាំងតេក្រាលកំណត់ $I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sin x}{\sin x - \cos x} dx$ និង $J = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\cos x}{\sin x - \cos x} dx$ ។ គណនា $I+J$ និង $I-J$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $I$ និង $J$ ។

៦០. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_1^2 \frac{1+x+x^2}{x} dx$ , $J = \int_e^{e^2} \frac{\ln^3 x}{3x} dx$ និង $K = \int_0^1 \frac{x}{(x+1)(2x+1)} dx$ ។ (ដើម្បីគណនា $K$ យើងត្រូវបង្ហាញថា $\frac{x}{(x+1)(2x+1)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{2x+1}$ ដែល $a, b$ ជាចំនួនពិតត្រូវកំណត់) ។

៦១. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_{-1}^2 (3x-2+4x^3)dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x \cos 2x)dx$ និង $K = \int_0^1 \frac{x^3+(x-1)^2+2x}{x^2+1} dx$ ។ (ដើម្បីគណនា $K$ យើងត្រូវបង្ហាញថា $\frac{x^3+(x-1)^2+2x}{x^2+1} = x+1-\frac{x}{x^2+1}$) ។

៦២. ក. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_{-1}^2 (x+1)^2 dx$ , $J = \int_0^\pi e^{\cos x}(\sin x) dx$ និង $K = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left[\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) + \cos^4 x \sin x\right] dx$ ។ ខ. រកចំនួនពិត $a$ និង $b$ បើ $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, -\frac{1}{3}\}$ គេមាន $\frac{2x}{(x+3)(3x+1)} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{3x+1}$ រួចរក $\int \frac{2x}{(x+3)(3x+1)} dx$ ។

៦៣. ១. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^1 (x^2+1)^2 dx$ , $J = \int_0^1 (e^x-1)^2 dx$ និង $K = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left[\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right) + \cos x \sin^4 x\right] dx$ ។ ២. រកព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍ $f(x) = \cos 2x - 8\sin 2x \cos 2x$ ដោយដឹងថា $F(0)=-1$ ។

៦៤. ១. គណនាអាំងតេក្រាល $A = \int_0^1 (2x-5)e^{2x}dx$ , $B = \int_{-\pi}^{\pi} (2+\cos x)^2 dx$ , $C = \int_0^2 \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}dx$ , $D = \int_0^1 \frac{(x+3)^2}{x^2+9}dx$ ។ ២. រកព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍ $f(x) = \sin x \cos^3 x$ ដោយដឹងថា $F(\frac{\pi}{4})=16$ ។

៦៥. គណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍៖ $A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx$ , $B = \int_0^1 (2-x)(3x+4) dx$ , $C = \int_0^{\pi} (\cos x - \sin x)^2 dx$ និង $D = \int_0^2 \frac{(x-2)^2}{x^2+4} dx$

៦៦. គណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍៖ $A = \int_0^{\ln 2} e^{2x}(e^x-1)^2 dx$ , $B = \int_1^3 \left(\frac{3x^3+7x^2+4x+1}{x+1}\right) dx$ , $C = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$ និង $D = \int_1^2 \frac{(x+1)^2}{x^2+1} dx$

៦៧. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $A = \int_{-1}^2 (2-x+x^2) dx$ , $B = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos 2x - \frac{1}{2}\cos 4x\right) dx$ , $C = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos^3 x dx$ និង $D = \int_{-1}^0 \frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2(x+2)} dx$ ។ ដើម្បីគណនា $D$ យើងសរសេរ $\frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{a}{(x-1)^2} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+2}$

៦៨. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $I = \int_{-1}^2 (3x-2+x^2) dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2+\cos x} dx$ និង $K = \int_0^1 \frac{x^2+x-6}{x^2-2x-3} dx$ ។ ដើម្បីគណនា $K$ យើងសរសេរ $\frac{x^2+x-6}{x^2-2x-3} = a + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-3}$

៦៩. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $I = \int_{-1}^2 (8x^3-3x^2+5)dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos^3 x dx$ និង $K = \int_0^1 \frac{(x+1)^2}{x^2+1} dx$

៧០. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $I=(-\infty, 2)$ ដោយ $f(x) = \frac{x(x-4)}{x(x-2)-(x-2)}$ ។ ក. កំណត់តម្លៃពិត $a$ និង $b$ ដែលចំពោះគ្រប់ $x \in I, f(x) = a + \frac{b}{(x-2)^2}$ ។ ខ. គណនាអាំងតេក្រាល $\int_{-1}^1 f(x)dx$ ។

៧១. គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖ $I = \int (x^2+3x+1)^2 dx$ , $J = \int (\cot x-\tan x)^2 dx$ , $K = \int \frac{\cos^3 x-\sin^2 x}{\cos^2 x} dx$ ។

៧២. រកចំនួនពិត $m, n$ និង $p$ ដើម្បីឲ្យ $\frac{x^2+6x+5}{(x-2)(x^2+x+1)} = \frac{m}{x-2} + \frac{nx+p}{x^2+x+1}$ ចំពោះគ្រប់ $x \neq 2$ ។ គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_1^2 \frac{x^2+6x+5}{(x-2)(x^2+x+1)} dx$ ។

៧៣. ១) កំណត់ចំនួនពិត $A, B$ និង $C$ ដោយដឹងថា $\frac{2(x^2-2)}{x^3+2x^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+2}$ ចំពោះគ្រប់ $x \neq 0$ និង $x \neq -2$ ។ ២) គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_1^2 \frac{2(x^2-2)}{x^3+2x^2} dx$ ។

៧៤. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $I = \int_0^1 \frac{2x}{1+x^2}dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x}\cos x dx$

៧៥. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $J = \int_1^e \frac{x dx}{\sqrt{2x+1}} ; K = \int_1^2 e^{\sin(\ln x)} \frac{dx}{2x}$

៧៦. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $I = \int_1^e \frac{2x^3+3x^2-x-4}{x} dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2\sin^2 x - 3\sin x)dx$ , $K = \int_0^1 \frac{e^x-1}{e^x+2} dx$

៧៧. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $I = \int_0^1 \frac{2x}{1+x^2} dx$ និង $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x}\cos x dx$

៧៨. ក. រកចំនួនពិត $a,b,c$ បើ $f(x) = \frac{-4x+5}{(x-1)(x-2)^2} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} + \frac{c}{(x-2)^2}$ ។ ខ. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int f(x)dx$ , $J = \int_0^1 \frac{x dx}{\sqrt{2x+1}}$ និង $K = \int_1^e e^{\sin(\ln x)}\frac{dx}{2x}$ ។

៧៩. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $I = \int \frac{2x^3+3x^2-x-4}{x} dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2\sin^2 x - 3\sin x\cos x)dx$ និង $K = \int_0^1 \frac{e^x-1}{e^x+2}dx$

៨០. ក. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^1 (x^2+2x-1)dx$ , $J = \int_0^{\pi} (x-1)\sin 3x dx$ ។ ខ. គេឲ្យ $f(x)=\frac{1}{x^2-4}, x \neq \pm 2$ ។ បង្ហាញថា $f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$ រួចគណនាអាំងតេក្រាល $K = \int f(x)dx$ ។

៨១. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $I=(-\infty, 2)$ ដោយ $f(x) = \frac{x(x-4)}{x(x-2)-(x-2)}$ ។ ក. កំណត់តម្លៃពិត $a$ និង $b$ ដែលចំពោះគ្រប់ $x \in I, f(x) = a + \frac{b}{(x-2)^2}$ ។ ខ. គណនាអាំងតេក្រាល $\int_{-1}^1 f(x)dx$ ។

៨២. គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖ $A = \int_0^{\ln 2} e^{2x}(e^x-1) dx$ , $B = \int_1^3 \frac{3x^3+7x^2+4x+1}{x+1} dx$ , $C = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$ , $D = \int_1^2 \frac{(x+1)^2}{x^2+1} dx$

៨៣. គណនាអាំងតេក្រាល៖ $A = \int_1^2 (3x^2+4x+5) dx$ , $B = \int_1^e \frac{2x^3+3x^2-x+2}{x^2} dx$ , $C = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (3\sin x - 4\sin^3 x) dx$

៨៤. ១) រកចំនួនពិត $m, n$ និង $p$ ដើម្បីឲ្យ $\frac{x^2+6x+5}{(x-2)(x^2+x+1)} = \frac{m}{x-2} + \frac{nx+p}{x^2+x+1}$ ចំពោះគ្រប់ $x \neq 2$ ។ ២) គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_1^2 \frac{x^2+6x+5}{(x-2)(x^2+x+1)} dx$ ។

៨៥. ១) កំណត់ចំនួនពិត $A, B$ និង $C$ ដោយដឹងថា $\frac{2(x^2-2)}{x^3+2x^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+2}$ ចំពោះគ្រប់ $x \neq 0$ និង $x \neq -2$ ។ ២) គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_1^2 \frac{2(x^2-2)}{x^3+2x^2} dx$ ។

⬭ លំហាត់កោនិក

១. រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសរបស់ប៉ារ៉ាបូលដែលមានសមីការ $(y+2)^2 = -8(x-2)$ ។ សង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។

២. គេមានសមីការ $(2x-3y)^2 = 6(3y^2-2xy-6)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអ៊ីពែបូល។ រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការអាស៊ីមតូតនៃអ៊ីពែបូលនេះ រួចសង់អ៊ីពែបូលនេះ។

៣. គេឱ្យសមីការ $12(xy+3)-(3x+2y)^2=0$ ។ ក. បង្ហាញថាសមីការនេះ ជាសមីការអេលីប។ ខ. ចូររកប្រវែងអ័ក្សតូច អ័ក្សធំ និងកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ រួចសង់អេលីបនេះ។

៤. គេមានសមីការ $9y^2=25(3-x)(3+x)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកូអរដោនេនៃកំណុំទាំងពីររបស់អេលីបនេះ។ សង់អេលីបនេះ។

៥. គេមានប៉ារ៉ាបូលដែលមានសមីការទូទៅ៖ $y^2+4y-8x-12=0$ ។ ចូរបម្លែងសមីការនេះជាទម្រង់សមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល។ ចូររកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។

៦. គេមានសមីការ $(2x+3y)^2 = 12(xy+3)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សតូច អ័ក្សធំ កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងសង់អេលីបនេះ។

៧. គេមានសមីការ $9y^2-16x^2=144$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអ៊ីពែបូល។ រកកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកំណុំទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូល។ រកសមីការអាស៊ីមតូតរបស់អ៊ីពែបូលនេះ និងសង់អ៊ីពែបូលនេះ។

៨. គេមានសមីការ $18x^2+10y^2=90$ ។ ក. បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច និងកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ។ ខ. សង់អេលីបនេះ។

៩. រកសមីការស្តង់ដានៃអេលីបដែលមានកំណុំមួយជាចំណុចមានកូអរដោនេ $(-1,0)$ និងចំណុចកំពូលពីរមានកូអរដោនេ $(-3,0)$ និង $(3,0)$ ។ សង់អេលីបនេះ។

១០. គេមានប៉ារ៉ាបូល ដែលមានសមីការទូទៅ $y^2+4y-2x=0$ ។ ក) ចូរបម្លែងសមីការនេះ ជាទម្រង់ស្តង់ដា។ ខ) រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និង សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស រួចសង់ប៉ារ៉ាបូល។

១១. គេមានសមីការ $(4x+3y)^2 - 144 = 24xy$ ។ ក) បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប រកប្រវែងអ័ក្សតូច ប្រវែងអ័ក្សធំ កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកូអរដោនេកំណុំទាំងពីររបស់អេលីប។ ខ) សង់អេលីបនេះ។

១២. រកសមីការស្តង់ដាប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំណុំ $F(0, -2)$ និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិសមានសមីការ $y = 2$ ។ រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។

១៣. គេមានសមីការ $12y^2 = 300-75x^2$ ។ ក) បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប រួចរកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និង កូអរដោនេនៃកំណុំទាំងពីររបស់វា។ ខ) សង់អេលីបនេះ។

១៤. រកសមីការស្តង់ដានៃអេលីបដែលមានកំណុំមួយជាចំណុច $(2,0)$ និង ចំណុចកំពូលទាំងពីរមានអរដោនេ $(-3,0)$ និង $(3,0)$ ។ សង់អេលីបនេះ។

១៥. គេមានសមីការ $25x^2+9y^2-225=0$ ។ ក) បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប រួចរកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និង កំណុំទាំងពីរនៃអេលីបនេះ។ ខ) សង់អេលីបនេះ។

១៦. គេមានប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូលជាចំណុច $O(0,0)$ និងកំណុំ $F$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស។ ក) រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលនេះ បើគេដឹងថាវាកាត់តាមចំណុច $A\left(\frac{3}{2}, -3\right)$ ។ ខ) រកកូអរដោនេរបស់កំណុំ សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។

១៧. គេមានសមីការ $9x^2+25y^2=225$ ។ ក) បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប រួចរកប្រវែងអ័ក្សតូច ប្រវែងអ័ក្សធំ និង កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ។ ខ) សង់អេលីបនេះ។

១៨. រកសមីការស្តង់ដានៃអេលីបដែលមាឌកំណុំមួយស្ថិតត្រង់ចំណុច $F_1(-2,0)$ និង កំពូលពីរស្ថិតត្រង់ចំណុច $A(-3,0)$ និង $B(3,0)$ ។

១៩. គេមានប៉ារ៉ាបូលមួយមានកំពូលនៅត្រង់ចំណុច $O(0,0)$ និង កំណុំ $F$ ស្ថិតនៅលើអ័ក្សអរដោនេ។ ក) រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលនេះ បើគេដឹងថាវាកាត់តាមចំណុច $A(2,6)$ ។ ខ) រកតម្លៃ $x$ បើ $B(x_1, \frac{3}{2})$ ស្ថិតនៅលើប៉ារ៉ាបូលនេះ រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។

២០. រកសមីការស្តង់ដានៃអេលីបដែលមានកំពូលទាំងពីរជាចំណុច $(4,0)$ និង $(-4,0)$ និង មានកំណុំមួយនៅត្រង់ចំណុច $(3,0)$ រួចសង់អេលីបនេះ។

២១. គេឱ្យអេលីប $E$ មានសមីការទូទៅ $25x^2+9y^2-18y-216=0$ ។ ក) សរសេរសមីការស្តង់ដានៃអេលីប $E$ ។ ខ) កំណត់កូអរដោនេ ផ្ចិត $I$ កំពូល $V_1, V_2$ និងកំណុំ $F_1, F_2$ នៃអេលីប $E$ ។

២២. អេលីប $E$ មួយមានសមីការទូទៅ៖ $9x^2+4y^2+18x-24y+9=0$ ។ ក) រកសមីការស្តង់ដានៃអេលីប $E$ ។ ខ) រកប្រវែងអ័ក្សធំ និង អ័ក្សតូច ហើយយកកូអរដោនេ ផ្ចិត កំពូល និង កំណុំនៃអេលីប $E$ ។

២៣. គេឱ្យសមីការអេលីបមួយ $(E) : 25x^2+9y^2-50x-90y+25=0$ ។ ក. សរសេរសមីការ $(E)$ ជាទម្រង់ស្តង់ដា។ ខ. កំណត់ ផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងអិចសង់ទ្រិស៊ីតេនៃអេលីបនេះ។ គ. សង់អេលីប $(E)$ ក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

២៤. គេឱ្យសមីការប៉ារ៉ាបូល $P: y^2-2y+6x-5=0$ ។ 1. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល។ 2. រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនោះ។

២៥. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្លុះស្របអ័ក្សអរដោនេ ហើយកាត់តាមចំណុច $(-2,-3) , (2,5)$ និង $(1,6)$ ។ រកកូអរដោនេ កំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនោះ។

២៦. គេមានសមីការប៉ារ៉ាបូលទូទៅមួយកំណត់ដោយ $P: y^2 - 6y - 12x - 27 = 0$ ។ ក. ចូរសរសេរសមីការប៉ារ៉ាបូល $P$ ជាសមីការស្តង់ដា។ ខ. ចូរកំណត់កំពូល កំណុំ និង សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃសមីការ $P$ នេះ។ គ. ចូរសង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ ។

២៧. រកកូអរដោនេនៃ កំពូល កំណុំ សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស និង អ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូល $x^2 - 4x + 4y + 12 = 0$ រួចសង់ក្រាប។

២៨. រកកូអរដោនេនៃ កំពូល កំណុំ និង អ័ក្សឆ្លុះនៃអេលីប រួចសង់ក្រាបដែលមានសមីការទូទៅ $y^2+3x^2+4y-6x-2=0$ ។

២៩. គេឱ្យសមីការប៉ារ៉ាបូល $P: y^2 - 2y + 6x - 5 = 0$ ។ 1. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល។ 2. រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស រួចសង់ក្រាបនៃប៉ារ៉ាបូល។

៣០. គេមានសមីការ $(E): 9x^2 + 4y^2 + 18x - 24y + 9 = 0$ ។ ក. បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ ខ. រកប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច រកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល កំណុំ រួចសង់អេលីបនេះ។

៣១. គេឱ្យប៉ារ៉ាបូល $P: \frac{1}{4}y^2 - x - y + 3 = 0$ ។ សរសេរសមីការស្តង់ដាប៉ារ៉ាបូល រួចទាញរកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស។

៣២. គេមានប៉ារ៉ាបូលដែលមានសមីការទូទៅ $x^2 - 4x - 8y - 12 = 0$ ។ ចូរបម្លែងសមីការនេះជាទម្រង់ស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល។ កំណត់កូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស ព្រមទាំងសង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។

៣៣. គេមានប៉ារ៉ាបូល $(P)$ មួយ មានកំពូលនៅត្រង់ចំណុច $O(0,0)$ និងកំណុំ $F$ ស្ថិតលើអ័ក្សអរដោនេ។ ក. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល $(P)$ បើគេដឹងថាវាកាត់តាមចំណុច $A(2,6)$ ។ ខ. រកតម្លៃ $x_1$ បើ $B\left(x_1, \frac{3}{2}\right)$ ស្ថិតលើប៉ារ៉ាបូល $(P)$ រួចសង់ប៉ារ៉ាបូល $(P)$ ។

៣៤. គេឲ្យសមីការទូទៅនៃអេលីប $(E) : 4x^2+9y^2-8x+36y+4=0$ ។ ក. រកអរដោនេផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងអិចសង់ទ្រិស៊ីតេនៃអេលីប។ ខ. រកអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាង $(E)$ និងអ័ក្សអាប់ស៊ីសនៃតម្រុយ។ សង់អេលីប $(E)$ ។ (គេឲ្យ $\frac{4\sqrt{2}}{3} = 1.9$)

៣៥. ប៉ារ៉ាបូល $(P)$ មួយមានកំពូល $V(1,-2)$ និងកំណុំ $F(1,0)$ ។ ក. សរសេរសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល $(P)$ ។ ខ. រកសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $(\Delta)$ នៃ $(P)$ ។ គ. សង់ក្រាបនៃប៉ារ៉ាបូល $(P)$ ។

៣៦. គេមានសមីការ $9x^2+25y^2-225=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះ ជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកូអរដោនេនៃកំណុំទាំងពីរនៃអេលីបនេះ។ សង់អេលីបនេះ។

៣៧. គេមានសមីការ $25x^2+9y^2=225$ ក. បង្ហាញថាសមីការនេះ ជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច និងកូអរដោនេនៃកំពូល និងកំណុំទាំងពីរ។ ខ. សង់អេលីបនេះ។

៣៨. គេមានសមីការ $9x^2-16y^2 = 144$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអ៊ីពែបូល។ រកកូអរដោនេរនៃកំពូលទាំងពីរ និងកំណុំទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូល។ រកសមីការអាស៊ីមតូតទាំងពីររបស់អ៊ីពែបូល និងសង់អ៊ីពែបូលនេះ។

៣៩. គេមានសមីការ $\left(\frac{2y-3x}{18}\right)\left(\frac{2y+3x}{2}\right) = 1$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះ ជាសមីការអ៊ីពែបូល។ រកកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកំណុំទាំងពីរ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូល រួចសង់អ៊ីពែបូល។

៤០. គេមានសមីការ $(5x+9y)^2 = 5(18xy+45)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអ៊ីពែបូល។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ កំណុំទាំងពីរនិងសង់អ៊ីពែបូលនេះ។

៤១. អ៊ីពែបូលមួយមានកំពូល $V_1(3,0)$ និង $V_2(-3,0)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $P(5,2)$ ។ រកសមីការស្តង់ដា កូអរដោនេកំណុំ និងអាស៊ីមតូត។ សង់អ៊ីពែបូលនោះ។

៤២. បំប្លែងសមីការអ៊ីពែបូល $2y^2-x^2+2x+8y+3=0$ ជាទម្រង់ស្តង់ដារួចរកកំពូល។

៤៣. គេអោយសមីការអេលីប $4x^2+9y^2-8x-54y+49=0 \quad (E)$ ១. សរសេរសមីការ $(E)$ ជាទម្រង់ស្តង់ដា ។ ២. រកផ្ចិត កំពូល កំណុំ និង អិចសង់ទ្រិស៊ីតេ $e$ ។ រួចសង់ក្រាបអេលីប $(E)$ ។

៤៤. ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងអេលីប $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ត្រង់ចំណុច $M(a\cos\theta, b\sin\theta)$ មានសមីការ $\frac{\cos\theta}{a}x + \frac{\sin\theta}{b}y = 1$ ។

៤៥. ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងអ៊ីពែបូល $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ត្រង់ចំណុច $M(x_0, y_0)$ មានសមីការ $\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1$ ។

៤៦. កំណត់ពីចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យបន្ទាត់ $y=ax+b$ កាត់តាមចំណុច $(-4,1)$ ប៉ះទៅនឹងប៉ារ៉ាបូល $y^2=2x$ ។

៤៧. គេមានប៉ារ៉ាបូល $P$ ដែលមានសមីការ $2y^2+8y+3x-4=0$ ។ ១. រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និង សមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល $P$ ។ ២. រកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងប៉ារ៉ាបូល $P$ និង បន្ទាត់ដែលមានសមីការ $x = -2$ សង់ប៉ារ៉ាបូល $P$ ។

៤៨. អេលីប $E$ មួយមានសមីការ $x^2+4y^2-2x+16y+13=0$ ។ ១. រកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងចំណុចប្រសព្វរវាងអេលីប $E$ និង អ័ក្សតូច។ ២. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងអេលីប $E$ និងអ័ក្សអរដោនេ $y'Oy$ ។ ៣. សង់អេលីប $E$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ (គេយក $\frac{\sqrt{3}}{2} = 0.9$)

៤៩. កំណត់សមីការអេលីបដែលមានកំណុំ $(-1,0)$ និង $(1,0)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(3,0)$ ។ សង់អេលីបនេះ។

៥០. អេលីប $E$ មួយមានសមីការទូទៅ $9x^2+4y^2+18x-24y+9=0$ ។ 1. រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ និង ចំណុចប្រសព្វរវាងអេលីប $E$ និងអ័ក្សអរដោនេ។ 2. សង់អេលីប $E$ ។

៥១. គេឲ្យអ៊ីពែបូល $H$ មានសមីការ $x^2-4y^2-2x+8y-7=0$ ។ 1. បំប្លែងសមីការ $H$ ជាទម្រង់ស្តង់ដារ ។ រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ ចំណុចចុងអ័ក្សឆ្លាស់ និង សមីការអាស៊ីមតូត។ 2. គណនាកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $H$ និង អ័ក្សអាប់ស៊ីស រួចសង់ $H$ ។

៥២. គេឲ្យអ៊ីពែបូល $H: y^2-4x^2-4y-16x-16=0$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. សរសេរសមីការនៃអ៊ីពែបូល $H$ ជាទម្រង់ស្តង់ដា។ 2. រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងចំណុចចុងអ័ក្សឆ្លាស់នៃអ៊ីពែបូល $H$ រួចសង់ក្រាប $H$ ។

៥៣. គេមានសមីការ $H: (5x-9y)^2 = 5(45-18xy)$ ។ ចូរបង្ហាញថាសមីការនេះ ជាសមីការអ៊ីពែបូល $H$ ។ កំណត់កូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល និងកំណុំនៃ $H$ រួចសង់ក្រាប $H$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៥៤. គេមានអ៊ីពែបូល $E: (x+2y)^2 = 4(1+xy)$ ។ កំណត់កូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងសមីការអាស៊ីមតូតនៃអ៊ីពែបូល $E$ ។ សង់អ៊ីពែបូល $E$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៥៥. គេមានអ៊ីពែបូល $H: (x-2y)(2y+x) = 4$ ។ កំណត់កូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ និងសមីការអាស៊ីមតូតនៃអ៊ីពែបូល $H$ ។ សង់អ៊ីពែបូល $H$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៥៦. គេមានសមីការ $(E): (3x-2y)^2 = 12(3-xy)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល និងកំណុំទាំងពីរនៃអេលីបនេះ។ រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងអេលីបនេះអ័ក្សកូអរដោនេ រួចសង់អេលីបនេះ។

៥៧. រកកូអរដោនេនៃ កំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល $y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2}$ រួចសង់ប៉ារ៉ាបូលនេះ។

៥៨. គេមានសមីការ $(E): 4(x-3)^2+9(y-2)^2=36$ ។ ក. ចូរបង្ហាញប្រភេទនៃរូបកោនិក $(E)$ រួចរកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូលនិងកំណុំ ។ ខ. សង់រូបកោនិកក្រាប $(E)$ ។

៥៩. គេមានអ៊ីពែបូល $(H): 9x^2-16y^2-36x+32y-124=0$ ។ ក. ចូរសរសេរ $(H)$ ជាទម្រង់ស្តង់ដា រួចគណនាកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូលនិងកំណុំរបស់វា ។ ខ. រកសមីការអាស៊ីមតូតទាំងពីរ និងសង់អ៊ីពែបូលនេះ ។

៦០. គេមានសមីការ $(3x+2y)^2 - 12(3+xy) = 0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាអេលីប ។ រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល និងកំណុំទាំងពីរនៃអេលីប ។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច និងសង់អេលីបនេះ ។

៦១. គេមានសមីការ $25x^2 - 16(y-1)^2 = 400$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអ៊ីពែបូល ។ រកកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកំណុំទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូល ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតនៃអ៊ីពែបូល និងសង់អ៊ីពែបូលនេះ ។

៦២. គេមានសមីការកោនិក $10x^2+30y^2=90$ ។ ក. បង្ហាញថាសមីការនេះតំណាងឲ្យអេលីបរួចរកប្រវែងអ័ក្សធំ កំពូល និងកំណុំនៃអេលីបនេះ ។ ខ. សង់អេលីបនេះ ។

៦៣. ១. រកសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូល $(P)$ ដែលមានកំពូល $V(-2,1)$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $(L): x=1$ ។ ២. រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល $(P): y^2+8(y-x)=0$ រួចសង់ក្រាបប៉ារ៉ាបូល $(P)$ ។

៦៤. រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល $(P): x^2-2x-3y-8=0$ រួចសង់ក្រាបនៃប៉ារ៉ាបូលនេះ ។

៦៥. រកសមីការអ៊ីពែបូលដែលមានកំណុំ $F_1(0,0)$ និង $F_2(0,4)$ ហើយកាត់តាមចំណុច $(12,9)$ ។

៦៦. អេលីប $(E)$ មានសមីការ $25x^2+16y^2-150x+64y=111$ ។ រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល កំណុំ រួចសង់ក្រាប។

៦៧. បង្ហាញថាខ្សែរាង $\Omega: 25x^2+36y^2-900=0$ ជាអេលីប រួចកំណត់កូអរដោនេផ្ចិត កំពូល កំណុំ ។

៦៨. គេមានប៉ារ៉ាបូល $P$ ដែលមានសមីការ $2y^2+8y+3x-4=0$ ។ 1. រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស។ 2. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ $P$ និងបន្ទាត់ $x=-2$ រួចសង់ $P$ ។

៦៩. បំប្លែងទម្រង់ទូទៅនៃអេលីប $4x^2+y^2-8x+4y-8=0$ ជាទម្រង់ស្តង់ដា រួចរកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល និងកំណុំ។

៧០. គេមានសមីការ $(E): 25x^2+16y^2-150x+64y=111$ ។ រកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល និងកំណុំនៃអេលីប $(E)$ រួចសង់ក្រាបរបស់វា ។

៧១. បង្ហាញថាខ្សែរាង $\Omega: 25x^2+36y^2-900=0$ ជាអេលីប ។ កំណត់កូអរដោនេផ្ចិត កំពូល និងកំណុំរបស់វា ។

៧២. គេមានប៉ារ៉ាបូល $P: 2y^2+8y+3x-4=0$ ។ ១. រកកូអរដោនេកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស។ ២. រកចំណុចប្រសព្វរវាង $P$ និងបន្ទាត់ឈរ $x=-2$ រួចសង់ប៉ារ៉ាបូល $P$ ។

៧៣. រកកូអរដោនេផ្ចិត កំពូល និងកំណុំនៃអ៊ីពែបូល $E: 4(x-2)^2-9(y+3)^2 = 36$ រួចសង់ក្រាប។

៧៤. គេមានសមីការកោនិក $10x^2+30y^2=90$ ។ ក. បង្ហាញថាសមីការនេះតំណាងឲ្យអេលីបរួចរកប្រវែងអ័ក្សធំ កំពូល និងកំណុំនៃអេលីបនេះ ។ ខ. សង់អេលីបនេះ ។

XYZ លំហាត់វ៉ិចទ័រក្នុងលំហ 3D

១. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $M(0,1,1); N(1,2,2); P(0,3,-4); Q(-2,1,0)$ ។ a. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{MN}, \vec{NP}, \vec{NQ}, \vec{PQ}$ និងប្រវែងវ៉ិចទ័រទាំងបួននេះ។ b. បង្ហាញថាត្រីកោណ $NPQ$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $Q$ និងរកផ្ទៃក្រឡារបស់ត្រីកោណនេះ។

២. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(2,0,0), B(-1,\sqrt{3},0)$ និង $C(-1,-\sqrt{3},0)$ ។ រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}; \vec{AC}; \vec{BC}$ ។ បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស និងរកផ្ទៃក្រឡារបស់វា។

៣. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(5,-5,2), B(-1,1,0), C(0,1,2)$ និង $D(6,6,-1)$ ។ ក. បង្ហាញថាចំណុច $A, B, C$ មិននៅត្រង់ជួរគ្នា។ ខ. បង្ហាញថាត្រីកោណ $BCD$ ជាត្រីកោណកែង និងរកផ្ទៃក្រឡារបស់ត្រីកោណនេះ។

៤. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(0,-2,0), B(-4,1,2), C(0,3,7)$ និង $D(4,0,5)$ ។ រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}$ និង $\vec{AD}$ រួចបង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាចតុកោណកែង តែមិនមែនជាការេ។

៥. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,-1,4), B(7,-1,-2)$ និង $C(1,5,-2)$ ។ ១. ក. គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$ ខ. ស្រាយបំភ្លឺថាចំណុច $A, B$ និង $C$ កំណត់បានប្លង់មួយ គ. បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ $\vec{n}(1,1,1)$ ជាវ៉ិចទ័រន័រម៉ាល់ទៅនឹងប្លង់ $ABC$ ។ ឃ. ទាញបង្ហាញសមីការប្លង់ $ABC$ ។ ២. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។

៦. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,2,3), B(3,0,1), C(-1,0,1)$ និង $D(2,1,2)$ ។ a. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}, \vec{BC}$ ។ b. បង្ហាញថាចំណុច $A, B$ និង $C$ មិននៅលីបប្លង់តែមួយ។ c. បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ $\vec{n}(0,1,-1)$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ទៅនឹងប្លង់ $(ABC)$ ។

៧. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(-2;1;0), B(0;1;1), C(1;2;2)$ និង $D(0;3;-4)$ ។ ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}, \vec{BC}, \vec{BD}, \vec{CD}$ ។ ខ. គណនាប្រវែង $AB, AC, AD, BD$ និង $CD$ ។ ទាញបង្ហាញថាត្រីកោណ $ABD$ និង $ACD$ កែងត្រង់ $A$ ។

៨. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $M(2,3,4); N(3,5,6); P(4,6,7); Q(3,4,5)$ ។ ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{MN}$ និង $\vec{QP}$ ។ ខ. ទាញបង្ហាញថាចតុកោណ $MNPQ$ ជាប្រលេឡូក្រាម។

៩. គេមានវ៉ិចទ័រ $\vec{u} = \vec{i}-\vec{j}+2\vec{k} ; \vec{v} = -\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k} ; \vec{w} = \vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$ ។ រកវ៉ិចទ័រ ក. $\vec{u}+\vec{v}$ , ខ. $\vec{w}\times \vec{u}$ , គ. $\vec{w}\times \vec{v}$ ។

១០. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(2,2,1) ; B(4,-2,0) ; C(3,1,1) ; D(1,5,2)$ ។ ១. បង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម រួចរកផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាមនេះ។ ២. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់កាត់តាមចំណុច $A$ និង $B$ ។ ៣. រកសមីការប្លង់ដែលកាត់តាម $A(2,2,1) ; B(4,-2,0) ; D(1,5,2)$ ។

១១. នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយ គេឱ្យចំណុច $A(1, 2, -3), B(0, 5, -1)$ និង $C(3, 0, 1)$ ។ 1. ចូរសង់ចំណុច $A, B$ និង $C$ ។ 2. គណនាប្រវែង $AB, AC$ និង $BC$ រួចទាញបញ្ជាក់ថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $A$ ។ 3. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ជាឯកតាផ្ទៃ ។ 4. គណនាមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ជាឯកតាមាឌ ។

១២. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(2, 0, 1), B(3, 1, 5)$ និង $C(1, 4, 4)$ ។ 1. គណនា $\vec{AB}$ និង $\vec{AC}$ ។ 2. គណនា $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡា $\triangle ABC$ ។ 3. រកសមីការប្លង់ $(ABC)$ បង្ហាញថាចំណុច $D(2,0,2)$ មិននៅលើប្លង់ $(ABC)$ ។ 4. រកមាឌតេត្រាអែត $DABC$ រួចទាញរកកម្ពស់តេត្រាអែតគូសចេញពី $D$ ។ 5. សរសេរសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។

១៣. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(3,1,4), B(-1,2,5), C(5,-2,3)$ ។ 1. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងសមីការស៊ីមេទ្រីនៃបន្ទាត់ $(D)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $C$ និងមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{AB}$ ។ 2. រកសមីការប្លង់ $(P)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $B$ ហើយមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{AC}$ និងសរសេរសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។ 3. គណនា $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចរកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ គណនាមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ។ ចំណុច $M$ ជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $(D)$ និងប្លង់ $(P)$ គណនាកូអរដោនេចំណុច $M$ ។

១៤. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឱ្យចំណុច $A(-2,1,-3), B(1,2,3)$ និង $C(2,-2,1)$ ។ 1. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាត់ $L$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយស្របនឹង $\vec{BC}$ ។ 2. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ រកផ្ទៃក្រឡា $\triangle ABC$ ។ 3. រកមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ។

១៥. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(2,1,4) ; B(2,-2,7)$ និងប្លង់ $P: 2x+2y-z = 2$ ។ 1. កំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាត់ $L$ ដែលកាត់តាម $B$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $P$ ។ 2. បន្ទាត់ $D$ មួយមានសមីការ $x = 1+2t ; y = -2t ; z = 1-t ; (t \in \mathbb{R})$ ។ ចូរកំណត់កូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ $M$ រវាង $D$ និង $P$ ។ 3. ចូរគណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $MAB$ ។

១៦. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(0,0,1); B(-1,-2,0)$ និង $C(2,1,-1)$ ។ ក. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញថា $A, B, C$ មិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា។ ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $ABC$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ គ. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាត់ $L$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយកែងប្លង់ $ABC$ ។ ឃ. គណនា $(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC}$ រួចទាញរកមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ។

១៧. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(0,4,-1) ; B(-2,4,-5) ; C(1,1,-5) ; D(1,0,-4)$ និង $E(2,2,-1)$ ។ 1. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញបញ្ជាក់ថា ចំណុច $A, B, C$ កំណត់បានប្លង់មួយ ព្រមទាំងសរសេរសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ 2. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(d)$ កាត់តាម $C$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ $(DE): x-1 = \frac{y}{2} = \frac{z+4}{3}$ ។ 3. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ $M$ នៃបន្ទាត់ $(DE)$ និង ប្លង់ $(ABC)$ ។ 4. បង្ហាញថាចំណុច $I(-1,2,-3)$ ជាផ្ចិតរបស់ស្វ៊ែរ ដែលឆ្លងកាត់តាមចំណុច $A, B, C, D$ រួចសរសេរសមីការស្វ៊ែរនោះ។

១៨. ក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(2,0,1), B(3,1,5)$ និង $C(1,4,4)$ ។ ក. គណនា $\vec{AB}$ និង $\vec{AC}$ ។ ខ. គណនា $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ គ. រកសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ បង្ហាញថាចំណុច $D(2,0,2)$ មិនស្ថិតក្នុងប្លង់ $(ABC)$ ។ ឃ. រកមាឌតេត្រាអែត $DABC$ រួចទាញរកកម្ពស់តេត្រាអែតគូសចេញពី $D$ ។ ង. សរសេរសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។

១៩. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់នៃលំហមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឱ្យចំណុច $A(1,0,0), B(0,1,0)$ និង $C(0,0,1)$ ។ 1. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។ 2. គណនាផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចសរសេរសមីការប្លង់ $ABC$ ។ 3. រកចម្ងាយពីចំណុច $D(0,1,1)$ ទៅប្លង់ $ABC$ ។ 4. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $AC$ ។ 5. រកសមីការប្លង់ $P$ ប៉ះស្វ៊ែរ $S$ ត្រង់ $C$ ។

២០. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយ គេឱ្យចំណុច $A(1,2,-3), B(0,5,-1)$ និង $C(3,0,1)$ ។ 1. ចូរសង់ចំណុច $A, B$ និង $C$ ។ 2. គណនាប្រវែង $AB, AC$ និង $BC$ រួចទាញបញ្ជាក់ថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $A$ ។ 3. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ 4. គណនាមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ។

២១. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយ គេឱ្យចំណុច $A(1,-2,0), B(1,0,4)$ និង $C(0,3,3)$ ។ 1. ចូរសង់ត្រីកោណ $ABC$ ក្នុងតម្រុយ។ 2. រកសមីការប្លង់ $(\alpha)$ ជាប្លង់មេដ្យាទ័រនៃ $[AB]$ ។ 3. រកសមីការនៃស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។ 4. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញរកផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $ABC$ ។ 5. គណនា $P = (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AO}$ រួចទាញរកមាឌនៃតេត្រាអែត $OABC$ និងចម្ងាយពី $O$ ទៅប្លង់ $ABC$ ។

២២. គេមានចំណុច $A(-1, 1, 2) ; B(0, 2, 4)$ និង $C(-1, 3, 1)$ ។ ក. គណនាផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញបញ្ជាក់ថា ចំណុច $A, B$ និង $C$ មិនត្រង់ជួរគ្នា។ ខ. ចូររកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។

២៣. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយ គេឱ្យចំណុច $A(2,3,0), B(0,-3,2)$ និង $C(-2,3,4)$ ។ ក. ចូរសង់ត្រីកោណ $ABC$ ។ ខ. រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{BA}$ និង $\vec{BC}$ ។ បង្ហាញថា $\triangle ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។

២៤. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឱ្យចំណុច $A(1,2,3), B(3,2,1)$ និង $C(3,4,3)$ ។ ក. គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$ ។ បង្ហាញថា $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។ ខ. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញរកផ្ទៃក្រឡា $\triangle ABC$ ។ គ. បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = (-1,1,1)$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ទៅនឹងប្លង់ $(ABC)$ ។ សរសេរសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។

២៥. គេមានចំណុច $A(-2, 1, 0), B(0, 1, 1), C(1, 2, 2)$ និង $D(0, 3, -4)$ ក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ។ ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}, \vec{BC}, \vec{BD}, \vec{CD}$ និងប្រវែងរបស់វារៀងៗខ្លួន។ ខ. ចូរបង្ហាញថា ត្រីកោណ $ABD$ និង $ACD$ កែងត្រង់ $A$ ។

២៦. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $P(2,0,1), Q(3,4,-2)$ និង $R(-1,3,2)$ ។ ក. ចូរសង់ចំណុច $P, Q$ និង $R$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ។ ខ. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{PQ}, |\vec{PQ}|$ និង $\vec{QR}$ ។ គ. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(PQ)$ ។ ឃ. សរសេរសមីការប្លង់ $PQR$ ។

២៧. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(-1,0,2), B(0,-1,1)$ និង $C(1,2,-1)$ ។ ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}$ និង $\vec{AC}$ ។ ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $(\alpha)$ កាត់តាមចំណុច $A, B$ និង $C$ ។ គ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $ABC$ និងមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ។

២៨. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,2,1), B(4,2,4), C(5,3,0)$ ។ a. គណនាកូអរដោនេ $\vec{AB}, \vec{AC}$ និង $\vec{BC}$ ។ បង្ហាញថា $(ABC)$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។ b. បង្ហាញថាបីចំណុច $A, B, C$ បង្កើតបានប្លង់មួយ។ ទាញរកសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ c. ទាញរកផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $(ABC)$ ។

២៩. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ នៃលំហ គេមានចំណុច $A(2,-1,4), B(1,2,3)$ និង $C(3,1,-2)$ ។ ក. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A$ ហើយមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{u}=(3,2,1)$ ។ ខ. បង្ហាញថា $ABC$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $B$ ។ គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{BA} \times \vec{BC}$ ។ គ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $ABC$ ។ កំណត់សមីការប្លង់ដែលកាត់តាមចំណុច $A, B, C$ ។

៣០. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ នៃលំហ គេមានបួនចំណុច $A(0,2,2), B(1,1,2), C(3,0,0)$ និង $D(2,1,0)$ ។ ក. ស្រាយបញ្ជាក់ថា ចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម។ ខ. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ ។ គ. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D$ ហើយស្របនឹងវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}$ ។

៣១. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ នៃលំហ គេមានបួនចំណុច $A(1,2,1), B(2,0,3), C(-1,2,2)$ ។ ក. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A$ និង $B$ ។ ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ បង្ហាញថា $ABC$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $A$ ។ គ. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញរកមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ។ ឃ. គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ កំណត់សមីការប្លង់ដែលកាត់តាមចំណុច $A, B, C$ ។

៣២. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មានទិសដៅវិជ្ជមាន គេមានបួនចំណុច $M(2,4,1), N(3,0,2), P(3,3,5)$ ។ ក. គណនាប្រវែង $MN, MP$ និង $NP$ ហើយបង្ហាញថា $MNP$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។ ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $M$ ហើយមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MP}$ ។

៣៣. 1. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មានទិសដៅវិជ្ជមាន គេមានចំណុច $A(4,-2,0), B(1,2,2), C(2,-1,0)$ និង $D(2,-2,-1)$ ។ ក. កំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(d)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A$ ហើយមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{CD}$ ។ ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $B$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ $(CD)$ ។ គ. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $(d)$ និងប្លង់ $(P)$ ។

៣៤. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ នៃលំហដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាន គេឲ្យបួនចំណុច $A(1,0,-2) ; B(2,1,2) ; C(3,-1,1) ; D(2,-3,0)$ ។ ក) គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ តើបីចំណុច $A, B, C$ រត់ត្រង់ជួរគ្នាឬទេ? ខ) រកសមីការប្លង់ $(ABC)$ រួចគណនាចម្ងាយពីគល់ $O$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ គ) គណនាមាឌតេត្រាអែត $DABC$ ឃ) រកសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ចារឹកក្រៅតេត្រាអែត $DABC$ ។

៣៥. គេឲ្យបីចំណុច $A(1,-2,3), B(3,-1,3)$ និង $C(5,1,4)$ ។ ក. កំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}$ និង $\vec{AC}$ រួចកំណត់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ ខ. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញរកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $A, B, C$ មិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា។ គ. គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ និងសរសេរសមីការប្លង់ $(ABC)$ ឃ. គណនាមាឌតេត្រាអែត $ABCD$ រួចទាញរកចម្ងាយពីចំណុច $D$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ គណនា។

៣៦. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលកំណត់ដោយ $(S): x^2+y^2+z^2-2x+6y+8z+1=0$ ១ រកកូអរដោនេផ្ចិត $I$ និងកាំ $R$ របស់ស្វ៊ែរ $(S)$ ២ $(D)$ ជាបន្ទាត់កាត់តាមចំណុច $I$ ហើយស្របប្លង់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ និងប្លង់ $(O, \vec{j}, \vec{k})$ ។ សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(D)$ ៣ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $M$ និង $N$ ដែលជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $(D)$ ជាមួយស្វ៊ែរ $(S)$ ៤ $(P)$ និង $(Q)$ ជាប្លង់ប៉ះស្វ៊ែរ $(S)$ ត្រង់ $M$ និង $N$ ។ សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ និង $(Q)$ ៥ បញ្ជាក់ថាស្វ៊ែរ $(S)$ កាត់ប្លង់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ បានរង្វង់មួយ ហើយបញ្ជាក់សមីការ ៦ គណនាចម្ងាយពីចំណុច $O$ ទៅបន្ទាត់ $(D)$

៣៧. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មានទិសដៅវិជ្ជមាន គេអោយស្វ៊ែរ $S: (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9$ និង បន្ទាត់ $(L): \frac{x-3}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-9}{5}$ ១. បង្ហាញថាស្វ៊ែរ $(S)$ និងបន្ទាត់ $(L)$ ប្រសព្វគ្នាត្រង់ពីរចំណុច $A$ និង $B$ ។ រួចកំណត់កូអរដោនេ ចំណុច $A$ និង $B$ ។ ២. ចំណុច $P$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $[AB]$ ដែលជាអង្កត់ធ្នូនៃស្វ៊ែរ ទៅលើបន្ទាត់ $(L)$ ។ កំណត់កូអរដោនេចំណុច $P$ ។ ៣. រកសមីការប្លង់មេដ្យាទ័រ $Q$ នៃ $[AB]$ ។ រួចបញ្ជាក់ថា $IAB$ ជាត្រីកោណសមបាតកំពូល $I$ ។

៣៨. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយគេឲ្យចំណុច $A(2,2,0), B(0,2,2)$ និង $C(1,0,1)$ ។ ក. រកសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងស្វ៊ែរ $(S)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ដែលមានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $x=1+t, y=2, z=1+t, t \in \mathbb{R}$ ។ ខ. រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = \vec{CA} \times \vec{CB}$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ $\triangle ABC$ រួចរកសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ គ. ប្លង់ $(ABC)$ ជួប $(ox)$ ត្រង់ $P$ ជួប $(oz)$ ត្រង់ $Q$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $P$ និង $Q$ ។ ឃ. រកចម្ងាយពីចំណុច $D(0,2,0)$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ រួចទាញរកមាឌតេត្រាអែត $DBCA$ ។

៣៩. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,0,-2); B(0,2,0); C(0,0,3)$ ។ 1. សង់ចំណុចទាំងបីនេះ។ កំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងសមីការស៊ីមេទ្រីនៃបន្ទាត់ $(D)$ ដែលកាត់ចំណុច $A$ ហើយស្របនឹង $\vec{u} = (2,-1,3)$ ។ 2. កំណត់សមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡា $ABC$ និងគណនាមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ។ 3. កំណត់សមីការស្វ៊ែរ $(S)$ មានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។

៤០. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយ គេមានចំណុច $A(3,2,-1)$ និង $H(1,-1,3)$ ។ 1. គណនា $AH$ ហើយសរសេរសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AH]$ ។ 2. រកសមីការនៃប្លង់ $(P)$ ដែលប៉ះស្វ៊ែរ $(S)$ ត្រង់ $H$ ។ តើប្លង់ $(P)$ កាត់តាមចំណុច $B(-6,1,1) ; C(4,-3,3)$ និង $D(-1,-5,-1)$ ឬទេ? 3. រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD}$ ។ ទាញរកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $BCD$ ។ 4. បង្ហាញថា $[AH]$ ជាកម្ពស់នៃតេត្រាអែត $ABCD$ ។ ទាញរកមាឌនៃតេត្រាអែត $ABCD$ ។

៤១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $M(1,-1,3) ; N(-1,2,-3) ; P(-3,1,-1)$ និង $Q(-1,-2,5)$ ។ a) គណនាវ៉ិចទ័រ $\vec{MN}, \vec{MP}, \vec{MQ}, \vec{NP}, \vec{NQ}, \vec{PQ}$ និងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងប្រាំមួយនេះ។ b) បង្ហាញថាចតុកោណ $MNPQ$ ជាប្រលេឡូក្រាមមិនមែនជាចតុកោណកែងនិងមិនមែនជាការេ។

៤២. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $M(1,-1,2) ; N(-2,3,2)$ និង $P(-2,-1,2)$ ។ a) គណនាវ៉ិចទ័រ $\vec{MN}, \vec{NP}, \vec{MP}$ និងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះ។ b) បង្ហាញថាត្រីកោណ $MNP$ ជាត្រីកោណកែងនិងទាញរកក្រឡាផ្ទៃត្រីកោណនេះ។

៤៣. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(2,3,1), B(4,2,3), C(0,-2,5)$ និង $D(-2,-1,3)$ ។ a) គណនាវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}$ និង $\vec{AD}$ រួចរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងបួននេះ។ b) បង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាចតុកោណកែងតែមិនមែនជាការេ។

៤៤. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(1,1,-2), B(2,1,0)$ និង $C(0,-1,2)$ ។ ១. គណនា $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញបញ្ជាក់ថា ចំណុច $A, B$ និង $C$ មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ រកសមីការប្លង់ $P$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A, B$ និង $C$ ។ ២. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ នៃបន្ទាត់ $D$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D(2,3,1)$ មិនមែនជាចំណុចរបស់ប្លង់ $P$ ។ ៣. ចំណុច $H$ ជាចំណោលកែងនៃចំណុច $D$ លើប្លង់ $P$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $H$ ។ ៤. គណនាផ្ទៃក្រឡា $\triangle ABC$ ។ គណនាមាឌតេត្រាអែត $DABC$ ទាញរកចម្ងាយពី $D$ ទៅប្លង់ $ABC$ ។

៤៥. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយគេឲ្យចំណុច $A(1,1,0), B(0,2,2), C(1,-2,3)$ ។ ១. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC}$ រួចទាញថាចំណុច $A, B$ និង $C$ មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ រកសមីការប្លង់ $ABC$ ។ ២. រកសមីការបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D(1,-2,0)$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $ABC$ ត្រង់ចំណុច $M$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $M$ ។ ៣. គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាចំណុច $D$ មិនស្ថិតក្នុងប្លង់ $ABC$ ដោយប្រើរូបមន្តចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅប្លង់ រួចគណនាមាឌតេត្រាអែត $ABCD$ ។ ៤. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលចារឹកក្រៅតេត្រាអែត $ABCD$ ។

៤៦. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,2,2), B(3,2,1)$ និង $C(1,3,3)$ ។ ១. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញបញ្ជាក់ថាចំណុច $A, B, C$ មិនត្រង់ជួរគ្នា។ រកសមីការប្លង់ $P_1$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A, B$ និង $C$ ។ ២. គេឲ្យប្លង់ $P_2$ មួយទៀតមានសមីការ $x-3y+2z+2=0$ ។ បង្ហាញថាប្លង់ $P_1$ កាត់ប្លង់ $P_2$ តាមបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃប្លង់ $P_1$ និង $P_2$ ។ ៣. ចំណុច $M$ ជាចំណោលកែងនៃចំណុច $A$ ទៅលើប្លង់ $P_2$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $M$ ។ គណនាចម្ងាយពីចំណុច $A$ ទៅប្លង់ $P_2$ ។ ៤. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានផ្ចិត $A$ ហើយប៉ះកាត់តាមចំណុច $M$ ។

៤៧. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(-2,0,1), B(0,10,3), C(2,0,-1)$ ។ ១. គណនា $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ បង្ហាញថាចំណុច $A, B, C$ មិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា។ ២. សរសេរសមីការប្លង់ $P$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A, B, C$ ។ បង្ហាញថាប្លង់ $P$ កាត់តាមគល់ $O$ នៃតម្រុយ។ ៣. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D(5,3,-1)$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $P$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $H$ រវាងបន្ទាត់ $\Delta$ និងប្លង់ $P$ ។ ៤. គណនាចម្ងាយពីចំណុច $D$ ទៅប្លង់ $P$ ។ គណនាមាឌចតុកោណ $ABCD$ ។ ៥. សរសេរសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានផ្ចិត $D$ និង ប៉ះនឹងប្លង់ $P$ ។

៤៨. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយគេមានចំណុច $A(1,-2,0), B(1,0,4)$ និង $C(0,3,3)$ ។ ១. ដៅចំណុច $A, B, C$ ។ ២. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញបញ្ជាក់ថាចំណុច $A, B, C$ មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ ៣. រកសមីការប្លង់ $P$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A, B$ និង $C$ ។ ៤. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលកាត់តាមចំណុច $C$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $P$ ។ ៥. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $AB$ ។ ៦. គណនាមាឌតេត្រាអែត $OABC$ រួចទាញរកចម្ងាយពី $O$ ទៅប្លង់ $ABC$ ។

៤៩. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយគេមានចំណុច $P(3,-1,2)$ និងបន្ទាត់ $L$ មានសមីការ $\frac{x}{3} = y+6 = \frac{z-2}{2}$ ។ ១. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលកាត់តាមចំណុច $P$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ $L$ ។ ២. រកកូអរដោនេនៃចំណុច $Q$ នៅលើបន្ទាត់ $L$ ដោយដឹងថាបន្ទាត់ $PQ$ មកកែងនឹងបន្ទាត់ $L$ ។ ៣. គណនាចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ $L$ និង $\Delta$ ។

៥០. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(6,4,-2), B(6,2,0)$ និង $C(4,2,-2)$ ។ ១. គណនា $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញបញ្ជាក់ថាចំណុច $A, B, C$ មិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា។ រកសមីការប្លង់ $ABC$ ។ ២. គណនាប្រវែងជ្រុងនៃ $\triangle ABC$ រួចទាញបញ្ជាក់ថា $\triangle ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។ ៣. គេឲ្យចំណុច $S(3,y,z)$ ។ កំណត់តម្លៃ $y$ និង $z$ ដើម្បីឲ្យ $SABC$ ជាពីរ៉ាមីតមានកំពូល $S$ ។ ៤. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលកាត់តាម $S$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $ABC$ ត្រង់ $H$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $H$ រួចគណនាមាឌ $V_{SABC}$ ។

៥១. គេឲ្យបួនចំណុច $A(5,-1,1), B(7,-4,7), C(1,-6,10)$ និង $D(-1,-3,4)$ ។ បង្ហាញថា $ABCD$ ជាចតុកោណស្មើ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡារបស់វា។

៥២. គេឲ្យចំណុច $M(0,4,1), N(2,3,-1)$ និង $P(4,5,0)$ ។ កំណត់សមីការប្លង់ $MNP$ ។

៥៣. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យស្វ៊ែរ $S: x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ ។ 1. គណនាកូអរដោនេនៃផ្ចិត $C$ និង កាំ $r$ របស់ស្វ៊ែរ $S$ ។ ស្វ៊ែរ $S$ កាត់អ័ក្សកូអរដោនេនៅចំណុច $M, N$ និង $P$ ផ្សេងពីគល់តម្រុយ $O$ ។ រកកូអរដោនេចំណុច $M, N, P$ ។ 2. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MP}$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $MNP$ ។ 3. បង្ហាញថាប្លង់ $MNP$ មានសមីការ $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1$ ។ 4. បន្ទាត់ $L$ កាត់តាមចំណុច $C$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $MNP$ ត្រង់ $H$ ។ សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាត់ $L$ ។ គណនាកូអរដោនេ $H$ ។ 5. គណនាមាឌតេត្រាអែត $OMNP$ រួចទាញរកចម្ងាយពីគល់ $O$ មកប្លង់ $MNP$ ។

៥៤. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(5,0,0), B(0,5,0), C(0,0,-5)$ ។ 1. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡា $ABC$ ។ 2. កំណត់សមីការប្លង់ $\Delta$ ដែលកាត់តាមចំណុច $M(1,1,1)$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $ABC$ ។ 3. រកកូអរដោនេនៃចំណុច $H$ ដែលជាចំណោលកែងនៃ $O$ ទៅលើប្លង់ $ABC$ ។ គណនាមាឌតេត្រាអែត $OABC$ ។ 4. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានផ្ចិត $D$ ហើយប៉ះប្លង់ $ABC$ ។

៥៥. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យប្លង់ $P_1$ និង $P_2$ ដែលមានសមីការរៀងគ្នា $x+y-2z+5=0$ និង $2x-y+z+5=0$ ហើយ $\vec{n_1}$ និង $\vec{n_2}$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃប្លង់ $P_1$ និង $P_2$ រៀងគ្នា។ 1. គណនារង្វាស់មុំរវាងប្លង់ $P_1$ និង $P_2$ ។ 2. គណនា $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ ។ សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $L$ ដែលជាបន្ទាត់ប្រសព្វរវាងប្លង់ $P_1$ និង $P_2$ ។ 3. គេមានបន្ទាត់ $\Delta: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$ និងចំណុច $M(1,2,-1)$ ។ បង្ហាញថាចំណុច $M$ មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ $\Delta$ ។ គណនាចម្ងាយពីចំណុច $M$ ទៅបន្ទាត់ $\Delta$ ។ 4. យក $A$ និង $B$ ជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $\Delta$ ទៅនឹងប្លង់ $P_1$ និង $P_2$ ។ គណនាប្រវែង $AB$ ។ 5. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានផ្ចិតនៅលើបន្ទាត់ $\Delta$ ហើយប៉ះនឹងប្លង់ $P_1$ និង $P_2$ ។

៥៦. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(5,2,0), B(2,6,1), C(2,4,7)$ ។ 1. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញបញ្ជាក់ថាចំណុច $A, B, C$ មិនត្រង់ជួរគ្នា។ រកផ្ទៃក្រឡា $\triangle ABC$ ។ 2. រកសមីការប្លង់ $\Delta$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D$ ដើម្បីឲ្យចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម។ រកសមីការបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $ABCD$ ។ 3. គណនាផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ ។ 4. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $AC$ ។

៥៧. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យបីចំណុច $A(1,3,2), B(-3,1,4), C(5,5,0)$ ។ 1. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញបញ្ជាក់ថា ចំណុច $A, B, C$ មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ រកសមីការប្លង់ $ABC$ ។ 2. សរសេរសមីការស្វ៊ែរ $S$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $AB$ ។ បង្ហាញថាចំណុច $M(1,1,4)$ ស្ថិតនៅលើស្វ៊ែរ $S$ ។ 3. បង្ហាញថាត្រីកោណ $AMB$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $M$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $AMB$ ។ គណនាចម្ងាយពីចំណុច $M$ ប្លង់ $ABC$ ។ 4. សរសេរសមីការប្លង់ $P$ ដែលដាច់ប្លង់ជុំវិញនៃអង្កត់ $AB$ ។

៥៨. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,-1,0), B(1,-3,-2)$ និង $C(1,2,0)$ ។ ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}$ និង $\vec{BC}$ ។ កំណត់ប្រភេទនៃត្រីកោណ $ABC$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡារបស់វា។ ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A, B$ និង $C$ ។ គ. រកសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។

៥៩. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(-1,1,0), B(0,1,2)$ និង $C(6,6,-1)$ ។ ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}$ និង $\vec{BC}$ ។ កំណត់ប្រភេទនៃត្រីកោណ $ABC$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡារបស់វា។ ខ. បង្ហាញថា $\vec{n}=(-2,3,1)$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃប្លង់ $(ABC)$ ។ សរសេរសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ គ. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច $D$ ដើម្បីឲ្យចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម។

៦០. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,2,-1), B(2,0,-2)$ និង $C(-1,1,1)$ ។ ក. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញថា $A, B, C$ មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $A, B$ និង $C$ ។ គ. គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ គណនាចម្ងាយពីចំណុច $D(1,1,1)$ ទៅប្លង់ $(P)$ រួចទាញរកមាឌតេត្រាអែត $ABCD$ ។

៦១. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,2,1), B(3,1,2)$ និង $C(3,3,-2)$ ។ ១. ក. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណកែង រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណនេះ។ ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $B$ និង $C$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $(Q): x+y+z+1=0$ ។

៦២. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(0,0,3)$ និងវ៉ិចទ័រ $\vec{u}=(1,1,1)$ ។ ក. ចូរសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ $(d)$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយស្របនឹង $\vec{u}$ ។ ខ. តាង $B(x,y,z)$ ។ គណនាផលគុណស្កាលែ $\vec{AB} \cdot \vec{u}$ ។ គ. កំណត់សមីការមួយដែលទាក់ទងនឹង $x, y, z$ ដើម្បីឲ្យវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}$ និង $\vec{u}$ កែងគ្នា។ តើសំណុំចំណុច $B$ ជាអ្វី?

៦៣. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(2,-4,-5)$ និងប្លង់ $(P): 2x+2y+z-9=0$ ។ ក. ចូរសរសេរសមីការប្លង់ $(Q)$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយស្របនឹងប្លង់ $(P)$ ។ ខ. រកសមីការស្វ៊ែរដែលផ្ចិត $A$ ហើយប៉ះនឹងប្លង់ $(P)$ ។ គ. សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $(P)$ ។

៦៤. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(0,3,0), B(0,1,-2)$ និង $C(2,3,-2)$ ។ ក. តើ $\Delta ABC$ ជាប្រភេទត្រីកោណអ្វី? រកចម្ងាយពីចំណុច $A$ ទៅប្លង់ $(P): x-2y+3z-15=0$ ។ ខ. រកសមីការស្វ៊ែរដែលកាត់តាមចំណុច $A, B, C$ និងចំណុចគល់ $O$ ។

៦៥. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(-1,0,1), B(3,0,1)$ និង $C(1,2,3)$ ។ ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$ រួចគណនាប្រវែង $AB, AC, BC$ ។ ខ. បង្ហាញថាចំណុច $A, B, C$ ស្ថិតលើប្លង់តែមួយ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ គ. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(\Delta)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A$ ហើយមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{AB}$ ។

៦៦. ក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(-1,2,1), B(1,2,2)$ និង $C(1,4,-3)$ ។ ក. គណនាផលគុណ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញរកផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ ខ. កំណត់ប្រភេទត្រីកោណ $ABC$ រួចសរសេរសមីការប្លង់ដែលកាត់តាម $A, B$ និង $C$ ។

៦៧. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់វិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានបួនចំណុច $A(3,0,3), B(2,-2,1), C(4,1,3)$ និង $D(5,3,5)$ ។ ក. រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{BC}$ និង $\vec{AD}$ រួចទាញបង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម ។ ខ. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AD}$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ ។ គ. សរសេរសមីការប្លង់ $(ABD)$ និងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(AC)$ ។

៦៨. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់នៃលំហ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,1,-1), B(3,0,0)$ និងវ៉ិចទ័រ $\vec{DC}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$ ។ រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}$ រួចទាញបង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម ។

៦៩. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់នៃលំហ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,1,1)$ និង $B(2,2,0)$ ។ ក. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $A$ និងមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{OA}$ ។ ខ. បន្ទាត់ $(D)$ កាត់តាមចំណុច $B$ ហើយស្របនឹងវ៉ិចទ័រ $\vec{OA}$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $H$ ជាចំណុចប្រសព្វរវាងប្លង់ $(P)$ និងបន្ទាត់ $(D)$ រួចរកចម្ងាយពីចំណុច $A$ ទៅបន្ទាត់ $(D)$ ។

៧០. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(1,0,1), B(0,2,2)$ និង $C(2,1,0)$ ។ ក. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់កំពូល $A$ ។ ខ. គណនាវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ គ. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D(1,-1,3)$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $ABC$ ត្រង់ $M$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $M$ ។

៧១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានបួនចំណុច $A(0,2,2), B(1,1,2), C(3,0,0)$ និង $D(2,1,0)$ ។ ១. ចូរបង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម ។ ២. គណនាផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ ។ ៣. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាមាឌតេត្រាអែត $ABCD$ ។

៧២. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $Oxyz$ គេមានចំណុច $A(1,0,1), B(0,2,2), C(2,1,0)$ ។ 1. បង្ហាញថា $ABC$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $A$ ។ 2. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញផ្ទៃក្រឡា $ABC$ ។ 3. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $D$ ដែលកាត់ចំណុច $M(1,-1,3)$ កែងនឹងប្លង់ $ABC$ ត្រង់ $H$ ។ រកកូអរដោនេ $H$ ។

៧៣. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $Oxyz$ គេមាន $M(-1,0,1), N(0,1,2), P(1,2,-1)$ ។ ក. រកកូអរដោនេនៃ $\vec{MN} \times \vec{MP}$ រួចទាញសមីការប្លង់ $MNP$ ។ ខ. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ មានផ្ចិត $M$ ហើយកាត់តាម $N$ ។ តើ $P$ ស្ថិតនៅលើស្វ៊ែរឬទេ?

៧៤. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $Oxyz$ គេឲ្យ $A(3,2,6), B(1,2,4), C(4,-2,5)$ ។ ក. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណកែង ។ ខ. កំណត់សមីការប្លង់ $P$ កាត់តាម $O$ ហើយកែងនឹង $\vec{AB}$ ។ គ. យក $K$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $BC$ ។ រកសមីការស្វ៊ែរអង្កត់ផ្ចិត $OK$ ។

៧៥. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $Oxyz$ គេមាន $A(1,2,2), B(3,2,1), C(1,3,3)$ ។ 1. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចបង្ហាញថា $A,B,C$ មិនរត់ត្រង់ជួរ ។ រកសមីការប្លង់ $P_1$ កាត់តាម $A,B,C$ ។ 2. គេឲ្យប្លង់ $P_2$ មានសមីការ $x-3y+2z+2=0$ ។ បង្ហាញថាប្លង់ $P_1$ កាត់ប្លង់ $P_2$ តាមបន្ទាត់ $\Delta$ ។ 3. ចំណុច $M$ ជាចំណោលកែងនៃ $A$ លើ $P_2$ ។ រកកូអរដោនេ $M$ ។

៧៦. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $Oxyz$ មាន $A(2,3,6), B(-3,0,-3), C(0,-3,-3), D(1,1,-4)$ ។ ក. គណនាវ៉ិចទ័រ $\vec{BC}, \vec{CD}$ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថាមុខខាងៗនៃចតុកោណជាត្រីកោណកែង។ ខ. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ គណនាផ្ទៃក្រឡា $ABC$ និងសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ គ. គណនាមាឌតេត្រាអែត $ABCD$ ។ ឃ. កំណត់សមីការស្វ៊ែរ $S$ មានផ្ចិត $A$ កាត់តាមចំណុច $B$ ។

៧៧. ក្នុងតម្រុយ $Oxyz$ គេមាន $M(-1,0,1), N(0,1,2), P(1,2,-1)$ ។ ក. រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{MN} \times \vec{MP}$ ទាញរកសមីការប្លង់ $(MNP)$ ។ ខ. រកសមីការស្វ៊ែរ $(S)$ ដែលមានផ្ចិត $M$ ហើយកាត់តាម $N$ ។ តើចំណុច $P$ ស្ថិតនៅលើ $(S)$ ទេ?

៧៨. ក្នុងតម្រុយ $Oxyz$ គេមាន $A(3,2,6), B(1,2,4), C(4,-2,5)$ ។ ក. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណកែង ។ ខ. កំណត់សមីការប្លង់កាត់តាម $O$ ហើយកែងនឹង $\vec{AB}$ ។ គ. យក $K$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ $BC$ ។ រកសមីការស្វ៊ែរដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $OK$ ។

៧៩. ក្នុងតម្រុយ $Oxyz$ គេមាន $A(1,2,2), B(3,2,1), C(1,3,3)$ ។ ១. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចបង្ហាញថាចំណុច $A,B,C$ មិនរត់ត្រង់ជួរ។ រកសមីការប្លង់ $P_1$ កាត់តាម $A,B,C$ ។ ២. គេឲ្យប្លង់ $P_2: x-3y+2z+2=0$ ។ បង្ហាញថាប្លង់ $P_1$ កាត់ $P_2$ តាមបន្ទាត់ $\Delta$ ។ ៣. $M$ ជាចំណោលកែងនៃ $A$ លើប្លង់ $P_2$ រកកូអរដោនេ $M$ និងចម្ងាយពី $A$ ទៅប្លង់ $P_2$ ។ ៤. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ផ្ចិត $A$ ប៉ះប្លង់ $P_2$ ។

៨០. ក្នុងតម្រុយ $Oxyz$ គេមាន $A(2,3,6), B(-3,0,-3), C(0,-3,-3), D(1,1,-4)$ ។ ក. រកកូអរដោនេ $\vec{BC}, \vec{CD}$ ។ បង្ហាញថាមុខខាងៗនៃចតុកោណជាត្រីកោណកែង។ ខ. គណនា $\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}$ ផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ និងសមីការប្លង់ $ABC$ ។ គ. គណនាមាឌតេត្រាអែត $ABCD$ ។ ឃ. រកសមីការស្វ៊ែរ $S$ ផ្ចិត $A$ ហើយកាត់តាម $B$ ។

៨១. ក្នុងតម្រុយ $Oxyz$ មានបន្ទាត់ $d: \frac{x+1}{3} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z+1}{4}$ និងប្លង់ $\alpha: x+2y+2z-10=0$ ។ ក. កំណត់កូអរដោនេចំណុច $A$ ដែលជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $d$ និងប្លង់ $\alpha$ ។ ខ. រកសមីការប្លង់ $\beta$ កាត់តាមចំណុច $A$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ $d$ ។

៨២. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់នៃលំហ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,1,-1), B(3,0,0)$ និងវ៉ិចទ័រ $\vec{DC}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$ ។ រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}$ រួចទាញបង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម ។

៨៣. ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(0,3,0), B(0,1,-2)$ និង $C(2,3,-2)$ ។ ក. តើ $\Delta ABC$ ជាប្រភេទត្រីកោណអ្វី? រកចម្ងាយពីចំណុច $A$ ទៅប្លង់ $(P): x-2y+3z-15=0$ ។ ខ. រកសមីការប្លង់កាត់តាមចំណុច $A, B, C$ ។

៨៤. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,2,1), B(-2,1,0), C(-4,1,1)$ និងតេត្រាអែត $ABCD$ ជាពីរ៉ាមីត ។ 1. គណនាវ៉ិចទ័រ $\vec{BC}, \vec{CD}$ ។ 2. គណនាផ្ទៃក្រឡា $\triangle ABC$ ។ 3. គណនាផលគុណ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ និងទាញរកមាឌតេត្រាអែត ។

៨៥. នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(1,0,1), B(0,2,2)$ និង $C(2,1,0)$ ។ ក. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់កំពូល $A$ ។ ខ. គណនាវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ គ. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D(1,-1,3)$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $ABC$ ត្រង់ $M$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $M$ ។

៨៦. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានបួនចំណុច $A(0,2,2), B(1,1,2), C(3,0,0)$ និង $D(2,1,0)$ ។ ១. ចូរបង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម ។ ២. គណនាផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាម $ABCD$ ។ ៣. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាមាឌតេត្រាអែត $ABCD$ ។

🎲 លំហាត់ប្រូបាប

១. ក្នុងមណ្ឌលសុខភាពមួយមានបុគ្គលិកនារី ៩ នាក់ និងបុគ្គលិកបុរស ៥ នាក់។ គេរៀបចំជាក្រុមការងារមួយក្រុមៗ ៤ នាក់ដោយចៃដន្យឱ្យចុះតាមភូមិ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ A: ក្រុមការងារដែលរៀបចំមានបុគ្គលិកទាំង ៤ នាក់សុទ្ធតែជានារី B: ក្រុមការងារដែលរៀបចំមានបុគ្គលិក ៥០% ជានារី

២. ក្នុងថ្នាក់រៀននៃសាលារៀនអនុវត្តមួយមានសិស្ស 24 នាក់ ដែលក្នុងនោះ៖ 3 នាក់អវត្តមានដោយមានធុរៈ, 2 នាក់ឈឺបាត់បង់, 5 នាក់ជានិស្សិតគណិត, 4 នាក់ជានិស្សិតរូបវិទ្យា និង 10 នាក់ជានិស្សិតគីមីវិទ្យា។ គេជ្រើសរើសសិស្ស 3 នាក់ដោយចៃដន្យតំណាងថ្នាក់យកទៅប្រកួតកម្មវិធីមួយ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A: "សិស្សទាំង 3 នាក់សុទ្ធតែជានិស្សិតរូបវិទ្យា" B: "សិស្សទាំង 3 នាក់សុទ្ធតែជានិស្សិតគីមីវិទ្យា តែមិនមែនអវត្តមានមានធុរៈ" C: "សិស្ស 3 នាក់មានម្នាក់អវត្តមាន ម្នាក់ជានិស្សិតរូបវិទ្យា និងម្នាក់ទៀតជានិស្សិតគីមីវិទ្យាតែមិនមានធុរៈ"

៣. អ្នកលក់អាវម្នាក់ គាត់មានអាវពណ៌សំបកអម្ពិល ២៥ ដែលក្នុងនោះមានអាវខូច ៣ ដែលលាយឡំ។ គេចាប់យកអាវ ១ យកទៅឱ្យអតិថិជន។ ១. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ A: អាវដែលចាប់បានជាអាវខូច។ ២. អ្នកទិញគាត់ចាប់យកអាវដោយមិនរើស ហើយគាត់ទិញបានអាវល្អចំនួន ៧ តើគាត់ត្រូវទិញអាវយ៉ាងតិចប៉ុន្មានទើបបានអាវល្អ? ៣. គេចាប់យកអាវ ២ ក្នុងពេលតែមួយពីក្នុងចំណោមអាវទាំង ២៥។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ B: អាវទាំងពីរចាប់បានជាអាវខូច។

៤. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន ២ ឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន ៣ និងឃ្លីពណ៌សចំនួន ៤។ គេចាប់យកឃ្លីចំនួន ៣ ក្នុងពេលតែមួយដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ A: ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ស B: ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ខុសៗគ្នា

៥. ក្នុងចានមួយមានប៊ូល ១៦ ដែលគេសរសេរលេខពី ១ ដល់ ១៦។ គេចាប់យកប៊ូល ៣ ចេញពីចានដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A: "គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង ៤" B: "គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែមិនអាចចែកដាច់នឹង ៥" C: "គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង ៤"

៦. ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌លឿងចំនួន ២ ឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន ៤ និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន ៤។ គេចាប់យកឃ្លី ៣ ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A: "ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ក្រហម" B: "យ៉ាងតិចមានឃ្លី ២ មានពណ៌ខៀវ" C: "ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ខុសៗគ្នា"

៧. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សពូកែចំនួន ១០ នាក់ ដែលក្នុងនោះ ៤ នាក់ជាសិស្សស្រី និង ៦ នាក់ជាសិស្សប្រុស។ គេរៀបចំសិស្សជាក្រុម ក្នុងមួយក្រុមមានសិស្ស ៤ នាក់ដោយចៃដន្យ យកទៅប្រកួតប្រជែងសិស្សពូកែថ្នាក់ទី ១២។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A: "ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែស្រី" B: "ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែប្រុស" C: "ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបាន ៥០% ជាសិស្សប្រុស"

៨. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល ១៥ ដែលចែកជា ប៊ូលពណ៌បៃតងចំនួន ៧ និងប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន ៨។ គេទាញយកប៊ូល ៥ ក្នុងពេលតែមួយដោយចៃដន្យ។ ១. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ A: "ប៊ូលដែលទាញបានមានពណ៌បៃតង ៣ និងពណ៌ក្រហម ២" ។ ២. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ B: "ប៊ូលដែលទាញបានមានពណ៌បៃតងយ៉ាងតិច ១" ។

៩. ក្នុងស្មុគ្រមួយមានប៊ូលពណ៌ស ៣ ប៊ូលពណ៌ខៀវ ៣ និងប៊ូលពណ៌ក្រហម ២។ គេចាប់យកប៊ូលម្ដង ៣ ក្នុងពេលតែមួយចេញពីស្មុគ្រដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបដែលចាប់បានប៊ូលមួយពណ៌មួយសមាមាត្រ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ១. យ៉ាងតិចមានប៊ូលពណ៌ខៀវ ១ ។ ២. ប៊ូលទាំងបីមានពណ៌ខុសៗគ្នា។

១០. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សអាស៊ី ៤ នាក់ សិស្សអាហ្វ្រិក ២ នាក់ សិស្សអឺរ៉ុប ៣ នាក់។ គេរៀបចំជាក្រុមសិស្សសិក្សាក្នុងមួយក្រុមមានសិស្ស ៣ នាក់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ១. "យ៉ាងតិចមានសិស្ស ២ នាក់ជាសិស្សអាស៊ី" ២. "យ៉ាងតិចមានសិស្ស ២ នាក់ជាសិស្សអឺរ៉ុប" ៣. "មានសិស្ស ១ ម្នាក់ក្នុងមួយទ្វីប"

១១. នៅក្នុងធុងមួយមានប៊ូល ១២ ដែលគេសរសេរលេខពី ១ ដល់ ១២។ គេចាប់យកប៊ូល ៣ ចេញពីធុងព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ ១. រកប្រូបាបដែល "គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង ៣" ។ ២. រកប្រូបាបដែល "គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង ៣" ។ ៣. រកប្រូបាបដែល "គេចាប់បានប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់កើនបង្កើតបានជាស្វ៊ីតនព្វន្ត ដែលមានផលសងរួម d=3" ។

១២. ពេលប្រឡងបញ្ចប់ឆ្នាំសិក្សា ត្រូវបានរៀបចំប្រឡងសំណួរផ្ទាល់មាត់ចំនួន ១០ ដែលក្នុងនោះមាន ៥ សំណួរចេញមេរៀនត្រីមាសទី១ ហើយ ៣ សំណួរចេញមេរៀនត្រីមាសទី២ និង ២ សំណួរចេញមេរៀនត្រីមាសទី៣។ លោកគ្រូហៅសិស្សម្នាក់ចាប់យកសំណួរ ៣ ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក) A : សំណួរទាំង ៣ ដែលចាប់បាន ជាមេរៀនត្រីមាសទី១ ខ) B : សំណួរទាំង ៣ ដែលចាប់បាន មាននៅក្នុងមេរៀនទាំង ៣ ត្រីមាស គ) C : សំណួរទាំង ៣ ដែលចាប់បាន ជាមេរៀនក្នុងត្រីមាសដូចគ្នា

១៣. ក្នុងចង់មួយមានកូនបាល់ចំនួន ៤០ គ្រាប់ ក្នុងនោះមានបាល់ពណ៌បៃតងចំនួន ១៩ និងបាល់ពណ៌លឿងចំនួន ២១។ គេចាប់យកកូនបាល់ម្ដង ២ គ្រាប់ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក) A : ចាប់បានបាល់ពណ៌លឿង ១ គ្រាប់ និងបាល់ពណ៌បៃតង ១ គ្រាប់ ខ) B : ចាប់បានបាល់ពណ៌បៃតងទាំង ២ គ្រាប់ គ) C : ចាប់បានបាល់ទាំង ២ មានពណ៌ដូចគ្នា

១៤. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន ៤ និង ប៊ូលពណ៌ខ្មៅចំនួន ៥។ ក) គេចាប់យកប៊ូល ២ ពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលប៊ូលចាប់ទាំងពីរ មានពណ៌ក្រហម និងមួយពណ៌ខ្មៅ។ ខ) គេចាប់យកប៊ូលមួយហើយដាក់ទៅវិញ បន្ទាប់មកគេចាប់យកប៊ូលមួយទៀត។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលប៊ូលលើកទី១ពណ៌ខ្មៅ ហើយមួយទៀតពណ៌ក្រហម។

១៥. ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន ៤ និង ពណ៌សចំនួន ៦។ គេចាប់យកឃ្លី ៣ មកដាក់នៅខាងក្រៅ ក្នុងពេលតែមួយ ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក) ឃ្លីដែលចាប់បានមានពណ៌ខៀវទាំងបី ខ) ឃ្លីដែលចាប់បានមានពណ៌ក្រហមពីរ និង ពណ៌សមួយ

១៦. ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន ៥ និង ឃ្លីពណ៌ខ្មៅចំនួន ៣។ គេចាប់យកឃ្លី ៣ ដោយចៃដន្យ។ គេសន្មតថាប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីមួយៗមានសមាមាត្រ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក) A : ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ក្រហម ខ) B : ឃ្លី ២ មានពណ៌ក្រហម និង ១ មានពណ៌ខ្មៅ

១៧. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល 10 ដែលក្នុងនោះ៖ ប៊ូល 5 មានពណ៌លឿងដោយសរសេរលេខពី 1 ដល់ 5, ប៊ូល 3 មានពណ៌ក្រហមដោយសរសេរលេខពី 1 ដល់ 3 និង ប៊ូល 2 មានពណ៌សដោយសរសេរលេខពី 1 ដល់ 2។ គេចាប់យកប៊ូលមួយក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក) A : ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌លឿង ខ) B : ប៊ូលដែលចាប់បានមានលេខ 2 គ) C : ប៊ូលដែលចាប់បានមានលេខ 1 និង ពណ៌ក្រហម

១៨. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស 15 នាក់ ក្នុងនោះមានសិស្សប្រុស 9 នាក់ និងសិស្សស្រី 6 នាក់។ គេជ្រើសរើសសិស្ស 3 នាក់ ដោយចៃដន្យតំណាងយកទៅសួរសំណួរ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក) ក្រុមសិស្សទាំង 3 នាក់ សុទ្ធតែជាសិស្សស្រី ខ) ក្រុមសិស្សទាំង 3 នាក់ សុទ្ធតែជាសិស្សប្រុស គ) ក្រុមសិស្សទាំង 3 នាក់ មាន 2នាក់ជាសិស្សស្រី

១៩. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលពណ៌សចំនួន 3 និងប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន 6។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ក្នុងពេលតែមួយ ចេញពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក) A : ប៊ូលទាំងបីមានពណ៌ស ខ) B : ប៊ូលទាំងបីមានពណ៌ក្រហម គ) C : មានប៊ូលមួយពណ៌ក្រហម និងពីរទៀតពណ៌ស

២០. ប្រអប់មួយមានឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន 3 និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន 5។ គេចាប់ឃ្លី 2 ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក) A : ឃ្លីទាំងពីរមានពណ៌ក្រហម ខ) B : ឃ្លីទាំងពីរមានពណ៌ខៀវ គ) C : ឃ្លីមួយក្នុងមួយពណ៌

២១. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលពណ៌សចំនួន 3 ប៊ូលពណ៌ខៀវចំនួន 4។ គេចាប់យកប៊ូល 2 គ្រាប់ក្នុងពេលតែមួយ ចេញពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក) គេចាប់បានប៊ូលពណ៌ខៀវទាំងពីរ ខ) គេចាប់បានប៊ូលមួយក្នុងមួយពណ៌

២២. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលពណ៌ក្រហម 4 ប៊ូលស 3 និងប៊ូលខៀវ 2។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ក្នុងពេលតែមួយចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែល៖ ក) គេចាប់បានប៊ូលក្រហមពីរ និងប៊ូលផ្សេងទៀតមិនក្រហម ខ) គេចាប់បានប៊ូលក្រហមទាំងបី គ) គេចាប់បានយ៉ាងតិចប៊ូលក្រហមពីរ

២៣. ក្នុងប្រអប់មួយមានខ្មៅដៃពណ៌ខៀវ 5 ដើម និង ខ្មៅដៃពណ៌ក្រហម 4 ដើម។ សិស្សម្នាក់បានចាប់យកខ្មៅដៃ 3 ព្រមគ្នាពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែល៖ ក) សិស្សយកបានខ្មៅដៃពណ៌ខៀវ 2 ដើមនិង ខ្មៅដៃពណ៌ក្រហម 1 ដើម ខ) សិស្សយកបានខ្មៅដៃពណ៌ដូចគ្នា

២៤. ក្នុងចង់មួយមានសៀវភៅគណិតវិទ្យា 7 ក្បាល និង សៀវភៅភាសាខ្មែរ 5 ក្បាល។ សិស្សម្នាក់បានយកសៀវភៅ 4 ក្បាល ព្រមគ្នាចេញពីចង់ដោយចៃដន្យ។ ក) រកប្រូបាបដែល សិស្សយកបានសៀវភៅគណិតវិទ្យា ទាំង 4 ក្បាល ខ) រកប្រូបាបដែល សិស្សយកបានសៀវភៅភាសាខ្មែរ 1 ក្បាលយ៉ាងតិច

២៥. គ្រូបន្ទុកថ្នាក់បានជ្រើសរើសប្រធានក្រុមដែលសំអាតថ្នាក់ថ្ងៃច័ន្ទចំនួន 6 នាក់ ថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សប្រុសចំនួន 20 នាក់ និងសិស្សស្រីចំនួន 15 នាក់។ គណនាប្រូបាបខាងក្រោម៖ ក) A : ប្រធានក្រុមសុទ្ធតែប្រុស ខ) B : ប្រធានក្រុមសុទ្ធតែស្រី គ) C : ប្រធានក្រុមមានប្រុស 3 នាក់ និងស្រី 3 នាក់

២៦. នៅក្នុងថង់មួយមានប៊ិចពណ៌ក្រហម ៤ និងប៊ិចពណ៌ខៀវ ៥ ។ គេចាប់យកប៊ិច ៣ ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. A "បានប៊ិចក្រហមទាំង ៣ ដើម" ខ. B "បានប៊ិចក្រហម ២ ដើម និងប៊ិចខៀវ ១ ដើម" គ. C "យ៉ាងហោចបានប៊ិចក្រហម ១ ដើម"

២៧. នៅក្នុងថ្នាក់មួយមានសិស្សនារី ៨ នាក់ និងបុរស ១២ នាក់ ។ គេជ្រើសរើសសិស្ស ៣ នាក់ដើម្បីបង្កើតគណៈកម្មការមួយ ។ 1. រកប្រូបាបដែលគណៈកម្មការទាំងបីជានារី ។ 2. រកប្រូបាបដែលគណៈកម្មការមាននារីយ៉ាងតិចមួយនាក់ ។

២៨. ក្នុងថ្នាក់មួយមានសិស្ស ១៥នាក់ ដែលមានសិស្សនារី ៧នាក់ ។ គេជ្រើសរើសសិស្ស ៥នាក់ ដើម្បីបង្កើតគណៈកម្មការដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A: គណៈកម្មការមាននារី២នាក់ B: គណៈកម្មការមាននារី២នាក់ និងមានប្រធានម្នាក់ អនុប្រធានម្នាក់ C: គណៈកម្មការមាននារីយ៉ាងតិច៤នាក់ ។

២៩. 1. អ្នកគ្រូម្នាក់បានលើកទឹកចិត្តសិស្សពូកែក្នុងថ្នាក់ដោយការផ្តល់រង្វាន់សៀវភៅ 2 ក្បាលពីចំណោមសៀវភៅគណិតវិទ្យា 6 ក្បាល វិទ្យាសាស្ត្រ 7 ក្បាល និងសេដ្ឋកិច្ច 4 ក្បាល។ ចូរគណនាចំនួនរបៀបនៃការជ្រើសរើសសៀវភៅ 2 ក្បាលនោះ បើសិនជារង្វាន់នោះ៖ ក. រើសយកសៀវភៅ 2 ក្បាលដែលមុខវិជ្ជាដូចគ្នា? ខ. រើសយកសៀវភៅ 2 ក្បាលមុខវិជ្ជាខុសគ្នា? 2. អំណោយចំនួន 7 នឹងត្រូវចែកជូនសិស្សប្រុសចំនួន 10 នាក់។ តើមានប៉ុន្មានរបៀបក្នុងការចែក បើគ្មាននរណាម្នាក់បានលើសពី 1 ឡើយ?

៣០. ថង់មួយមានបាល់ក្រហម 8 បាល់ស 5 ព៌ណ 3 ត្រូវបានយកចេញដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក. A: បាល់ទាំង 3 ព៌ណស ។ ខ. B: បាល់ទាំង 3 ព៌ណក្រហម ។ គ. C: បាល់ស 2 និងបាល់ក្រហម 1 ។

៣១. ក្នុងចង់មួយមានប៊ិចក្រហម 5 ដើម ប៊ិចខៀវ 8 ដើម និង ប៊ិចខ្មៅ 7 ដើម ។ គេចាប់យកប៊ិច 4 ដើមព្រមគ្នាដោយចៃដន្យចេញពីថង់ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ ខាងក្រោម៖ 1. A : ចាប់បានប៊ិចមានពណ៌ដូចគ្នា 2 ដើម ។ 2. B : ចាប់បានប៊ិចមានពណ៌ដូចគ្នា 3 ដើម ។ 3. C : ចាប់បានប៊ិចមានពណ៌ដូចគ្នា 4 ដើម ។ 4. D : ចាប់បានប៊ិចមានពណ៌ដូចគ្នា 2 គូ ។

៣២. នៅក្នុងប្រអប់មានប៊ិចចំនួន ១០ ដើម ដែលក្នុងនោះមានប៊ិចក្រហមចំនួន ៤ ដើម និងប៊ិចផ្សេងៗចំនួន ៦ ដើម។ គេចាប់យកប៊ិច ៣ ដើមក្នុងពេលតែមួយចេញពីប្រអប់នោះដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A. "ចាប់បានប៊ិចផ្សេងៗទាំង ៣ ដើម" , B. "ចាប់បានប៊ិចក្រហមមួយដើម និងផ្សេងៗពីរដើម" , C. "ចាប់បានប៊ិចផ្សេងៗតែមួយដើមគត់"

៣៣. នៅក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌លឿងចំនួន ១២ និងពណ៌ក្រហម ៨ ។ គេទាញយកឃ្លី ២ ព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ 1. រកប្រូបាបដែលទាញបានឃ្លីមានពណ៌ដូចគ្នា។ 2. រកប្រូបាបដែលទាញបានឃ្លីមួយពណ៌មួយ។

៣៤. នៅក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចក្រហមចំនួន 7 ដើម និងប៊ិចផ្សេងៗចំនួន 5 ដើម។ គេយកប៊ិច 4 ដើមព្រមគ្នាចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. "យកបានប៊ិចក្រហមទាំង 4 ដើម" , ខ. "យកបានប៊ិចផ្សេងៗយ៉ាងតិច 1 ដើម" , គ. "យកបានប៊ិចក្រហមចំនួន 3 ដើមគត់"

៣៥. ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌សចំនួន ២ ឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន ៤ និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន ១ ។ គេចាប់យកឃ្លី ៣ ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ក្រហម , ខ. យ៉ាងតិចមានឃ្លី ២ មានពណ៌ខៀវ , គ. ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ខុសៗគ្នា ។

៣៦. ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចប្រភេទដូចគ្នាចំនួន 20 ដើម ដែលមានពណ៌ខៀវ 14 ដើម និងពណ៌ក្រហម 6 ដើម។ គេយកប៊ិច 5 ដើមព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. យកបានប៊ិចខៀវទាំង 5 ដើម , ខ. យកបានប៊ិចខៀវ 3 ដើមនិងក្រហម 2 ដើម , គ. យកបានប៊ិចក្រហម 1 ដើមយ៉ាងតិច។

៣៧. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលចំនួន 15 ដែលមានលេខពី 1 ដល់ 15 ។ គេចាប់យក 3 ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A: "គេចាប់បានប៊ូលទាំង 3 សុទ្ធតែមានលេខចែកដាច់នឹង 3" B: "គេចាប់បានប៊ូលទាំង 3 មានលេខសុទ្ធតែមិនចែកដាច់នឹង 4" C: "គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង 3"

៣៨. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលក្រហម 4 ប៊ូលខ្មៅ 3 និងប៊ូលស 1 ។ គេយកប៊ូល 3 ចេញពីថង់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែលគេយកបាន៖ ក. ប៊ូលក្រហមពីរយ៉ាងតិច។ ខ. ប៊ូលពីរយ៉ាងតិចមានពណ៌ដូចគ្នា។ គ. ប៊ូលនីមួយៗមានពណ៌ខុសៗគ្នា។

៣៩. ក្នុងវិទ្យាល័យមួយមានគ្រូគណិតវិទ្យាចំនួន 9 នាក់ ក្នុងនោះមានគ្រូស្រីចំនួន 4 នាក់ និងគ្រូប្រុស 5 នាក់។ គណៈគ្រប់គ្រងសាលាបានជ្រើសរើសគ្រូចំនួន 3 នាក់ដោយចៃដន្យដើម្បីទៅធ្វើជាគណៈកម្មការកំណែប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាទុតិយភូមិ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ A : គណៈកម្មការកំណែសុទ្ធតែគ្រូស្រី B : គណៈកម្មការកំណែប្រុស 2 នាក់ និងស្រី 1 នាក់ C : គណៈកម្មការកំណែស្រីយ៉ាងតិច 2 នាក់

៤០. ក្នុងអាងមួយមានត្រីក្រហម 5 និងត្រីពណ៌ស 7 ។ គេចាប់ត្រី 2 មកក្រៅអាងក្នុងពេលតែមួយដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ A : ត្រីពណ៌ក្រហមទាំង 2 B : ត្រីពណ៌សទាំង 2 C : ត្រីមួយក្នុងមួយពណ៌

៤១. ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី 12 គ្រាប់ដែលឃ្លីពណ៌សមាន 5 គ្រាប់ចុះលេខពី 1 ដល់ 5 និងឃ្លីពណ៌ក្រហម 7 ចុះលេខពី 6 ដល់ 12 ។ គេចាប់យកឃ្លីមួយគ្រាប់ចេញពីក្នុងថង់នោះដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A : ចាប់បានឃ្លីពណ៌ស, B : ចាប់បានឃ្លីមានលេខជាពហុគុណនៃ 3, C : ចាប់បានឃ្លីមានលេខជាពហុគុណនៃ 3 ហើយមានពណ៌ក្រហម។

៤២. នៅក្នុងថង់មួយមានឃ្លីស ៩ ក្រហម ៣ និងឃ្លីខៀវ ៤ ។ គេចាប់យកឃ្លីចំនួន ៣ ដោយចៃដន្យក្នុងពេលតែមួយ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A. "ចាប់បានឃ្លីខៀវទាំងបី" B. "ចាប់បានឃ្លីសមួយ និងខៀវពីរ" C. "ចាប់បានឃ្លីមានពណ៌ខុសៗគ្នា"

៤៣. នៅក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចចំនួន 10 ដើម ដែលក្នុងនោះមានប៊ិចក្រហមចំនួន 4 ដើម និងប៊ិចខៀវចំនួន 6 ដើម។ គេចាប់យកប៊ិច 3 ដើមក្នុងពេលតែមួយចេញពីប្រអប់នោះដោយចៃដន្យ។ ចូរគណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A. "ចាប់បានប៊ិចខៀវទាំង 3 ដើម" B. "ចាប់បានប៊ិចក្រហមមួយដើម និងប៊ិចខៀវពីរដើម" C. "ចាប់បានប៊ិចខៀវតែមួយដើមគត់"

៤៤. នៅក្នុងថង់មួយមានឃ្លីខៀវ ៤ ឃ្លីក្រហម ៣ និងឃ្លីស ២ ។ គេចាប់យកឃ្លីចំនួន ៣ ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A. "ចាប់បានឃ្លីខៀវពីរ និងឃ្លីក្រហមមួយ" B. "ចាប់បានឃ្លីខៀវទាំងបី" C. "ចាប់បានឃ្លីមួយក្នុងមួយពណ៌"

៤៥. ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីខៀវរៀបតាមលំដាប់ចុះលេខ 1 ដល់ 6 ឃ្លីក្រហមរៀបចុះលេខ 1 ដល់ 5 និងឃ្លីសរៀបចុះលេខ 1 ដល់ 4 ។ គេចាប់យកឃ្លី 3 គ្រាប់ចេញពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ A : ចាប់បានឃ្លីមានលេខ 1 ។ B : ចាប់បានឃ្លីពណ៌ខុសៗគ្នា ។ C : ចាប់បានឃ្លីមានលេខរៀងសេសហើយមានពណ៌ខុសៗគ្នា ។

៤៦. ក្នុងសាលាមួយមានសិស្សពូកែ ៣ នាក់ គ្រូប ៥ នាក់ និង មន្ត្រី ៤ នាក់។ គេចាប់យកគណៈកម្មការ ៣ នាក់ដោយចៃដន្យ។ ចូររកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចខាងក្រោម៖ A : ចាប់បានគណៈកម្មការ ៣ នាក់ជាគ្រូ។ B : ចាប់បានគណៈកម្មការ ៣ មានមុខងារខុសៗគ្នា។ C : ចាប់បានគណៈកម្មការយ៉ាងតិច ១ នាក់ជាគ្រូ។

៤៧. អំពូល 20 មានអំពូល 4 ដាច់ (មិនឆេះ) យើងជ្រើសរើសអំពូលបីដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបដែល ៖ ក) អំពូលទាំងបីសុទ្ធតែដាច់ ខ) បានអំពូលល្អមួយដាច់ពីរ គ) មានអំពូលតែមួយគត់ដែលដាច់ ឃ) មានអំពូលមួយយ៉ាងតិចដាច់ ។

៤៨. គេមានប្រអប់មួយមានឃ្លី 1 មានសរសេរលេខ 1 ដល់ 5 ប្រអប់ទី 2 មានសរសេរលេខពីលេខ 4 ដល់ 6។ សុំទាញយកឃ្លីមួយចេញពីប្រអប់នីមួយៗ ។ ក. រកប្រូបាបដែលបានឃ្លីមានលេខដូចគ្នា ខ. រកប្រូបាបដែលបានឃ្លីមានលេខខុសគ្នា គ. រកប្រូបាបដែលផលបូកនៃលេខលើឃ្លីជាចំនួនសេស។

៤៩. ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លី 4 គឺ 1; 2; 3; 4 ។ គេចាប់យកឃ្លីម្តងមួយៗ ចំនួនពីរដងចេញពីប្រអប់ដោយដាក់ចូលប្រអប់វិញ ១. ចូរកំណត់លំហសំណាក $S$ និង ព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ( ចាប់បានឃ្លីមានលេខដូចគ្នា ) , $B$ ( ចាប់បានឃ្លីមានលេខខុសគ្នា ) និង $C$ ( ចាប់បានឃ្លីលើកទី១ជាលេខគូ ) ២. គណនា $P(A) ; P(B) ; P(C) ; P(A \cap C)$ និង $P(A \cup C)$ ។

៥០. ឆ្នោតមួយមានរង្វាន់ 2 បុរសម្នាក់ ឆ្នោត 150 សន្លឹកត្រូវលក់អស់។ បើអ្នកបានទិញឆ្នោត នោះ 10 សន្លឹក រកសំណាងរបស់អ្នកក្នុងការទទួលរង្វាន់តាមករណីដូចខាងក្រោម៖ ក. គ្មានរង្វាន់? ខ. យ៉ាងហោចបានរង្វាន់មួយ? គ. បានរង្វាន់បីគត់? ឃ. បានគ្រប់ 5 រង្វាន់?

៥១. គេមានសៀវភៅ SOLEX A, B, C ដែលមានក្បាលចំនួន 6, 4, 3 ។ គេចាប់យកសៀវភៅ 3 ដោយចៃដន្យពីក្នុងប្រអប់។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ ក/ របស់សៀវភៅទី 2 របស់សៀវភៅមួយ ; ខ/ របស់សៀវភៅ A មួយយ៉ាងតិច ; គ/ របស់សៀវភៅ C ពីរយ៉ាងច្រើន។

៥២. ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចក្រហម 8 ដើម និងប៊ិចខៀវ 6 ដើម។ គេយកប៊ិច 5 ដើមព្រមគ្នាចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ 1. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍យកបានប៊ិចក្រហមទាំង 5 ដើម។ 2. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍យកបានប៊ិចក្រហម 3 ដើម និងប៊ិចខៀវ 2 ដើម។ 3. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍យកបានប៊ិចក្រហម 2 ដើមយ៉ាងតិច។

៥៣. លោកគ្រូមានសៀវភៅគណិតវិទ្យា 7 ក្បាល និងរូបវិទ្យា 9 ក្បាលដាក់ក្នុងប្រអប់មួយ។ លោកគ្រូចាប់យកសៀវភៅ 4 ក្បាលចេញពីប្រអប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. លោកគ្រូចាប់យកបានសៀវភៅគណិតវិទ្យា 1 ក្បាលគត់។ ខ. លោកគ្រូចាប់យកបានសៀវភៅគណិតវិទ្យាទាំង 4 ក្បាល។ គ. លោកគ្រូចាប់យកបានសៀវភៅរូបវិទ្យា 50% ។

៥៤. គេធ្វើវិញ្ញាសាគណិតវិទ្យាមួយដែលមាន 4 លំហាត់ដែលជ្រើសរើសក្នុងចំណោម 14 លំហាត់ដែលនៅក្នុងនោះមាន 6 លំហាត់ជាលំហាត់ពីជគណិតនិង 8 លំហាត់ជាលំហាត់ធរណីមាត្រ។ តើគេអាចធ្វើវិញ្ញាសានេះបានប៉ុន្មានរបៀបដោយដឹងថាវិញ្ញាសានេះត្រូវមានលំហាត់ធរណីមាត្រយ៉ាងតិច 1 ។

៥៥. គេដាក់ឃ្លីក្រហម 6 និងឃ្លីខៀវ 10 ចូលក្នុងថង់មួយ។ គេទាញយកចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ 3 ឃ្លី។ រកប្រូបាប: ក. ឃ្លីទាំង 3 សុទ្ធតែពណ៌ក្រហម។ ខ. ឃ្លី 2 ពណ៌ក្រហម។ គ. យ៉ាងតិចឃ្លីមួយពណ៌ខៀវ។

៥៦. ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ិចពណ៌ខៀវ 10 ដើម និង ប៊ិចពណ៌ក្រហម 6 ដើម។ គេចាប់យកប៊ិច 4 ដើមចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ១. $A$: ចាប់បានប៊ិចពណ៌ខៀវទាំង 4 ដើម។ ២. $B$: ចាប់បានប៊ិចពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិច 1 ដើម។ ៣. $C$: ចាប់បានប៊ិចពណ៌ក្រហមតែ 2 ដើម។

៥៧. គេបង្កើតគណៈកម្មការមួយមានសមាជិក 5 នាក់ ជ្រើសរើសចេញពីមនុស្ស 12 នាក់ដែលមានក្មេងប្រុស 4 នាក់ និងក្មេងស្រី 8 នាក់។ ១. តើគេអាចបង្កើតគណៈកម្មការបានប៉ុន្មានរបៀប? ២. រកប្រូបាបដើម្បីឲ្យ $A$ និង $B$ បានចូលជាសមាជិកគណៈកម្មការទាំងពីរនាក់។

៥៨. គេបង្កើតគណៈកម្មការមួយមានសមាជិក 5 នាក់ក្នុងចំណោមមនុស្សប្រុសទាំងអស់ 15 នាក់។ ក្នុងចំណោមមនុស្សប្រុសទាំងនេះមានពីរនាក់ $A$ និង $B$ អាចចូលជាសមាជិកបានលុះត្រាតែចូលទាំងពីរនាក់។ ១. តើគេអាចបង្កើតគណៈកម្មការបានប៉ុន្មានរបៀប? ២. រកប្រូបាបដែលដើម្បីឲ្យ $A$ និង $B$ បានចូលជាសមាជិកគណៈកម្មការទាំងពីរនាក់។

៥៩. ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីពណ៌ស 5 គ្រាប់ ខ្មៅ 7 គ្រាប់ និងក្រហម 8 គ្រាប់។ គេចាប់យកឃ្លី 3 គ្រាប់ចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ។ ១. រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានឃ្លីទាំង 3 មានពណ៌ដូចគ្នា។ ២. រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានឃ្លីទាំង 3 មានពណ៌ខុសគ្នា។ ៣. រកប្រូបាបដែលគេចាប់បានឃ្លីក្រហម 2 គ្រាប់ ។

៦០. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស 45 នាក់ដែលក្នុងនោះមានសិស្សស្រី 20 នាក់។ ក្នុងចំណោមសិស្សស្រីមានសិស្សស្រី 10 នាក់ និងសិស្សប្រុស 5 នាក់ពាក់វ៉ែនតា។ គេជ្រើសរើសសិស្សម្នាក់ដោយចៃដន្យ។ ១. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$: « សិស្សដែលជ្រើសរើសជាសិស្សពាក់វ៉ែនតា » ។ ២. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$: « សិស្សដែលជ្រើសរើសជាសិស្សប្រុស » ។ ៣. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A \cap B$ និង $B/A$ ។

៦១. ប្រអប់មួយមានប៊ូលពណ៌ខៀវ 7 និងប៊ូលពណ៌ក្រហម 6 ។ ប៊ូល 5 ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. $A$: ចាប់បានប៊ូល 5 សុទ្ធតែពណ៌ខៀវ ។ ខ. $B$: ចាប់បានប៊ូល 3 គត់ពណ៌ក្រហម ។ គ. $C$: យ៉ាងហោចណាស់ចាប់បានប៊ូលមួយពណ៌ក្រហម ។

៦២. ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីពណ៌ស 2 គ្រាប់ដែលមានលេខ 1, 2 និងឃ្លីពណ៌ក្រហម 3 គ្រាប់ដែលមានលេខ 1, 2, 3 ។ គេចាប់យកឃ្លីពីរគ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យពីក្នុងប្រអប់នោះ។ 1. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ « គេចាប់បានឃ្លីពណ៌ដូចគ្នា » ។ 2. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ « គេចាប់បានឃ្លីមានលេខដូចគ្នា » ។ 3. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $C$ « គេចាប់បានឃ្លីមានលេខបូកបញ្ចូលគ្នាស្មើ 3 ដោយមានពណ៌ដូចគ្នា » ។

៦៣. គ្រូដាក់លំហាត់ស្រាវជ្រាវឲ្យសិស្សចំនួន 6 លំហាត់ តាមដោយអក្សរ $a, b, c, d, e$ និង $f$ ហើយគ្រូនឹងដកស្រង់យក 3 លំហាត់ដើម្បីដាក់ឲ្យសិស្សប្រឡងយកពិន្ទុ។ បើសិស្សម្នាក់រៀនបានតែ 4 លំហាត់៖ 1. រកប្រូបាបដែលសិស្សនោះប្រឡងបានពិន្ទុពេញ។ 2. រកប្រូបាបដែលសិស្សនោះប្រឡងជាប់យ៉ាងតិច។

៦៤. គេជ្រើសរើសសិស្សមួយក្រុមមានគ្នា 4 នាក់ដើម្បីទៅចូលរួមការប្រឡង។ ក្រុមសិស្សត្រូវជ្រើសរើសក្នុងចំណោមសិស្ស 10 នាក់ ដែលមាន 3 នាក់ជាសិស្សពូកែគណិត 4 នាក់ជាសិស្សពូកែរូប និង 3 នាក់ជាសិស្សពូកែគីមី។ 1. តើគេអាចរៀបចំសិស្សប៉ុន្មានក្រុមខុសៗគ្នា? 2. រកប្រូបាបដែលក្រុមសិស្សត្រូវជ្រើសរើសទៅប្រឡងមាន៖ ក. 1 នាក់ជាសិស្សពូកែគណិត 2 ជាសិស្សពូកែរូប និង 1 នាក់សិស្សពូកែគីមី។ ខ. 2 នាក់ជាសិស្សពូកែគណិត និង 2 នាក់ជាសិស្សពូកែរូប។

៦៥. គេចងក្រងកូដសម្ងាត់ដែលមានលេខ ៣ ខ្ទង់ដែលខ្ទង់ទាំងបីមានលេខខុសៗគ្នា ដោយយកចេញពីសំណុំ $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបម្រើបាន៖ ក. $A$: "ចំនួនមានលេខ ៣ ខ្ទង់នោះជាចំនួនសេស" ។ ខ. $B$: "ចំនួនមានលេខ ៣ ខ្ទង់នោះជាចំនួនគូ" ។ គ. $C$: "ចំនួនមានលេខ ៣ ខ្ទង់នោះជាពហុគុណនៃ 5" ។

៦៦. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស 16 នាក់ ដែលក្នុងនោះមានសិស្ស 7 នាក់ជាសិស្សពូកែ។ គេរៀបចំជាក្រុមមានគ្នា 4 នាក់ដោយចៃដន្យ យកទៅប្រកួតប្រជែងសិស្សពូកែ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. $A$: "សុទ្ធតែសិស្សពូកែ" ។ ខ. $B$: "75% ជាសិស្សពូកែ" ។ គ. $C$: "សិស្សខ្សោយយ៉ាងតិចម្នាក់" ។

៦៧. ក្នុងថង់មួយមានកូនបាល់ 30 គ្រាប់ចុះលេខ 1 ដល់ 30 ។ គេចាប់យកកូនបាល់ 1 ដោយចៃដន្យ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បាន៖ ក. $A$: "លេខលើកូនបាល់ចែកដាច់នឹង 2 និង 3" ។ ខ. $B$: "លេខលើកូនបាល់ជាការេប្រាកដ" ។ គ. $C$: "លេខលើកូនបាល់ជាចំនួនបឋម" ។

៦៨. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលក្រហម 3 ប៊ូលខ្មៅ 3 និងប៊ូលស 3 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ ហើយមិនដាក់ចូលវិញ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. $A$: "យកបានប៊ូលមានពណ៌ដូចគ្នា" ។ ខ. $B$: "យកបានប៊ូលមួយពណ៌មួយ" ។

៦៩. នៅក្នុងថង់មួយមានប៊ិចពណ៌ខៀវ 14 ដើម និងប៊ិចពណ៌ក្រហម 8 ដើម ។ គេចាប់យកប៊ិច 1 ដើមចំនួនពីរដងដោយចៃដន្យ (ចាប់ហើយដាក់ចូលវិញ) ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. $A$: "ប៊ិចទាំង 2 ដើមពណ៌ខៀវ" ។ ខ. $B$: "ប៊ិចទាំង 2 ដើមពណ៌ក្រហម" ។ គ. $C$: "ប៊ិចទាំង 2 ដើមពណ៌ដូចគ្នា" ។

៧០. នៅក្នុងចានមួយមានប៊ូលពណ៌ក្រហម 6 ប៊ូលពណ៌ខៀវ 5 និងប៊ូលពណ៌លឿង 4 ។ គេចាប់យកប៊ូល 4 ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យចេញពីចាន ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បាន៖ ក. $A$: "ប៊ូលពណ៌ក្រហម 2" ។ ខ. $B$: "ប៊ូលមានពីរពណ៌" ។ គ. $C$: "ប៊ូលមានបីពណ៌" ។

៧១. ក្នុងចង់មួយមានមានប៊ូល 9 គ្រាប់ចុះលេខពី 1 ដល់ 9 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ពីថង់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បាន៖ ក. $A$: "ប៊ូលចុះលេខគូមានចំនួនស្មើប៊ូលចុះលេខសេស" ។ ខ. $B$: "ប៊ូលចុះលេខគូមានចំនួនតិចជាង" ។

៧២. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល 12 គ្រាប់ចុះលេខពី 1 ដល់ 12 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ពីថង់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បាន៖ ក. $A$: "ប៊ូលទាំង 3 មានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង 3" ។ ខ. $B$: "ប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង 3" ។ គ. $C$: "ប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់កើនបង្កើតជាស្វ៊ីតនព្វន្ត ដែលមានផលសងរួម $q=2$" ។

៧៣. គេហូតបៀមួយសន្លឹកពីសន្លឹកបៀចេញពីថង់មួយដែលមានប័ណ្ណចុះលេខ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 និង 9 ដោយហូតហើយដាក់វិញ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. $A$: "ហូតលើកទី១ បានលេខគូ" ។ ខ. $B$: "ហូតទាំងពីរលើកបានប័ណ្ណមានផលគុណស្មើ ៥" ។

៧៤. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស 20 នាក់មានប័ណ្ណដែលចុះលេខ 1 ដល់ 20 ។ គេជ្រើសរើសសិស្ស 3 នាក់ដែលកាន់ប័ណ្ណទាំងនោះដោយចៃដន្យឲ្យឈរតម្រង់ជួរគ្នាពីឆ្វេងទៅស្តាំ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A : "ជ្រើសរើសបានសិស្ស 3 នាក់មានប័ណ្ណចុះលេខជាចំនួនដែលធំជាង 5" ។ B : "ជ្រើសរើសបានសិស្ស 3 នាក់មានប័ណ្ណចុះលេខជាចំនួនបឋម" ។

៧៥. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល 7 គ្រាប់ដែលប៊ូលពណ៌ខៀវមាន 3 គ្រាប់ និងប៊ូលពណ៌ក្រហមមាន 4 គ្រាប់។ គេចាប់យកប៊ូល 3 គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A : "ចាប់បានប៊ូលមានពណ៌ដូចគ្នា" B : "ចាប់បានប៊ូលមានពណ៌ខុសៗគ្នា"

៧៦. ប្រអប់មួយមានប៊ូលពណ៌ខៀវ 8 គ្រាប់ និងប៊ូលពណ៌ក្រហម 6 គ្រាប់។ គេចាប់យកប៊ូល 5 គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A : "ចាប់បានប៊ូលពណ៌ខៀវទាំង 5 គ្រាប់" B : "ចាប់បានប៊ូលពណ៌ក្រហម 3 គ្រាប់គត់" C : "យ៉ាងហោចណាស់ចាប់បានប៊ូលពណ៌ខៀវមួយគ្រាប់"

៧៧. នៅក្នុងថង់មួយមានប៊ូល 12 ដែលគេសរសេរលេខពី 1 ដល់ 12 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ព្រមគ្នាពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបដែល៖ ក. គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង 3 ។ ខ. គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង 3 ។ គ. គេចាប់បានប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់កើនបង្កើតបានជាស្វ៊ីតនព្វន្ត ដែលមានផលសងរួម $d=3$ ។

៧៨. ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីពណ៌ស 2 គ្រាប់ដែលមានលេខ 1, 2 និងឃ្លីពណ៌ក្រហម 3 គ្រាប់ដែលមានលេខ 1, 2, 3 ។ គេចាប់យកឃ្លី 2 គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យចេញពីប្រអប់នោះ។ ១. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ A : "គេចាប់បានឃ្លីមានពណ៌ដូចគ្នា" ។ ២. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ B : "គេចាប់បានឃ្លីមានលេខដូចគ្នា" ។ ៣. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ C : "គេចាប់បានឃ្លីមានលេខបូកបញ្ចូលគ្នាស្មើ 3 ដោយមានពណ៌ដូចគ្នា" ។

៧៩. នៅក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ូល 12 ដើម ដែលក្នុងនោះមានប៊ូលពណ៌ខៀវចំនួន 8 ដើមចុះលេខ 1 ដល់ 8 និងប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន 4 ដើមចុះលេខ 1 ដល់ 4 ។ គេទាញយកប៊ូល 3 ព្រមគ្នាចេញពីប្រអប់ដោយចៃដន្យ ។ ទាញរកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A : "យកបានប៊ូលពណ៌ខៀវទាំង 3 ដើម" B : "យកបានប៊ូលពណ៌ក្រហមទាំង 3 ដើម" C : "យកបានប៊ូលពណ៌ដូចគ្នា 2 ដើម"

៨០. គេចាប់យកពាក្យឆ្នោតលេខ 3 ខ្ទង់ដែលខ្ទង់ទាំង 3 មានលេខខុសៗគ្នាដោយយករួចចេញពីលេខ $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ ។ ក. រកចំនួនករណីអាច ។ ខ. រកប្រូបាបដែលលេខនោះមានលេខ 5 ជាលេខចុងក្រោយ ។ គ. រកប្រូបាបដែលលេខនោះមានលេខ 3 ជាលេខដំបូង ។

៨១. ចង់មួយមានប័ណ្ណ 8 សន្លឹកចុះអក្សរ $p, a, r, a, l, l, e, l$ ។ គេចាប់យកប័ណ្ណ 3 សន្លឹកម្តងមួយៗមិនដាក់ចូលវិញ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍: A: ចាប់បានអក្សរ $l$ ។ B: ចាប់បានអក្សរតម្រៀបបានពាក្យ $a, l, e$ ។ C: ចាប់បាន 2 សន្លឹកអក្សរដូចគ្នា ។

៨២. គេជ្រើសគណៈកម្មការមួយមានសមាជិក 5 នាក់ក្នុងចំណោមមនុស្សប្រុស 15 នាក់។ ក្នុងនោះមានពីរនាក់ A និង B អាចចូលជាសមាជិកបានលុះត្រាតែចូលទាំងពីរនាក់។ 1. តើគេអាចបង្កើតគណៈកម្មការបានប៉ុន្មានរបៀប? 2. រកប្រូបាប ដើម្បីឲ្យ A និង B បានចូលជាសមាជិកគណៈកម្មការទាំងពីរនាក់។

៨៣. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សពូកែគណិត 7 នាក់និងសិស្សពូកែរូបវិទ្យា 6 នាក់។ គេជ្រើសរើសសិស្ស 3 នាក់ដោយចៃដន្យទៅចូលរួមប្រលង។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍: A: ជ្រើសរើសបានសិស្សពូកែគណិតទាំង 3 នាក់។ B: ជ្រើសរើសបានយ៉ាងហោចណាស់សិស្សពូកែរូប 1 នាក់។

៨៤. គេចង់បង្កើតលេខកូដសម្ងាត់មាន ៣ ខ្ទង់ ដោយយកចេញពីលេខ ១,២,៣,៤,៥,៦,៧,៨,៩ ដោយខ្ទង់នីមួយៗមិនជាន់គ្នា ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. "កូដដែលទាញបានជាលេខសេស" ។ ខ. "កូដដែលទាញបានជាលេខគូ" ។ គ. "កូដដែលទាញបានជាលេខពហុគុណនៃ ៥" ។

៨៥. ថង់មួយមានប័ណ្ណ 8 សន្លឹកចុះអក្សរ $p, a, r, a, l, l, e, l$ ។ គេចាប់យកប័ណ្ណ 3 សន្លឹកម្តងមួយៗដោយមិនដាក់ចូលវិញ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ ក. $A$: "ចាប់បានអក្សរ $l$ ទាំងបីសន្លឹក" ។ ខ. $B$: "ចាប់បានអក្សរតម្រៀបបានពាក្យ $a, l, e$" ។ គ. $C$: "ចាប់បាន 2 សន្លឹកមានអក្សរដូចគ្នា" ។

៨៦. គេជ្រើសរើសគណៈកម្មការ 5 នាក់ក្នុងចំណោមមនុស្ស 15 នាក់។ ក្នុងចំណោមមនុស្សទាំងនោះមានពីរនាក់ $A, B$ ដែលអាចចូលបានលុះត្រាតែចូលទាំងពីរនាក់។ ១. តើគេអាចរៀបចំបានប៉ុន្មានរបៀប? ២. រកប្រូបាបដើម្បីឲ្យ $A, B$ បានចូលជាសមាជិកគណៈកម្មការទាំងពីរនាក់ ។

៨៧. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សពូកែគណិត 7 នាក់ និងសិស្សពូកែរូបវិទ្យា 6 នាក់។ គេជ្រើសរើសសិស្ស 3 នាក់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ $A$: "ជ្រើសរើសបានសិស្សពូកែគណិតទាំង 3 នាក់", $B$: "យ៉ាងហោចណាស់មានសិស្សពូកែរូប 1 នាក់" ។

៨៨. ថង់មួយមានប៊ូល 3 ពណ៌ស, 2 ពណ៌ខៀវ និង 1 ពណ៌ក្រហម។ គេចាប់យកប៊ូល 2 ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ $A$: "ចាប់បានប៊ូលពណ៌ស 2 គ្រាប់", $B$: "ចាប់បានប៊ូលពណ៌ស 1 និងក្រហម 1" ។ រួចគណនា $P(A \cap B)$ និង $P(A \cup B)$ ។

៨៩. ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី 7 គ្រាប់ដែលពណ៌ខៀវមាន 3 គ្រាប់ និងពណ៌ក្រហមមាន 4 គ្រាប់។ គេចាប់យកឃ្លី 3 គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A : "ចាប់បានឃ្លីមានពណ៌ដូចគ្នា" B : "ចាប់បានឃ្លីមានពណ៌ខុសៗគ្នា" C : "ចាប់បានឃ្លីពណ៌ក្រហមយ៉ាងតិច 2" ។

៩០. ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល 9 គ្រាប់ចុះលេខពី 1 ដល់ 9 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ពីថង់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចាប់បាន៖ ក. A : "ប៊ូលចុះលេខគូមានចំនួនស្មើប៊ូលចុះលេខសេស" ។ ខ. B : "ប៊ូលចុះលេខគូមានចំនួនតិចជាង" ។

៩១. នៅក្នុងថង់មួយមានប៊ូល 10 គ្រាប់ដែលប៊ូលពណ៌លឿងមាន 6 គ្រាប់ និងពណ៌ក្រហម 4 គ្រាប់ ។ គេចាប់យកប៊ូល 4 គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A: "យកបានប៊ូលពណ៌លឿងទាំង 4 ដើម" B: "យកបានប៊ូលពណ៌ក្រហមទាំង 4 ដើម" C: "យកបានប៊ូលពណ៌លឿង 2 គ្រាប់" ។

៩២. ក្នុងប្រអប់មួយមានឃ្លីពណ៌លឿង 2 គ្រាប់លេខ 1,2 ឃ្លីពណ៌ខ្មៅ 3 គ្រាប់លេខ 1,2,3 ។ គេចាប់យកឃ្លី 2 គ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យចេញពីប្រអប់នោះ។ ១. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ A : "គេចាប់បានឃ្លីមានពណ៌ដូចគ្នា" ។ ២. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ B : "គេចាប់បានឃ្លីមានលេខដូចគ្នា" ។ ៣. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ C : "គេចាប់បានឃ្លីមានលេខបូកបញ្ចូលគ្នាស្មើ 3 ដោយមានពណ៌ដូចគ្នា" ។

៩៣. នៅក្នុងថង់មួយមានប៊ិច 12 ដើម ក្រហម 8 ខៀវ 4 ។ គេចាប់យកប៊ិច 3 ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A. "ចាប់បានប៊ិចក្រហមទាំង 3 ដើម" B. "ចាប់បានប៊ិចក្រហម 2 ដើម និងខៀវ 1 ដើម" C. "យ៉ាងហោចណាស់ចាប់បានប៊ិចក្រហម 2 ដើម" ។

y'' លំហាត់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

១. គេមានអនុគមន៍ $y_0(x) = (x^2+2x)e^{-x}$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E') : y'+y=0$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $y(0)=e$ ។

២. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'+y = 2(x+1)e^{-x}$ ។ បង្ហាញថាអនុគមន៍ $y_0$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $y_0(x) = (x^2+2x)e^{-x}$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។

៣. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'+y = e^{-x}$ ។ ក. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $u$ កំណត់លើសំណុំចំនួនពិត $\mathbb{R}$ ដោយ $u(x) = xe^{-x}$ ជាចម្លើយមួយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។ ខ. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E'): y'+y=0$ ។ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E')$ ។ គ. $v$ ជាអនុគមន៍កំណត់ និងមានដេរីវេលើ $\mathbb{R}$ ។ បង្ហាញថាអនុគមន៍ $v$ ជាចម្លើយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ លុះត្រាតែអនុគមន៍ $v-u$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E')$ ។ ទាញរកចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។

៤. ១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): 3y''=9y-6y'$ ។ ២. រកចម្លើយពិសេសមួយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y(0)=1$ និង $y'(1)=e$ (គេឱ្យ $\ln e = 1$ ) ។

៥. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''=-4y$ ។ a. បង្ហាញថា៖ $y = \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x$ ដែល $\lambda, \mu$ ជាចំនួនពិត ជាចម្លើយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។ b. រកចម្លើយពិសេសរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y''(0)=1$ និង $y'(0)=0$ ។

៦. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+3y'+3y = 2y'+5y$ ។ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។ បង្ហាញថាអនុគមន៍ $y = -e^{-2x}+2e^x$ ជាចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការ $(E)$ ។

៧. a. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+4y' = 5y$ ។ b. រកចម្លើយពិសេសមួយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ បើគេដឹងថាបន្ទាត់ប៉ះក្រាប $(C)$ នៃអនុគមន៍ត្រង់ចំណុច $(0; 3)$ មានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ $-3$ ។

៨. ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=0$ ។ ខ. រកចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y(0)=1$ និង $y'(1)=2e^2$ ។

៩. ១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+2y'-3y=0$ ។ ២. រកចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y(0)=1$ និង $y'(1)=e$ ( $e$ ជាចំនួនពិតដែល $\ln e = 1$ ) ។

១០. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'+2y = 2 - \frac{e^{-x}}{1+2e^x}$ ។ ១. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាអនុគមន៍ $f$ ដែល $f(x) = e^{-2x}\ln(1+2e^x)$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។ ២. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $\varphi$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ លុះត្រាតែ $(\varphi-f)$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E'): y'+2y=0$ ។

១១. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+4y = x^2+2x-1$ ។ ១. រកអនុគមន៍ $f_1(x) = ax^2+bx+c$ ជាចម្លើយរបស់សមីការ $(E)$ ។ ២. បង្ហាញថាបើ $f(x)$ ជាចម្លើយរបស់សមីការ $(E)$ នោះ $g(x) = f(x)-f_1(x)$ ជាចម្លើយមួយរបស់សមីការ $y''+4y=0$ ។

១២. ក) ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): (e^x+2013)y' = e^x$ ។ ខ) រកចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E)$ ដោយដឹងថាក្រាបនៃចម្លើយកាត់តាមគល់អ័ក្ស $O$ នៃតម្រុយ។

១៣. ក) រកចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឱ្យ $g(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2}$ ចំពោះគ្រប់ $x \neq -1$ ដោយដឹងថា $y = f(x) = \frac{4x-1}{(x+1)^2}$ ។ ខ) ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(x+1)^2 y' = 4x-1$ ចំពោះ $x \neq -1$ ដោយដឹងថា $y(0) = 2012$ ។

១៤. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម៖ ក) $y' + x^3 - \cos x = 0$ ខ) $y' + 3y = 2x + 1$

១៥. គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+y'-6y = (x+2)e^x$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(F): y''+y'-6y = 0$ ។ ខ. រកចំនួនពិត $a, b$ ដើម្បីឱ្យ $y_p = (ax+b)e^x$ ជាចម្លើយពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ។ គ. បង្ហាញថា $y = y_c + y_p$ ជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ដែល $y_c$ ជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង $y_p$ ជាចម្លើយពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល រួចទាញរក $y$ ។

១៦. 1. ដោះស្រាយសមីការ $(E): y''+5y'+6y=0$ ។ 2. រកចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ដែលប៉ះបន្ទាត់ $(D): y=x-1$ ត្រង់ចំណុចមានអាប់ស៊ីស $x=0$ ។

១៧. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $2y''+3y'+y=0$ រកចម្លើយពិសេសដែល $y(0)=1, y'(0)=2$ ។

១៨. គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y = 4x^3-2x$ ។ 1. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែន $y''-3y'+2y=0$ ។ 2. បើ $g(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ ជាចម្លើយពិសេសនៃសមីការ $(E)$ ចូរកំណត់ចំនួនពិត $a, b, c$ និង $d$ ។ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

១៩. 1. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $E: g''(x) - 7g'(x) + 10g(x) = 0$ ។ 2. កំណត់ចម្លើយ $g(x)$ មួយនៃ $E$ ដែល $g(0) = 5 ; g'(0) = 16$ ។

២០. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y'' - 3y' + 2y = 0 \quad (E)$ ។ រកចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ បើគេដឹងថាអនុគមន៍ចម្លើយមានអតិបរមាស្មើ 1 ត្រង់ $x=1$ ។

២១. គេមានសមីការ $(E): 2y'' - y' - 3y = 0$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ។ ខ. រកចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ដោយដឹងថា ក្រាបនៃអនុគមន៍ចម្លើយកាត់អ័ក្ស $(y'oy)$ ត្រង់ $y=2$ ហើយបន្ទាត់ប៉ះក្រាបត្រង់ចំណុចនោះស្របទៅនឹងបន្ទាត់ $(L): y = \frac{1}{2}x + 3$ ។

២២. គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+2y'+y = x^2+2x-2$ ។ ក. កំណត់តម្លៃ $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឱ្យ $g(x) = ax^2+bx+c$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។ ខ. បង្ហាញថា $k(x)$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ លុះត្រាតែ $(k-g)(x)$ ជាចម្លើយនៃ $(E'): y''+2y'+y = 0$ ។

២៣. គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'' + 6y' + 8y = 8x + 10$ ។ 1. ដោះស្រាយសមីការ $(E_1): y'' + 6y' + 8y = 0$ ។ កំណត់ចម្លើយពិសេសមួយនៃ $(E_1)$ ដែល $y(0) = -1$ និង $y'(0) = 4$ ។ 2. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឱ្យ $g(x) = ax + b$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។

២៤. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'' - 2y' + 5y = nx^2 + px + q$ ។ 1. ដោះស្រាយសមីការ $(F): y'' - 2y' + 5y = 0$ ។ រកចម្លើយនៃ $(F)$ បើ $y(0) = 2$ និង $y'(0) = 6$ ។ 2. រកចំនួនពិត $n, p$ និង $q$ ដោយដឹងថា $y = 2x^2 + 3x + 1$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។ រកចម្លើយទូទៅ $y$ នៃសមីការ $(E)$ ។

២៥. ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $E: y'' - y' + 2y = 0$ ។ ខ. រកចម្លើយនៃ $E$ បើគេដឹងថាអនុគមន៍ចម្លើយមានអតិបរមាស្មើ 3 ត្រង់ $x = 0$ ។

២៦. 1. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានលក្ខខណ្ឌដើម៖ $(E): y'' - 2y' + 3y = 0 , y(0) = 2 , y'(0) = 0$ ។ 2. រកសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរអូម៉ូសែនលំដាប់ទី២ មានមេគុណថេរដែលមានចម្លើយ $f(x) = (x+2)e^{3x}$ ។

២៧. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'' + 3y' - y = 2y' + 5y$ ។ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។ បង្ហាញថា $y = 2e^{2x} - e^{-3x}$ ជាចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។

២៨. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y' + 2y = x^2$ ។ ក. កំណត់អនុគមន៍ពហុធា $g$ មានដឺក្រេទីពីរជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។ ខ. បង្ហាញថា អនុគមន៍ $f$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ លុះត្រាតែ $f - g$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E') : y' + 2y = 0$ ។ ដោះស្រាយសមីការ $(E')$ រួចទាញរក $f$ ។

២៩. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E) : y'' - 3y' + 2y = 2x + 1$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការ $(F) : y'' - 3y' + 2y = 0$ ។ ខ. ចូរកំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $y_p = ax+b$ ជាចម្លើយពិសេសនៃសមីការ $(E)$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

៣០. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E) : y'' - 2y' + 3y = 3x - 1$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការ $y'' - 2y' + 3y = 0$ ។ ខ. កំណត់តម្លៃ $a, b$ ដើម្បីឲ្យ $y_p = ax+b$ ជាចម្លើយពិសេសនៃសមីការ $(E)$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

៣១. ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'+y=0$ ។ ខ. រកចម្លើយ $f$ មួយនៃ $(E)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(0)=4$ និង $f(1)=3e, (\ln e = 1)$ ។

៣២. គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(F): -y''-5y'+6y = 6x+1$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E): -y''-5y'+6y=0$ កំណត់ចម្លើយ $f$ នៃ $(E)$ ដែល $f(0)=-1$ និង $f'(1)=6e^{-6}$ ។ ខ. បង្ហាញថាបើ $g$ ជាចម្លើយមួយនៃ $(F)$ នោះ $g-f$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការ $(F)$ ។

៣៣. គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(F): y''-3y'+2y = 2x$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E): y''-3y'+2y = 0$ ។ កំណត់ចម្លើយនៃ $(E)$ ដែល $y(0)=0$ និង $y'(0)=-e$ ។ ខ. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឱ្យ $f(x)=ax+b$ ជាចម្លើយនៃ $(F)$ ។

៣៤. គេឱ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-6y'+8y = 8x+10$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E_1): y''-6y'+8y=0$ ។ កំណត់ចម្លើយនៃសមីការ $(E_1)$ ដែល $y(0)=-1$ និង $y'(0)=4$ ។ ខ. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឱ្យ $g(x)=ax+b$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។

៣៥. គេឱ្យសមីការ $(E): y''-3y'+2y = 0$ ។ ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ រួចរកចម្លើយពិសេសនៃ $(E)$ បើគេដឹងថាអនុគមន៍ចម្លើយមានអតិបរមាស្មើ 1 ត្រង់ $x=1$ ។

៣៦. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): -2y''+3y=y'$ រកលក្ខខណ្ឌដើម $y(0)=e, y'(0)=1$ ។

៣៧. ក) ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'+5y=0$ ខ) រកចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ដោយដឹងថា $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ និង $y'\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$ ។

៣៨. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម៖ ក. $y''-2y'-3y = 3x^2+4x-5 \quad (E)$ ខ. $2y''+3y'+y = 1+\cos 2x \quad (E)$

៣៩. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=0$ ១ ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ២ $f$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។ កំណត់ចម្លើយ $f$ នៃ $(E)$ ដោយដឹងថាខ្សែរាង $(C)$ តាង $f$ ប៉ះបន្ទាត់ $(D): y=3x-2$ ត្រង់ចំណុច $A(1,1)$ ។

៤០. គេអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $-y''+3y'+4y = -2\cos 2x \quad (E)$ ១. កំណត់តម្លៃ $a ; b$ ដើម្បីអោយអនុគមន៍ $g(x) = a\cos 2x + b\sin 2x$ ជាចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ។ ២. បើ $f$ ជាចម្លើយទូទៅនៃ $-y''+3y'+4y=0 \quad (F)$ ។ បង្ហាញថា $h = f+g$ ជាចម្លើយទូទៅនៃ $(E)$ ៣. ដោះស្រាយសមីការ $(F)$ ។ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅ $h$ នៃសមីការ $(E)$ ។

៤១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'-2y = 3e^{3x}$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ។ ខ. រកចម្លើយនៃ $(E)$ បើ $y(0)=2$ ។

៤២. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+9y = -6\cos 3x$ និង $(F): y''+9y = 0$ ។ 1. រកអនុគមន៍ $g$ មួយមានទម្រង់ $g(x) = x(a\cos 3x + b\sin 3x)$ ដែលជាចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ។ 2. ស្រាយថាបើ $f(x)$ ជាចម្លើយ $(E)$ នោះគេបាន $f(x)-g(x)$ ជាចម្លើយនៃ $(F)$ ។ 3. ដោះស្រាយសមីការ $(F)$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ $(E)$ ។ 4. រកចម្លើយពិសេសនៃ $(E)$ បើដឹងថា $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = -1 ; f'(0) = 3$ ។

៤៣. 1. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): 2y''-3y'+y=0$ ។ 2. កំណត់ចម្លើយ $f(x)$ មួយនៃ $(E)$ ដោយដឹងថា ក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ ប៉ះទៅនឹងបន្ទាត់ $(D): y=3x$ ត្រង់ចំណុច $O(0,0)$ ។

៤៤. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): 2y'+y = 2(4x+1)e^{-\frac{x}{2}}$ ។ 1. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $y_0$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $y_0(x) = (2x^2+x)e^{-\frac{x}{2}}$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។ 2. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E'): y'+y=0$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $y(0)=e^2$ ។

៤៥. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-4y'+4y = 2e^{2x}$ ។ 1. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $y_0$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $y_0(x) = x^2e^{2x}$ ជាចម្លើយមួយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។ 2. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E'): y''-4y'+4y=0$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $y(1)=0$ និង $y'(1)=2e^2$ ។

៤៦. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-5y'+6y = 6x^2-40x+63$ ។ 1. កំណត់តម្លៃចំនួនពិត $a, b, c$ ដើម្បីឲ្យ $y_p = ax^2+bx+c$ ជាចម្លើយមួយរបស់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ។ 2. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E'): y''-5y'+6y=0$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $y(0)=5$ និង $y'(0)=0$ ។

៤៧. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E_1): y''-5y'+6y = (2x+7)e^x$ ។ ១. ដោះស្រាយសមីការ $(E_2): y''-5y'+6y=0$ រកចម្លើយមួយនៃ $(E_2)$ ដោយដឹងថា $y(0)=1$ និង $y'(0)=2$ ។ ២. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $g(x) = (ax+b)e^x$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E_1)$ ។ ៣. ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E_1)$ ។

៤៨. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y'-3y=0 \quad (E)$ ។ ១. កំណត់អនុគមន៍ព្រីមីទីវ $P$ ដែលជាចម្លើយនៃសមីការ $y'-3y=3x^2-2x \quad (E')$ ។ ២. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ រួចរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E')$ ។ ៣. កំណត់ចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E')$ ដោយដឹងថាក្រាបតាងអនុគមន៍ចម្លើយកាត់តាមចំណុច $(1,-2)$ ។

៤៩. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-6y'+9y = \cos 2x$ ។ ១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(F): y''-6y'+9y=0$ ។ ២. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $g(x) = a\cos 2x + b\sin 2x$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។ ៣. បង្ហាញថា $h$ ជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ លុះត្រាតែ $f = h-g$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(F)$ ។ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

៥០. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y''-7y'=0 \quad (E)$ ។ ១. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $f$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ លុះត្រាតែ $F=f'$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $y'-7y=0 \quad (E_1)$ ។ ២. ដោះស្រាយសមីការ $(E_1)$ រួចទាញរកចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។ ៣. កំណត់អនុគមន៍ចម្លើយទី១ $P$ ដែលដាច់ខាតមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y''-7y'=x^2+1 \quad (E')$ ។ ៤. បង្ហាញថា $h = f+P$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E')$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E')$ ។

៥១. រកចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y''-3y'-4y=0$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $y(0)=2$ និង $y'(0)=4$ ។

៥២. 1. ដោះស្រាយសមីការ $(E): f''(x)+5f'(x)+6f(x)=0$ ។ 2. កំណត់ចម្លើយមួយរបស់សមីការ $(E)$ ដោយដឹងថាបន្ទាត់ $D: y=x-1$ ប៉ះក្រាបនៃចម្លើយត្រង់ $x=0$ ។

៥៣. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+2y'+y = x+1$ ។ 1. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាពហុធា $p$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $p(x)=x+1$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E)$ ។ 2. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $g$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E_1): y''+2y'+y=0$ លុះត្រាតែ $g-p$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។ 3. ដោះស្រាយសមីការ $(E_1)$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ $(E)$ ។ រកចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ដោយដឹងថា $g(0)=1$ និង $g'(0)=2$ ។

៥៤. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E_1): y'-2y=0$ និង $(E_2): y'=y$ ។ 1. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E_1)$ និង $(E_2)$ ។ រកចម្លើយ $f_1$ នៃ $(E_1)$ ដែល $f_1'(0)=4$ និង $f_2$ នៃ $(E_2)$ ដែល $f_2'(0)=1$ ។ 2. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = f_1(x)-f_2(x)$ ។ ដោះស្រាយសមីការ $f(x)=0$ ។

៥៥. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរខាងក្រោម៖ ក. $\frac{dy}{dx} + y = \sin x$ ខ. $(x+1)dy = (y-1)dx$ គ. $2\frac{dy}{dx} - \sqrt{3}y = 0$ ។

៥៦. ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): (y'-4y)' = -3y$ ។ ខ. កំណត់ចម្លើយពិសេស $f$ មួយរបស់សមីការ $(E)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(0)=1$ និង $f'(0)=2e^3$ ។

៥៧. ក. ដោះស្រាយសមីការ $2y'+y=0$ ។ ខ. កំណត់ចម្លើយពិសេស $f$ មួយរបស់សមីការ ដោយដឹងថា ក្រាបតាងចម្លើយកាត់តាមចំណុច $A(2,1)$ ។

៥៨. ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+3y'+3y = 2y'+5y$ ។ ខ. បង្ហាញថា $y = -e^{-2x}+2e^x$ ជាចម្លើយពិសេសមួយរបស់សមីការ $(E)$ ។

៥៩. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'-3y = -4e^x$ ។ ក. បង្ហាញថា $g(x) = e^x$ ជាចម្លើយមួយរបស់សមីការ $(E)$ ។ ខ. ដោះស្រាយសមីការ $(F): y''-2y'-3y = 0$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

៦០. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'+10y=0$ ដោយដឹងថាក្រាបតាងចម្លើយកាត់តាមចំណុច $M(0,1)$ ហើយបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចនេះ មានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើនឹង $4$ ។

៦១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'-2y=0$ ដោយដឹងថា $y(0)=3$ និង $y'(0)=-1$ ។

៦២. ដោះស្រាយសមីការ $(E): y''-3y=2y'$ ។ រកចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E)$ ដែល $y(0)=2$ និង $y'(0)=8$ ។

៦៣. ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-10y'+25y=0$ ។ ខ. រកចម្លើយពិសេសនៃសមីការ $(E)$ ដែល $y(0)=1$ និង $y'(0)=-1$ ។

៦៤. គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): 2y''-3y'+y=0$ ។ ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ។ ខ. ចូរកំណត់អនុគមន៍ $y = g(x)$ ជាចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ដោយដឹងថាព្រីមីទីវតាងអនុគមន៍នេះប៉ះបន្ទាត់ $y = 2x$ ត្រង់ $x=0$ ។

៦៥. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'-2y=e^{2x}$ ។ ក. ចូរផ្ទៀងផ្ទាត់អនុគមន៍ $u$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $u(x)=xe^{2x}$ ជាចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ។ ខ. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E_0): y'-2y=0$ ។ គ. ចូរបង្ហាញថាអនុគមន៍ $v$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ លុះត្រាតែ $v-u$ ជាចម្លើយនៃ $(E_0)$ ។ ឃ. ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ រួចកំណត់ចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E)$ ដែលមានក្រាបកាត់អ័ក្ស $Oy$ ត្រង់ $y=1$ ។

៦៦. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): -y''-y'+6y = 6x^2-2x+4$ ។ ១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E_1): -y''-y'+6y = 0$ ។ ២. រកពហុធា $p(x) = ax^2+bx+c$ ដែលជាចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E)$ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ $(E)$ ។

៦៧. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+4y = 4x^2-8x+6$ ។ ១. កំណត់ពហុធាឌឺក្រេទីពីរ $p(x) = ax^2+bx+c$ ជាចម្លើយពិសេសមួយរបស់សមីការ $(E)$ ។ ២. ដោះស្រាយសមីការ $(F): y''+4y = 0$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

៦៨. គេឲ្យសមីការ $y''-4y'+5y=0$ (E). 1. រកចម្លើយទូទៅ $y_g$ នៃ (E). 2. បើដឹងថា $y_p=a\cos x+b\sin x$ ជាចម្លើយពិសេសនៃ $y''-4y'+5y = 4\cos x-12\sin x$ (F). ចូរកំណត់ចំនួនពិត $a,b$ ។ រកចម្លើយទូទៅនៃ (F).

៦៩. គេឲ្យសមីការ $y''+16y=0$ ។ បើ $f$ ជាចម្លើយនៃ (E) ដែល $f(0)=\frac{1}{10}$ និង $f'(0)=-\frac{2\sqrt{3}}{5}$ ចូរបង្ហាញថា $f(x) = \frac{1}{5}\cos(4x+\frac{\pi}{3})$ ។

៧០. ដោះស្រាយសមីការ $(E): y''-4y'+5y=0$ ដោយដឹងថាខ្សែរាងមានបន្ទាត់ប៉ះ $y=2x+3$ ត្រង់ $A(0,3)$ ។

៧១. គេឲ្យអនុគមន៍ $y = g(x) = xe^{2x}$ ។ ១. រកដេរីវេ $g'(x), g''(x)$ ទាញបញ្ជាក់ថាមានអប្បបរមាត្រង់ $x=-0.5$ ។ ២. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះក្រាបត្រង់ $x=1$ ។ ៣. គេឲ្យសមីការ $(E): y''-4y'+5y=0$ រកចម្លើយទូទៅ $y_g$ ។ ៤. គេដឹងថា $y_p=a\cos x+b\sin x$ ជាចម្លើយពិសេសនៃ $y''-4y'+5y = -4\cos x-12\sin x$ $(F)$ ។ រក $a,b$ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(F)$ ។

៧២. ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+16y=0$ ។ ខ. បើ $f$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(0)=\frac{1}{10}, f'(0)=-\frac{2\sqrt{3}}{5}$ បង្ហាញថា $f(x)=\frac{1}{5}\cos\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)$ ។

៧៣. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'-3y=0$ ។ ១. កំណត់អនុគមន៍ព្រីមីទីវ $P$ ដែលជាចម្លើយនៃ $y'-3y=3x^2-2x$ $(E')$ ។ ២. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ $(E')$ ។ ៣. កំណត់ចម្លើយនៃ $(E')$ ដោយដឹងថាក្រាបរបស់វាកាត់តាមចំណុច $(1,-2)$ ។

៧៤. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-4y'+5y=0$ ដោយដឹងថាខ្សែរាងមានបន្ទាត់ប៉ះមានសមីការ $y=2x+3$ ត្រង់ចំណុច $A(0,3)$ ។

៧៥. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម៖ ក. $\frac{dy}{dx} + 3\sin 5x = 0$ ។ ខ. $\frac{y'}{x} = \ln x$ ។ គ. $xy'=1$ ។ ឃ. $\frac{dy}{dx} - x^2\sin x = 0$ ។

៧៦. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'-2y=e^{2x}$ ។ ក. ចូរផ្ទៀងផ្ទាត់អនុគមន៍ $u$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $u(x)=xe^{2x}$ ជាចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ។ ខ. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E_0): y'-2y=0$ ។ គ. ចូរបង្ហាញថាអនុគមន៍ $v$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ លុះត្រាតែ $v-u$ ជាចម្លើយនៃ $(E_0)$ ។ ឃ. ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ រួចកំណត់ចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E)$ ដែលមានក្រាបកាត់អ័ក្ស $Oy$ ត្រង់ $y=1$ ។

៧៧. ១. ត្រីកោណសមបាត $ABC$ មួយមានបរិមាត្រ $2p$ វិលជុំវិញកម្ពស់ដែលគូសចេញពីកំពូល $A$ កំណត់បានសូលីតមួយមានមាឌធំបំផុត ។ គណនារង្វាស់ជ្រុង និងកម្ពស់នៃត្រីកោណសមបាតនោះ ។ ២. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'-2y=0$ ដោយដឹងថា $y(0)=3$ និង $y'(0)=-1$ ។

៧៨. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+9y=10e^x$ ។ ១. កំណត់ចំនួនពិត $a,b$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ $g(x) = ae^x+b$ ជាចម្លើយមួយរបស់សមីការ $(E)$ ។ ២. ដោះស្រាយសមីការ $(F): y''+9y=0$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

៧៩. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): -y''-y'+6y = 6x^2-2x+4$ ។ ១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E_1): -y''-y'+6y = 0$ ។ ២. រកពហុធា $p(x) = ax^2+bx+c$ ដែលជាចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E)$ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ $(E)$ ។

៨០. គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+4y = 4x^2-8x+6$ ។ ១. កំណត់ពហុធាឌឺក្រេទីពីរ $p(x) = ax^2+bx+c$ ជាចម្លើយពិសេសមួយរបស់សមីការ $(E)$ ។ ២. ដោះស្រាយសមីការ $(F): y''+4y = 0$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

i លំហាត់ចំនួនកុំផ្លិច

១. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = i(3+2i)(2+i)^2$ a. សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចរក $\bar{z}_1$ រកជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z_1$ ។ b. សរសេរ $z_2 = z_1 + 19$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គណនា $z_2^4, z_2^6$ ។

២. នៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$ ៖ ក. ដោះស្រាយសមីការ $2z - (1+i)\bar{z} = -1+5i$ ។ គណនា $i^{2025}$ ។ ខ. យើងមាន $z_1 = -4, z_2 = 3+i$ ។ គណនា $z_1+z_2$ រួចសរសេរ $z_1+z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

៣. ដោះស្រាយក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិចនូវសមីការ៖ $z^2+4z+16=0$ ។ សរសេរចម្លើយទាំងពីរតាងដោយ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

៤. ក. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{2}+i\sqrt{2}$ ។ រក $\bar{z}_1$ ($\bar{z}_1$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1$ )។ ខ. រកម៉ូឌុលនិងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1$ ។ សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គ. បង្ហាញថា៖ $\bar{z}_1$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^2 = 2(z\sqrt{2}-2)$ ។

៥. a. ដោះស្រាយនៅក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$ សមីការ៖ $z^2-8z+64=0$ b. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 4+4i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 4-4i\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $(2z_1+z_2)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $(2z_1+z_2)^3$ ។ (យើងតាងដោយ $\bar{z}_2$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z_2$ )

៦. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 3+3i\sqrt{3}$ និង $z_2 = \sqrt{3}+i$ ។ ក. គណនា $z_1 \times z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ។ ខ. សរសេរ $z_1 \times z_2$ និង $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គ. សរសេរ $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^3$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។

៧. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ ។ a. សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ b. រកម៉ូឌុលនិងអាគុយម៉ង់នៃ $z_1^3$ ។ c. សរសេរផលគុណ $z_1 \times z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។

៨. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{3}-i ; z_2 = (1-\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})i$ និង $z_3 = -\frac{1}{2}$ ។ គណនា $z_1+z_2 ; (z_1+z_2)\times z_3$ ។ សរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រចំនួនកុំផ្លិច $Z = (z_1+z_2) \times z_3$ ។ ទាញរកតម្លៃនៃ $Z^3$ ។

៩. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 1-i\sqrt{3}$ ។ ១. គណនា $z_1+z_2 ; z_1-z_2 ; z_1 \times z_2$ ។ ២. សរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រចំនួនកុំផ្លិច $z_1-z_2 ; z_1 \times z_2$ ។

១០. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{2} ; z_2 = -i\sqrt{2} ; z_3 = i\sqrt{2}$ ។ ក. គណនា $z_1+z_2 ; z_1+z_3 ; (z_1+z_2)(z_1+z_3)$ ។ ខ. កំណត់ម៉ូឌុលនិងអាគុយម៉ង់នៃ $\left(\frac{z_1+z_3}{z_1+z_2}\right)^2$ ។ ២. គណនា $i^n$ ចំពោះតម្លៃនៃចំនួនគត់ឡឺឡាទីប $n \ge 1$ ។ ទាញរកតម្លៃ $i^{2015} - i^{2014}$ ។

១១. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i\sqrt{3} ; z_2 = -1-i\sqrt{3}$ ។ ១. គណនា $z_1+z_2 ; z_1-z_2 ; z_1z_2$ ។ ២. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z_1, z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ៣. បង្ហាញថា $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^3-8=0$ ។

១២. 1. កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(1-2i)x + (1+2i)y = 1+i$ ។ 2. រកចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $|Z| + Z = 3 + 4i$ ។ 3. ដោះស្រាយក្នុងសំណុំ $\mathbb{C}$ នូវសមីការ $Z^2 + \sqrt{3}Z + 1 = 0$ រួចសរសេរឫសជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

១៣. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A = (\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1)$ និង $B = \frac{x+iy}{1+i}$ ដែល $x, y$ ជាចំនួនពិត ។ 1. គណនា $A^2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ 2. គណនា $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។ រក $x, y$ ដោយដឹងថា $2\bar{B} - A^2 = 0$ ( $\bar{B}$ ជាកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $B$ ) ។

១៤. 1. ដោះស្រាយសមីការ $z^2 - 2\sqrt{2}z + 4 = 0$ ក្នុងសំណុំកុំផ្លិច ។ រកម៉ូឌុល និង អាគុយម៉ង់នៃឫសនីមួយៗរបស់សមីការ ។ 2. គណនា $W = \left(\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{\sqrt{2}-i\sqrt{2}}\right)^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

១៥. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 1+i$ គណនា $\cos \frac{5\pi}{12}$ និង $\sin \frac{5\pi}{12}$ ។

១៦. ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $x = \frac{1+2i}{3-4i}$ និង $y = \frac{2-i}{5i}$ ។ ក. ចូរសរសេរ $x$ និង $y$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ ខ. បង្ហាញថា $x+y$ ជាចំនួនពិត។

១៧. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 2i\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)$ និង $z_2 = 2i\left(\cos \frac{\pi}{6} - i\sin \frac{\pi}{6}\right)$ ។ ក. សរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ ខ. ចូរបង្កើតសមីការដឺក្រេទី 2 ដែលមានឫស $z_1$ និង $z_2$ ជាឫស។ គ. កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $z_1^3 + z_2^3 = 2(x+1) + i(y-3)$ ។

១៨. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = (\sqrt{6}-\sqrt{2}) - (\sqrt{6}+\sqrt{2})i$ ។ 1. គណនា $z^2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ 2. សរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និង អាគុយម៉ង់នៃ $Z$ ។ 3. គណនាឫសទី 3 នៃ $Z$ ។

១៩. 1. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $(3+2i)a + (2-i)b = 4+5i$ ។ 2. គេមាន $\alpha$ និង $\beta$ ជាឫសនៃសមីការ $x^2 - 2x + 3 = 0$ ។ ចូរសរសេរ $z = 1 + \alpha^3 - 3\alpha^2 + 5\alpha - 2 + i(\beta^3 - \beta^2 + \beta + 5)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

២០. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z_1 = -\sqrt{3}+i\sqrt{3} \quad, \quad Z_2 = \sqrt{3}+i\sqrt{3}$ ។ ក. សរសេរ $Z_1$ និង $Z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. គណនា $Z_3 = Z_1 \times Z_2$ និង $Z_4 = \frac{Z_1}{Z_2}$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គ. គណនាតម្លៃ $Z_1^{2015} - \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2016}$ ។

២១. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $x = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ និង $y = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ ។ 1. គណនា $A = x - y^2$ និង $B = x^2 + x + 1$ ។ 2. សរសេរ $x$ និង $y$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ បង្ហាញថា $C = x^{2019} + y^{2019}$ ជាចំនួនពិត។

២២. 1. កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(1-2i)x + (1+2i)y = 1+i$ ។ 2. រកចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $|Z| + Z = 3 + 4i$ ។ 3. ដោះស្រាយក្នុងសំណុំ $\mathbb{C}$ នូវសមីការ $Z^2 + \sqrt{3}Z + 1 = 0$ រួចសរសេរឫសមួយៗជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

២៣. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z_1 = \sqrt{3}+i, Z_2 = 1+i$ និង $Z_3 = 1+i\sqrt{3}$ ។ 1. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $Z_1, Z_2$ និង $Z_3$ ។ 2. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $W = \frac{Z_3}{Z_2^2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត និងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនាទម្រង់សាមញ្ញនៃ $W^6$ ។

២៤. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 3+3i\sqrt{3}$ និង $z_2 = \sqrt{3}+i$ ។ ក. គណនា $z_1 \times z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ។ ខ. សរសេរ $z_1 \times z_2$ និង $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គ. សរសេរ $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^3$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។

២៥. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z = \frac{\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}}{\sqrt{3}+i}$ ។ ក. សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ ខ. សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos \frac{\pi}{12}$ និង $\sin \frac{\pi}{12}$ ។

២៦. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -3+3i\sqrt{3}$ និង $z_2 = -3-3i\sqrt{3}$ ។ ក. សរសេរ $2z_1+z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត និងត្រីកោណមាត្រ។ ខ. គណនា $(2z_1+z_2)^3$ ។ តាង $\overline{z_2}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z_2$ ។

២៧. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ ។ ក. សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. សរសេរ $z_1 \times z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គ. សរសេរ $z_1 \times z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។

២៨. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1 + i$ និង $z_2 = 1+i$ ។ ក. គណនា $z_1+z_2, z_1-z_2$ និង $z_1 \times z_2$ ។ ខ. សរសេរ $z_1, z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គ. បង្ហាញថា $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $x^2 - 2ix - 2 = 0$ ។

២៩. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = \sqrt{2+\sqrt{2}} + i\sqrt{2-\sqrt{2}}$ ។ ក. គណនា $z^2$ រួចសរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. ចូរសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គ. ទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos\frac{\pi}{8}$ និង $\sin\frac{\pi}{8}$ ។

៣០. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-\sqrt{3}+i$ និង $z_2 = 2\sin\frac{\pi}{3} + 2i\cos\frac{\pi}{3}$ ។ a. គណនា $z_1+z_2, z_1-z_2$ និង $z_1z_2$ ។ b. សរសេរ $z_1, z_2$ និង $z_1z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

៣១. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{2}+i\sqrt{2}$ និង $z_2 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ ។ a. សរសេរ $z_1, z_2$ និងផលគុណ $z_1z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ b. សរសេរផលគុណ $z_1z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ c. ទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z_1^4$ ។

៣២. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-i$ និង $z_2=\sqrt{3}+i$ ។ a. គណនា $z_1+z_2, z_1-z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ទម្រង់ពីជគណិត។ b. សរសេរ $z_1, z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

៣៣. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1+i$ និង $z_2 = -1+i$ ។ a. គណនាកន្សោម $A = \frac{z_1-1}{z_2}$ ។ b. សរសេរ $z_1, z_2, z_1+z_2, z_1-z_2, z_1z_2$ និង $\frac{z_2}{z_1}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ c. ទាញរកតម្លៃនៃ $Z = \left(\frac{z_2}{z_1}\right)^{2018}$ ។

៣៤. គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1-\sqrt{3}i ; z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ និង $z_3 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ ។ ក. សរសេរ $z_1$ និង $z_3$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. គណនា $z_1z_2, \frac{z_1}{z_2}$ ។ គ. គណនា $z_1z_3$ ។ រួចទាញរក អាគុយម៉ង់ និងម៉ូឌុល $z_1z_3$ ។

៣៥. គេមានសមីការក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C} : z^2-4z+16=0$ ។ ក. បង្ហាញថា $z_1 = 2+2i\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ រួចទាញរកឫស $z_2$ នៃសមីការនេះ។ ខ. គណនា $z_1z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

៣៦. គេឲ្យ $z = \frac{2\sqrt{3}-2i}{1-i}$ ក) រកផ្នែកពិតនិងផ្នែកនិម្មិតនៃ $z$ ។ ខ) សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ គ) ទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos\frac{\pi}{12}$ និង $\sin\frac{\pi}{12}$ ។

៣៧. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z = 1-i$ និង $w = \sqrt{3}+i$ ក. គណនា $zw$ និង $\frac{z}{w}$ ខ. សរសេរ $zw$ និង $\frac{z}{w}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

៣៨. គេមានសមីការ $(E): Z^3+2Z^2-16=0$ ១ បង្ហាញថា $Z=2$ ជាឫសនៃសមីការ $(E)$ ២ សរសេរ $(E)$ ជាទម្រង់ $(Z-2)(aZ^2+bZ+c)=0$ ដែល $a,b,c$ ជាចំនួនពិតត្រូវរក ៣ ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ដោយសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

៣៩. គេអោយចំនួនកុំផ្លិច $Z_1 = \sqrt{2}+\sqrt{2}i$ និង $Z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ ១. សរសេរ $W = \frac{Z_1}{Z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត និង ត្រីកោណមាត្រ ។ ២. គណនាតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\cos\frac{5\pi}{12}$ និង $\sin\frac{5\pi}{12}$ ។

៤០. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1-i, z_2 = 4i, z_3 = \sqrt{2}$ ។ ក. គណនា $z_1+z_2, z_2-z_3, z_1z_3, \frac{z_1}{z_2}$ ។ ខ. សរសេរ $z_2, z_3, \frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{2015}$ ។

៤១. 1. ដោះស្រាយសមីការ $z^2+(1+\sqrt{3})z+2+\sqrt{3}=0$ ក្នុងសំណុំកុំផ្លិចដោយសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ 2. សរសេរ $W = \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{8}i \sqrt{\log_5 \frac{1}{125}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $W^{2016}$ ។

៤២. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $Z = \frac{(1+i)^3}{\sqrt{2}(1+i\sqrt{3})}$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិតហើយជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos\frac{\pi}{12}$ និង $\sin\frac{\pi}{12}$ ។

៤៣. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង $2z - (3-2i)\bar{z} = 3(5+11i)$ ។ a) ចូររកចំនួនកុំផ្លិច $z$ និង $\bar{z}$ ។ b) ចូរសរសេរ $w = z+iz$ ជាទម្រង់ពីជគណិតនិងត្រីកោណមាត្រ។ c) គណនា $w^{2025}$ ដោយសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត។

៤៤. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{3}(1+i)$ និង $z_2 = 1-i$ ហើយគេតាង $z = z_1+z_2$ ។ a) ចូរគណនា $z_1^2, z_2^2$ និង $\frac{z_1^2}{z_2^2}$ b) ចូរសរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ពីជគណិតនិងជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ទាញរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។

៤៥. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = \sqrt{2+\sqrt{2}} + i\sqrt{2-\sqrt{2}}$ ។ a) ចូរបង្ហាញថា $z^2 = 2\sqrt{2}(1+i)$ រួចសរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ b) ទាញបានទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។ c) កំណត់ពីចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $az^4 + 4\sqrt{2}z^2 = b$ ។

៤៦. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 3+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 3-i\sqrt{3}$ ។ ១. គណនា $z_1+z_2, z_1-z_2, z_1z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ។ ២. សរសេរ $z_1, z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ គណនា $z_1^{2015}$ ដោយឲ្យលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត។

៤៧. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $U = 1-i\sqrt{3}, V = 2-2i$ និង $W = \frac{U}{V}$ ។ ១. សរសេរ $U, V$ និង $W$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ២. គណនា $W^{12}$ ដោយឲ្យលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត។

៤៨. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $z_1 = 1+i$ ជាឫសមួយនៃសមីការ $az^2+bz+4=0$ (1) ។ ទាញរកឫស $z_2$ មួយទៀតនៃសមីការ (1) ។ គណនា $W = \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{2015}$ រួចគណនារឹសការេនៃ $(-2W)$ ។

៤៩. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $U = 6-2\sqrt{3}i, V = -3+3i$ និង $W = \frac{U^2}{V^3}$ ។ ១. សរសេរ $U, V$ និង $W$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ២. គណនា $W$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos\frac{\pi}{12}$ និង $\sin\frac{\pi}{12}$ ។

៥០. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = (\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)i$ ។ ១. សរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ ២. កំណត់ម៉ូឌុល និង អាគុយម៉ង់នៃ $z^2$ ។ ទាញរកម៉ូឌុល និង អាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ ៣. ទាញរកតម្លៃនៃ $\cos\frac{\pi}{12}$ និង $\sin\frac{\pi}{12}$ ។

៥១. ១. គណនា $i^n$ ចំពោះ $n=1,2,3,4,...,4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3$ ដែល $k \in \mathbb{N}$ ។ ២. បង្ហាញថា $\frac{1}{i^n} = (-1)^n \cdot i^n$ ។ ៣. គណនា $S = \frac{1}{i^{2013}} + \frac{1}{i^{2015}} + \frac{1}{i^{2018}}$ ។

៥២. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 32\sqrt{3}+32i, z_2 = (1+i\sqrt{3})^6$ និង $z = \frac{z_1}{z_2}$ ។ ១. សរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ២. សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។ ៣. កំណត់តម្លៃ $x$ និង $y$ ដើម្បីឲ្យ $2z = (1-3i)x + (1-i)y$ ។

៥៣. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = \sqrt{2}+1+i\sqrt{\sqrt{2}-1}$ ។ ក. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $z^2 = 2+2i$ ។ ខ. សរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុលនិងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គ. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $z^{2020} = 2^{1515}i$ ។

៥៤. 1. គណនា $W = \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2016} + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^{2016}$ ។ 2. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $z_1 = W+2i$ ជាឫសនៃសមីការ $(E): az^2+bz+10=0$ ។ 3. រកឫស $z_2$ មួយទៀតនៃសមីការ $(E)$ ។ សរសេរ $B = \left(\frac{z_1}{z_2}\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

៥៥. 1. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $(2-i)$ ជាឫសនៃសមីការ $ax^2+bx-20=0$ ។ 2. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = \frac{2(-1+i\sqrt{3})}{1+i\sqrt{3}}$ ។ ក. សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត និង ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. សរសេរ $z' = 1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $\frac{z}{z'}$ ។

៥៦. គេឲ្យចំនួនពិត $\alpha$ មួយដែល $-\pi < \alpha < \pi$ ។ 1. បង្ហាញថា $\sin^2\alpha - 2(1-\cos\alpha) = -4\sin^4\frac{\alpha}{2}$ ។ 2. ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំកុំផ្លិច $Z^2 - 2Z\sin\alpha + 2(1-\cos\alpha) = 0$ ។

៥៧. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 2-3i, z_2 = -4+2i$ និង $z_3 = 3+i$ ដែលមានរូបភាព $A(z_1), B(z_2)$ និង $C(z_3)$ រៀងគ្នា។ 1. ដៅចំណុច $A, B, C$ នៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិច។ 2. រកចំនួនកុំផ្លិចដែលតាងដោយវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}$ និង $\vec{BC}$ ។ 3. គណនាប្រវែង $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$ ។ 4. រកចំនួនកុំផ្លិចដែលតាងចំណុចកណ្តាល $I$ នៃអង្កត់ $AB$ ។

៥៨. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{2}+i\sqrt{6}, z_2 = 2+2i$ និង $Z = \frac{z_1}{z_2}$ ។ 1. សរសេរ $z_1, z_2$ និង $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ 2. សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ ទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos\frac{\pi}{12}$ និង $\sin\frac{\pi}{12}$ ។ 3. គណនា $Z^{2015}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។

៥៩. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ និង $z_2 = 1-i$ ។ ក. សរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. ចូរសរសេរទម្រង់ពីជគណិត $z_1^2$ ។ គ. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z = \frac{z_1}{z_2}$ ។ គណនា $z^{12}$ ។

៦០. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{3}-i$ និង $z_2 = 4\left(-\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ ។ ក. សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. គណនាផលគុណ $z_1 \times z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ គ. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z_1^6$ ។

៦១. ក. ចូរសរសេរ $z_1 = \frac{\sqrt{3}+i}{-\sqrt{3}+i}$ និង $z_2 = \frac{4i}{1-i\sqrt{3}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. រកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $z_1z_2, \frac{z_1}{z_2}, z_1^3$ និង $z_2^6$ ។

៦២. ក. ចូរសរសេរ $z_1 = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ និង $z_2 = 1-\frac{1}{\sqrt{2}}z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. បង្ហាញថា $z_2^{12}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។

៦៣. ១. ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E): z^2-\sqrt{3}z+1=0$ ។ (គេយក $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិម្មិតវិជ្ជមាន) ។ ខ. ចូរសរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z = \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{2021}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត។ ២. ស្រាយបញ្ជាក់ថា សមីការ $20\log x - x = 0$ មានឫសយ៉ាងតិចមួយនៅចន្លោះ $(1, 10)$ ។

៦៤. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $(1+i\sqrt{3})z + (2+i\sqrt{3})\bar{z} = 3+i\sqrt{3}$ ដែល $\bar{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$ ។ ចូរកំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ។ សរសេរ $z$ និង $z^{2021}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

៦៥. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -2\sqrt{3}+2i$ និង $z_2 = 2+2i\sqrt{3}$ ។ ក. គណនា $z_1 \times z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ។ សរសេរ $z_1 \times z_2$ និង $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ខ. សរសេរ $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^4$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។

៦៦. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 3+3i\sqrt{3}$ និង $z_2 = \sqrt{3}+i$ ។ ក. គណនា $z_1 \times z_2$ និង $\frac{z_1^4}{z_2}$ ។ សរសេរ $z_1 \times z_2$ និង $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ខ. សរសេរ $\left(\frac{z_1^3}{z_2}\right)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។

៦៧. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i$ និង $z_2 = \left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)^2$ ។ ក. សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ខ. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z_2^{2021}$ ។ គ. គណនាផលគុណ $z = z_1 \times z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។

៦៨. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = 2+2i$ និង $w = 3+i\sqrt{3}$ ។ ក. ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថា $\frac{z}{w} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$ ។ ចូរសរសេរ $z, w$ និង $\frac{z}{w}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ខ. ប្រើលទ្ធផលខាងលើ ទាញបញ្ជាក់ថា $\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$ និង $\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}$ ។

៦៩. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1+\sqrt{3}+i(\sqrt{3}-1)$ និង $z'=(1+i)z$ ។ ក. សរសេរ $z'$ ជាទម្រង់ពីជគណិត និងជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ រួចទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\sin\frac{\pi}{12}$ និង $\cos\frac{\pi}{12}$ ។

៧០. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = \sqrt{\sqrt{2}+1} + i\sqrt{\sqrt{2}-1}$ ។ ក. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $z^2 = 2+2i$ រួចសរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ ខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $z^{2020} = 2^{1515}i$ ។

៧១. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = -1-i\sqrt{3}$ ។ ក. គណនា $z_1+z_2, z_1-z_2$ និង $z_1 \cdot z_2$ ។ ខ. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ គ. បង្ហាញថា $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^3-8=0$ ។

៧២. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $a = 2\sqrt{3}-2i$ និង $b = -\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ ។ ១. សរសេរ $Z = a^2+b^2+4ai+\sqrt{2}b$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។ ២. សរសេរ $a, b$ និង $a\cdot b$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

៧៣. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{3}+i$ និង $z_2 = 2\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)^3$ ។ ១) ចូរផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_1$ ជាឫសមួយរបស់សមីការ $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$ ។ ២) ចូរសរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ៣) ចូរសរសេរ $z = \frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចស្រាយបញ្ជាក់ថា $\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ។

៧៤. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $x = -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}, y = -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ ។ 1. គណនា $A = x-y^2$ និង $B = x^2+x+1$ ។ 2. សរសេរ $x$ និង $y$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ បង្ហាញថា $C = x^{2023}+y^{2023}$ ជាចំនួនពិត។

៧៥. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2+2i, w=-1+i$ ។ ក. គណនា $z+w, z-w, z\cdot w, \frac{z}{w}$ ។ ខ. សរសេរ $z$ និង $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $\left(\frac{z}{w}\right)^{2023}$ ។

៧៦. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i; z_2=\sqrt{3}-i$ និង $z = \frac{16\sqrt{2}(1+i)}{\sqrt{3}-i}$ ។ ក. សរសេរ $z_1; z_2$ និង $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ខ. ទាញកំណត់ $x$ និង $y$ បើ $x+iy^2 = z-3i$ ។

៧۷. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $x = -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ និង $y = -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ ។ ១. គណនា $A=x-y^2$ និង $B=x^2+x+1$ ។ ២. សរសេរ $x$ និង $y$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ហើយគណនា $C=x^{2023}+y^{2023}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។

៧៨. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2+2i, w=-1+i$ ។ ក. គណនា $z+w, z-w, z\cdot w, \frac{z}{w}$ ។ ខ. សរសេរ $z$ និង $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $\left(\frac{z}{w}\right)^{2023}$ ។

៧៩. កំណត់ចំនួនពិត $a,b$ ដើម្បីឲ្យ $z_1=1+i$ ជាចម្លើយរបស់សមីការ $az^2+bz+4=0$ ។ ទាញរកឫស $z_2$ មួយទៀត ។ សរសេរ $W=\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^{2015}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត និងត្រីកោណមាត្រ ។

៨០. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i; z_2=\sqrt{3}-i$ និង $z = \frac{16\sqrt{2}(1+i)}{\sqrt{3}-i}$ ។ ក. សរសេរ $z_1, z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. ទាញរកតម្លៃ $x,y$ បើ $x+iy^2 = z-3i$ ។

៨១. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=a+bi$ ដែល $a,b \in \mathbb{R}$ ។ ក. សរសេរ $A = \frac{z}{\bar{z}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។ ខ. ដោះស្រាយសមីការ $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$ ដែលមានឫស $z_1, z_2$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

៨២. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1+\sqrt{3}+i(\sqrt{3}-1)$ និង $z'=(1+i)z$ ។ ក. សរសេរ $z'$ ជាទម្រង់ពីជគណិត និងជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខ. រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ រួចទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\sin\frac{\pi}{12}$ និង $\cos\frac{\pi}{12}$ ។

៨៣. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -2\sqrt{3}+2i$ និង $z_2 = 2+2i\sqrt{3}$ ។ ក. គណនា $z_1 \times z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ។ សរសេរ $z_1 \times z_2$ និង $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ខ. សរសេរ $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^4$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។

៨៤. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)^2$ ។ ១) ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_1$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^2-2z+4=0$ ។ ២) សរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ៣) សរសេរ $z = \frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។

៨៥. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $a = 2\sqrt{3}-2i$ និង $b = -\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ ។ ១. សរសេរ $Z = a^2+b^2+4ai+\sqrt{2}b$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។ ២. សរសេរ $a, b$ និង $a\cdot b$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

៨៦. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{3}+i$ និង $z_2 = 2\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)^3$ ។ ១) ចូរផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_1$ ជាឫសមួយរបស់សមីការ $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$ ។ ២) ចូរសរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ៣) ចូរសរសេរ $z = \frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចស្រាយបញ្ជាក់ថា $\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ។

f(x) លំហាត់សិក្សាអនុគមន៍

១. A. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = x-\ln(1+x)$ ។ យើងតាងដោយ $(C)$ ក្រាបរបស់ $f$ ។ 1. រកដែនកំណត់ D នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនា $\lim_{x\to -1^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ 2. សិក្សាអថេរភាពរបស់អនុគមន៍ $f(x)$ ដោយបញ្ជាក់តារាងអថេរភាពនៅលើ D និងបញ្ជាក់សញ្ញានៃ $f(x)$ លើ D។ B. គេចង់សិក្សាទីតាំងរបស់ក្រាប $(C)$ នៃ $f$ ធៀបទៅនឹងក្រាប $(P)$ ដែលមានសមីការ $y=\frac{1}{2}x^2$ ។ 1. ក្នុងន័យនេះគេបង្កើតអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ D ដែនកំណត់របស់ $f$ ដោយ $g(x)=f(x)-\frac{x^2}{2}$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $g(x)$ រួចទាញយកសញ្ញានៃ $g$ កាលណា $x$ រត់នៅលើ D។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $(C)$ ធៀបនឹងក្រាប $(P)$ ។ 2. សង់ក្រាប $(C)$ និងក្រាប $(P)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(o,\vec{i},\vec{j})$ ។

២. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(1, +\infty)$ ដោយ $f(x) = \ln(x+1) - \ln(x-1) - x + 2$ គេតាង $(C)$ ក្រាបរបស់វា នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. បង្ហាញថា $f(x) = 2-x + \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ ។ គណនាលីមីតនៃ $f(x)$ ត្រង់ 1 និង $+\infty$ ។ ខ. បង្ហាញថានៅលើ $(1, +\infty)$ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f'(x) = \frac{-(x^2+1)}{(x+1)(x-1)}$ ។ សិក្សាអថេរភាពនិងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ គ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d)$ មានសមីការ $y = -x + 2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ឃ. ប្រៀបធៀបទីតាំង $(C)$ ធៀបនឹង $(d)$ ។ សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ។ (ប្រើតម្លៃ $\ln 3 = 1.1$ )

៣. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = 4-x-2e^{-x}$ ។ គេតាង $(C)$ ក្រាបរបស់ $f$ ។ 1. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ; $f(x) = \frac{4e^x-xe^x-2}{e^x}$ ។ គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ គេឱ្យ $\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0$ ។ 2. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D)$ ដែលមានសមីការ $y = -x+4$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ 3. សិក្សាទីតាំង $(C)$ ធៀបនឹង $(D)$ ។ B. 1. គណនា $f'(x)$ ដែល $f'(x)$ ជាដេរីវេនៃ $f(x)$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ និងគណនាតម្លៃអតិបរមារបស់ $f$ ។ 2. A ជាចំណុចនៃ $(C)$ ដែលមានអាប់ស៊ីស 0។ រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $(T)$ ទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច A។ 3. បង្ហាញថាសមីការ $f(x)=0$ មានចម្លើយតែមួយគត់ $\beta$ នៅក្នុងចន្លោះ $[-1, 0]$ ។ 4. សង់បន្ទាត់ប៉ះ $(T)$ អាស៊ីមតូត $(D)$ និងក្រាប $(C)$ ។

៤. គេមានអនុគមន៍ $f$ ដែល $f(x) = x-2+\frac{2(x+1)}{e^x}$ យើងតាង $(C)$ ក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ (យើងដឹងថា $\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$) ។ 2. បង្ហាញថាបន្ទាត់ D ដែលមានសមីការ $y = x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $(C)$ ត្រង់ $+\infty$ ។ បញ្ជាក់ទីតាំងនៃក្រាប $(C)$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ D។ 3. យើងតាង $f'(x)$ ដេរីវេនៃ $f(x)$ បង្ហាញថា៖ $f'(x) = \frac{e^x-2x}{e^x}$ គេដឹងថាគ្រប់ x ជាតួរបស់ $\mathbb{R}$; $e^x-2x > 0$ ប្រើលទ្ធផលនេះដើម្បីទាញយកការសិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ 4. បង្ហាញថាបន្ទាត់ប៉ះ $\Delta$ ទៅនឹង $(C)$ ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីស 0 ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ D។ សង់បន្ទាត់ D, $\Delta$ និងក្រាប $(C)$ ។

លំហាត់ទី៥៖ គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0; +\infty)$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2-2}{x} - \ln x$ ។ គេតាង $(C)$ ក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O; \vec{i}; \vec{j})$ ។
១. ក. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ នៅលើ $(0; +\infty)$ គេអាចសរសេរ $f(x) = x\left(1 - \frac{\ln x}{x} - \frac{2}{x^2}\right)$ និង $f(x) = \frac{1}{x}(x^2 - x\ln x - 2)$
    ខ. ប្រើលទ្ធផលដើម្បីគណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ ។
២. ក. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ នៃអនុគមន៍ $f(x)$ និងបង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ នៅលើ $(0; +\infty)$; $f'(x)$ មានសញ្ញាដូច $(x^2 - x + 2)$ ។
    ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពរបស់វា។
៣. ក. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះទៅក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ នៅលើ $(C)$ ដែលមានអាប់ស៊ីស $1$។
    ខ. រកកូអរដោនេចំណុច $B$ នៃ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹង $(C)$ ត្រង់ $B$ ស្របនឹងបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y = x$ ។
៤. សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $A$ និងត្រង់ $B$ ។ (គេឲ្យតម្លៃ $\ln 2 \approx 0.7$ )

៦. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(1; +\infty)$ ដោយ $f(x) = -x+4+\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ ។ គេតាងដោយ $(C)$ ក្រាបរបស់វានៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O; \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $1$ និងត្រង់ $+\infty$ ។ 2. ស្រាយបំភ្លឺថាត្រង់លើ $(1; +\infty)$ គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f$ គឺ $f'(x) = \frac{-(x^2+1)}{(x+1)(x-1)}$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ លើ $(1; +\infty)$ ។ 3. a. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y = -x+4$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ត្រង់ $+\infty$ ។ b. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x > 1, \frac{x+1}{x-1} > 1$ និងទាញយកការប្រៀបធៀបទីតាំង $(C)$ ធៀបនឹង $d_1$ ។ 4. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចនៅលើ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះ $d_2$ ទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុចនោះមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ $-\frac{5}{3}$ និងសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ប៉ះ $d_2$ នេះ។ 5. សង់ក្រាប $(C)$ អាស៊ីមតូត $d_1$ និងបន្ទាត់ប៉ះ $d_2$ ។ ប្រើយកតម្លៃប្រហែល $\ln 3 = 1.1$ និងក្រាប $(C)$ កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ចំណុច $(4.5; 0)$ ។

៧. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x+\frac{1-3e^x}{1+e^x}$ ។ គេតាងដោយ $(C)$ ក្រាបរបស់វានៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O; \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. បង្ហាញថា $f(x) = x+1-\frac{4e^x}{1+e^x}$ និងគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ ។ ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y = x+1$ អាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ត្រង់ $-\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ។ 2. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ $d_2$ ដែលមានសមីការ $y = x-3$ អាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ត្រង់ $+\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_2$ ។ 3. a. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ និងបង្ហាញថាគ្រប់ចំនួនពិត $x$, $f'(x) = \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2$ ។ b. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ សង់ក្រាប $C$ និងអាស៊ីមតូត $d_1$ និង $d_2$ របស់វា។

៨. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x+2-\frac{4e^x}{e^x+3}$ ។ គេតាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់វានៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។ 2. សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y = x+2$ ។ 3. ស្រាយបំភ្លឺថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$, $f'(x) = \left(\frac{e^x-3}{e^x+3}\right)^2$ ។ 4. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ លើ $\mathbb{R}$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ និង សង់ក្រាប ។

៩. គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $g(x) = x^2+\ln x$ ។ ក. បង្ហាញថា $g$ ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ $(0, +\infty)$ ។ ខ. គណនា $g(1)$ ។ គ. ទាញយកពីលទ្ធផលនៃសំណួរទី១បញ្ជាក់លក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖ បើ $x \ge 1$ នោះ $x^2+\ln x \ge 1$ និងបើ $0 < x \le 1$ នោះ $x^2+\ln x \le 1$ ។ ឃ. កំណត់សញ្ញានៃកន្សោម $x^2+\ln x - 1$ កាលណា $x$ នៅលើ $(0, +\infty)$ ។ ង. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = x+1-\frac{\ln x}{x}$ ។ ក. សិក្សាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ 0 និង $+\infty$ (យើងដឹងថា $\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ )។ ខ. បង្ហាញថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f$ គឺ $f'(x) = \frac{x^2+\ln x-1}{x^2}$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ និង សង់ក្រាប ។

១០. គេមានអនុគមន៍ $h$ កំណត់លើ $I = (0, +\infty)$ ដោយ $h(x) = -x+1-2\ln x$ ។ គណនា $h(1)$ និងសិក្សាអថេរភាពនៃ $h(x)$ ដោយមិនគិតត្រូវដោះស្រាយលីមីតនៃ $h(x)$ ត្រង់ 0 និងត្រង់ $+\infty$ ឡើយ។ ២.ក. គណនាលីមីតនៃ $f(x)$ ត្រង់ 0 និងត្រង់ $+\infty$ ។ ខ. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ នៃអនុគមន៍ $f(x)$ ។ គ. បង្ហាញថានៅលើ $I$, $f'(x)$ មានសញ្ញាដូច $h(x)$ ។ ឃ. ទាញយកអថេរភាពនៃ $f(x)$ លើ $I$ និងសង់ក្រាប $C$ នៃ $f(x)$ នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ( $f(x) = \frac{x+\ln x}{x^2}$ )

១១. អនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = x-5+\frac{8\ln x}{x}+\frac{9}{x}$ ។ គេតាង $C$ ក្រាបរបស់វា។ 1. រក $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ 2. រក $\lim_{x\to 0} f(x)$ ។ 3. ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលមានសមីការ $y = x-5$ ជាអាស៊ីមតូតនៃខ្សែរាង $C$ នៅជិត $+\infty$ ។ 4. កំណត់អាស៊ីមតូតនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $\Delta$ និងខ្សែរាង $C$ ។ 5. ក. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ នៅលើ $(0, +\infty)$ គេបាន $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ ។ ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និង សង់ក្រាប ។

១២. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{2-x-2x^2}{-1-x}$ ។ យើងតាង $(C)$ ជាក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ ក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក) រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ) កំណត់ចំនួនពិត $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឱ្យបាន $f(x) = ax+b+\frac{c}{x+1}$ ។ គ) បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d)$ ដែលមានសមីការ $y=2x-1$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ឃ) សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និង $(d)$ ។ ង) សិក្សាអថេរភាព និង សង់ក្រាប $(C)$ ។

១៣. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{-x^2+x+3}{x+1}$ ។ យើងតាងក្រាប $(C)$ តំណាង $f$ ក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក) រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ) បង្ហាញថា $f(x) = -x+2+\frac{1}{x+1}$ ។ គ) គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x), \lim_{x\to +\infty} f(x), \lim_{x\to -1^-} f(x), \lim_{x\to -1^+} f(x)$ ។ ឃ) រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង អាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ង) សិក្សាអថេរភាព និង សង់ក្រាប $(C)$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។

១៤. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{3x-1}{(x-1)^2}$ និង គេតាងក្រាប $(C)$ ។ ក) រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ) គណនា $\lim_{x\to 1} f(x), \lim_{x\to -\infty} f(x), \lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ រកអាស៊ីមតូតឈរ និង អាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $(C)$ ។ គ) បង្ហាញថា $f'(x) = \frac{-3x-1}{(x-1)^3}$ ។ ឃ) សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាប $(C)$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។

១៥. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{4-x^2}{1-x}$ និងតាង $(C)$ ជាក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ ។ ក) រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ) បង្ហាញថា $f(x) = x+1 + \frac{3}{1-x}$ ។ គ) គណនា $\lim_{x\to 1^+} f(x), \lim_{x\to 1^-} f(x), \lim_{x\to +\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ ។ ឃ) រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង អាស៊ីមតូតទ្រេត របស់ក្រាប $(C)$ ។ ង) សិក្សាអថេរភាព និង សង់ក្រាប $(C)$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។

១៦. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{x^2-5x+7}{2-x}$ ។ យើងតាង $(C)$ ជាក្រាបរបស់អនុគមន៍ ក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក) រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ) បង្ហាញថា $f(x) = -x+3+\frac{1}{2-x}$ ។ គ) គណនាលីមីតនៃ $f(x)$ ត្រង់ $-\infty ; +\infty ; 2$ ។ ឃ) រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង អាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ង) សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និង សង់ក្រាប $(C)$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។

១៧. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2+2x-2}{x+1}$ ហើយតាង $(C)$ ជាក្រាបរបស់អនុគមន៍នេះ ក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក) បង្ហាញថា $f(x) = x+1 - \frac{3}{x+1}$ ។ ខ) ចូររកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង អាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ គ) សិក្សាអថេរភាព និង សង់ក្រាប $(C)$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។

១៨. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{2x^2-7x+5}{x^2-5x+7}$ ។ យើងតាងដោយ $(C)$ ជាក្រាបរបស់វា នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ១. រកដែនកំណត់ $D$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ២. សិក្សាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $-\infty$ និងត្រង់ $+\infty$ ។ ទាញយកសមីការអាស៊ីមតូតដេក $d$ ទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ $-\infty$ និងត្រង់ $+\infty$ ។ ៣. ក) ស្រាយបំភ្លឺថាគ្រប់ចំនួនពិត $x \in D$ : ដេរីវេ $f'(x) = \frac{-3(x^2-6x+8)}{(x^2-5x+7)^2}$ ។ ខ) សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ គ) សង់ក្រាប $(C)$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។

១៩. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2-x-1}{x-2}$ ហើយតាង $C$ ជាក្រាបរបស់វា ដែលនៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ១. សិក្សាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $-\infty$ ត្រង់ $2$ និងត្រង់ $+\infty$ ។ ២. សិក្សាអថេរភាព និងសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៣. ក) រកចំនួនពិត $a, b, c$ ដែលគ្រប់ $x \neq 2 ; f(x) = ax+b+\frac{c}{x-2}$ ។ ខ) គេតាង $d$ ដែលមានសមីការ $y=x+1$ ។ បង្ហាញថា $d$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $C$ ត្រង់ $+\infty$ និង $-\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d$ ។ គ) សង់ក្រាប $C$ និង បន្ទាត់ $d$ ។

២០. អនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $I = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$ ដោយ $f(x) = \frac{2x^2}{x^2-4}$ ។ ក) សិក្សាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty, -2, 2$ និង $+\infty$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតដេក និង អាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប តាង $f$ ។ ខ) សិក្សាអថេរភាព និង សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ គ) សង់ក្រាបនៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ក្រាបតាង $f$ ។

២១. គេមានអនុគមន៍ $f$ ដែល $f(x) = \frac{x^2-x-3}{x+1}$ និង គេតាងដោយ $(C)$ ក្រាបនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ក) រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ) បង្ហាញថា $f(x) = x-2-\frac{1}{x+1}$ ។ គ) បង្ហាញថាបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y = x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ឃ) សិក្សាអថេរភាព និង សង់ក្រាបនៃ $f$ ។

២២. (a) អនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x) = 2e^{2x} - 5e^x + 2$ ។ ក) ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $g(x) = (2e^x-1)(e^x-2)$ ខ) ទាញរកតាមតម្លៃ $x$ ចំពោះសញ្ញានៃ $g(x)$ (b) គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = \frac{1}{1+e^x} + \frac{2}{9}x$ និង $C$ ជាក្រាបរបស់ $f$ ។ ក) រក $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ខ) អនុគមន៍ $f$ មានដេរីវេ $f'$ ។ បង្ហាញថាគ្រប់ចំនួនពិត $x$ គេមាន $f'(x)$ និង $g(x)$ មានសញ្ញាដូចគ្នា។ គ) សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ លើ $\mathbb{R}$ និង សង់ក្រាប។

២៣. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x \neq -2, x \neq 2$ ដោយ $y = f(x) = \frac{x^2}{4-x^2}$ និងមានក្រាប $C$ ។ ក) គណនា $\lim_{x\to -2} f(x), \lim_{x\to 2} f(x)$ និង $\lim_{x\to \pm\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង អាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។ ខ) សិក្សាអថេរភាពនៃដេរីវេ $f'(x)$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ គ) គណនា $f(-3)$ និង $f(3)$ ហើយសង់ក្រាប $C$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។

២៤. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{x^2+x+4}{x+1}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ ក) រកដែនកំណត់ និង សិក្សាសញ្ញាដេរីវេ $f'(x)$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ) សរសេរសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង អាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ គ) សង់តារាងអថេរភាព អាស៊ីមតូត និង ក្រាប $C$ នៃអនុគមន៍ $f$ ។

២៥. គេឱ្យអនុគមន៍ $y = g(x) = \frac{2x-3}{(x-3)^2}$ ។ ក) រកចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឱ្យ $g(x) = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{(x-3)^2}$ ។ ខ) គណនា $F(x) = \int g(x)dx$ ដោយដឹងថា $F(4) = 0$ ។ គ) អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \begin{cases} 3+x & \text{បើ } x \le a \\ x^2+1 & \text{បើ } x > a \end{cases}$ រកតម្លៃ $a$ ដោយដឹងថា $f$ ជាប់ត្រង់ $x = a$ ។

២៦. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ មួយកំណត់ដោយ $f(x) = x - \frac{2}{e^x-1}$ មានក្រាប $C$ ។ ក. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ. គណនាលីមីតចុងដែនកំណត់ រួចរកអាស៊ីមតូតនៃអនុគមន៍ $f$ ។ គ. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ រួចសង់តារាងអថេរភាព ។ ឃ. កំណត់កូអរដោនេចំណុចរបត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ង. សង់អាស៊ីមតូត និងក្រាប $C$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

២៧. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $x>0$ ដោយ $f(x) = x^2+\frac{1}{2}-3\ln x$ និងមានក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. ក. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0$ ។ ខ. កំណត់អនុគមន៍ $g$ ចំពោះ $x>0$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(x) = x^2 g(x)$ ។ គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ 2. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាព ។ គណនា $f(\frac{1}{2})$ និង $f(2)$ (គេយក $\ln 2 = 0.7$ ) ។ 3. ក. សង់ក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ខ. តើសមីការ $f(x)=0$ មានចម្លើយ ឬទេ? ចូរបញ្ជាក់ ។

២៨. គេឱ្យអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x) = e^{2x} - 2e^x + \frac{1}{2}x + 1$ មានក្រាប $(C)$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to -\infty} g(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} g(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូត $(D)$ នៃក្រាប $(C)$ ។ 2. បង្ហាញថា អនុគមន៍ $g$ កើនជានិច្ច រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។ 3. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $(T)$ ទៅនឹងខ្សែរាង $(C)$ ត្រង់ $x=0$ ។ 4. សង់ក្រាប $(T), (D)$ និង $(C)$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ ។

២៩. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $y = f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ 1. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ រួចបញ្ជាក់អាស៊ីមតូតនៃក្រាប ។ 2. គណនាដេរីវេ ទាញរកអថេរភាព និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 3. បង្ហាញថាចំណុច $O$ ជាចំណុចរបត់ និងជាផ្ចិតឆ្លុះក្រាប $C$ ។ 4. គណនា $f(3)$ រួចសង់ក្រាប $C$ តាង $f$ (យក $e=2.7$ ) ។ 5. ដោយប្រើក្រាប $(C)$ ចូរសិក្សាអត្ថិភាព និងសញ្ញានៃឫសរបស់សមីការ $\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = m$ ។

៣០. គេឱ្យអនុគមន៍ $f(x) = \sqrt{3x+1}$ កំណត់លើ $[-\frac{1}{3}, +\infty)$ ។ 1. កំណត់សញ្ញាដេរីវេ $f'(x)$ ចំពោះ $\forall x \in [1, 5]$ ។ 2. $\forall x \in [1, 5]$ ចូរបង្ហាញថា $\frac{3}{8}x + \frac{13}{8} \le \sqrt{3x+1} \le \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$ ។

៣១. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $y = f(x) = x+e^{1-x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេត $L$ នៃក្រាប $C$ ។ ខ. បង្ហាញថា $f$ មានអប្បបរមាត្រង់ $x=1$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ គ. សង់ក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ ។ (គេយក $e = 2.7$ ) ឃ. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $C$ អាស៊ីមតូតទ្រេត $L$ បន្ទាត់ឈរ $x=1$ និង $x=2$ ។

៣២. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{x^2+4x+3}{x^2-4x+3}$ ។ ក. រកដែនកំណត់ និងដេរីវេទី១ នៃអនុគមន៍ $f$ ។ ខ. គណនាលីមីត $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) , \lim_{x\to 1} f(x)$ និង $\lim_{x\to 3} f(x)$ រួចទាញរកអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាបអនុគមន៍នេះ។ គ. សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍នេះ។ ឃ. គូសក្រាបនៃអនុគមន៍នេះ។ (យក $\sqrt{3} = 1.73$)

៣៣. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x+2+(x+1)e^{-x}$ មានក្រាបតំណាង $C$ ។ 1. គណនាលីមីតនៃ $f$ ខាង $+\infty$ និង $-\infty$ ។ 2. គណនា $f'(x)$ ។ 3. ដោយដឹងថា $1-e^{-x} > 0$ ចូរសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 4. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $\Delta: y = x+2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងអាស៊ីមតូតទ្រេតនេះ។ 5. សង់បន្ទាត់ $\Delta$ និងក្រាប $C$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ។

៣៤. គេឱ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = -x-2 + \frac{4e^x}{1+e^x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ រួចរកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $C$ កាលណា $x\to -\infty$ ។ 2. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ គណនា $f'(0), f(0)$ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 3. បង្ហាញថា $O$ ជាចំណុចរបត់ និងជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប $C$ ។ 4. គណនា $f(3)$ រួចសង់ក្រាប $C$ គេឱ្យ $(e^3 = 20)$ ។

៣៥. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = x - \frac{2e^x}{e^x-1}$ មានក្រាបតំណាង $(C)$ ។ 1. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ព្រមទាំងគណនាលីមីតត្រង់ចុងដែនកំណត់ រួចបញ្ជាក់អាស៊ីមតូតឈរមាន ។ 2. បង្ហាញថា $I(0,-1)$ ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប $C$ ។ 3. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d_1) : y = x - 2$ និង $(d_2) : y = x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ រួចសិក្សាទីតាំងធៀបនៃ $(d_1), (d_2)$ ធៀបនឹង $(C)$ ។ 4. បង្ហាញថា $f$ ជាអនុគមន៍កើនជានិច្ច គ្រប់ $x \neq 0$ និង សង់តារាងអថេរភាព នៃ $f$ ។ 5. សង់ អាស៊ីមតូតទាំងអស់ និង ក្រាប $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ។ 6. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ ខណ្ឌដោយខ្សែរាង $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d_1)$ និងបន្ទាត់ $x=2 ; x=4$ ។

៣៦. 1. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-1+\sin x}{x} & \text{បើ } x \neq 0 \\ \ln(a-1) & \text{បើ } x = 0 \end{cases}$ កំណត់តម្លៃ $a$ ដើម្បីឱ្យ $f$ ជាប់ត្រង់ $x=0$ ។ 2. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{1-\sin^2 x}{2-\cos^2 x}$ ក. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(x)$ ខ. បង្ហាញថា $f\left(\frac{\pi}{4}\right) - 3f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3$ ។

៣៧. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = e^{2x} - 2e^x + x + 1$ មានក្រាប $(C)$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ រួចរកសមីការអាស៊ីមតូត $(D)$ ជាអាស៊ីមតូតនៃ $(C)$ ។ ខ. បង្ហាញថា $f$ ជាអនុគមន៍កើន $\forall x$ គណនា $f'(0)$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ គ. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $(T)$ ទៅនឹងខ្សែរាង $(C)$ ត្រង់ $x=0$ ។ ឃ. សង់ក្រាប $(T), (D)$ និង $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ ។

៣៨. ចតុកោណកែងមួយមានបរិមាត្រ 400m ។ រកប្រវែងជ្រុងដើម្បីឱ្យចតុកោណកែងនេះមានផ្ទៃក្រឡាធំបំផុត។

៣៩. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x > 0$ ដោយ $f(x) = 1 + 2\left(\frac{\ln x}{x}\right)$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ កំណត់សមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង ដេកនៃក្រាប $C$ ។ 2. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ និង សិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ 3. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $A$ រវាងក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $D : y=1$ ។ កំណត់សមីការបន្ទាត់ $L$ ដែលប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $A$ ។ 4. គណនា $f\left(\frac{1}{2}\right)$ ។ សង់បន្ទាត់ $L$ អាស៊ីមតូត និងក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ។ (គេឱ្យ $e=2.7, \frac{2}{e}=0.7, \ln 2 = 0.7$ )

៤០. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ត្រង់ $x > 0$ ដោយ $f(x) = x^2 + \frac{1}{2} - 3\ln x$ និងមានក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. ក. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0$ ។ ខ. កំណត់អនុគមន៍ $g$ ចំពោះ $x > 0$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(x) = x^2 g(x)$ ។ គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ 2. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាព។ គណនា $f\left(\frac{1}{2}\right)$ និង $f(2)$ (គេយក $\ln 2 = 0.7$ )។ 3. ក. សង់ក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ខ. តើសមីការ $f(x)=0$ មានចម្លើយឬទេ? ចូរបញ្ជាក់។

៤១. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $y = f(x) = (x+2)e^{-x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។ 2. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $f$ មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់ $x = -1$ ។ គណនា $f(-1)$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 3. បង្ហាញថាក្រាប $C$ មានចំណុចរបត់មួយ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុចរបត់។ 4. គណនា $f(-2)$ និង $f(2)$ ដោយយក $e^{-2} = 0.13$ រួចសង់ក្រាប $C$ ។ 5. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $C$ អ័ក្ស $(x'ox)$ អ័ក្ស $(y'oy)$ និងបន្ទាត់ឈរ $x = 2$ ។ 6. ដោយប្រើក្រាប $C$ ចូរកំណត់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត $m$ ដើម្បីឱ្យសមីការ $me^x - x - 2 = 0$ មានឫសពីរផ្ទៀងផ្ទាត់ $x_1 < 0 < x_2$ ។

៤២. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$ ។ គេតាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់អនុគមន៍នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $C$ ។ ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $A$ ជាចំណុចរបត់នៃក្រាប $C$ និងជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប $C$ ។ គ. រកសមីការបន្ទាត់ $T$ ប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $A$ ។ ឃ. សង់ក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $T$ ។ ង. គណនាផ្ទៃក្រឡាខណ្ឌដោយក្រាប $C$ និងអ័ក្ស $(x'ox)$ លើចន្លោះ $[0, 1]$ ។

៤៣. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{1+x^2+2\ln x}{x^2}$ ។ $(C)$ ជាក្រាបនៃ $f$ ។ 1. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ រួចរកលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ចុងដែនកំណត់។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $(C)$ ។ 2. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ និងសិក្សាសញ្ញាដេរីវេ។ បង្ហាញថាអនុគមន៍ $f(x)$ មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់ $x=1$ ។ គណនា $f(1)$ និងសង់តារាងអថេរភាព។ 3. បង្ហាញថាក្រាប $(C)$ មានចំណុចរបត់មួយគត់កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីស។ (គេយក $\sqrt{e} = 1.4$ ) 4. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូតដេករបស់វា។ 5. សង់ក្រាប $(C)$ ។

៤៤. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដែល $f(x) = \frac{x+\ln x}{x}$ និងមានក្រាបតំណាង $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនាលីមីត $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. គណនា $f'(x)$ និងសិក្សាសញ្ញារបស់វា។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ គ. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $(T)$ ដែលប៉ះនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីស $x = 1$ ។ ឃ. សង់ក្រាប $(C)$ បន្ទាត់ $(T)$ និងអាស៊ីមតូតទាំងអស់នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ង. គណនាផ្ទៃក្រឡាខណ្ឌដោយក្រាប $(C)$, អ័ក្ស $(x'ox)$ និងបន្ទាត់ឈរ $x = 1, x = e$ ។ គេឱ្យ $e = 2.7$ និង $\frac{1}{e} = 0.4$ ។

៤៥. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = x - 2 + \frac{4}{e^x+1}$ មានខ្សែរាង $C$ ។ 1. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ និងត្រង់ $+\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $(d_1) : y = x - 2$ ។ 2. ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថា នៅលើ $\mathbb{R}$ គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f$ គឺ $f'(x) = \left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ លើ $\mathbb{R}$ ។ 3. បង្ហាញថា បន្ទាត់ $d_2$ ដែលមានសមីការ $y = x + 2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ $-\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹង បន្ទាត់ $d_2$ ។ សង់ក្រាប $C$ និងអាស៊ីមតូត $d_1$ និង $d_2$ របស់វា។

៤៦. គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x) = x + 2 - \frac{4e^x}{e^x+3}$ មានក្រាបតំណាង $(C)$ ។ 1. ក. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ ។ ខ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D) : y = x + 2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(D)$ ។ 2. ក. បង្ហាញថាគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ គេបាន $f(x) = x - 2 + \frac{12}{e^x+3}$ ។ ខ. គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(\Delta) : y = x - 2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(\Delta)$ ។ 3. ស្រាយបំភ្លឺថាគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ គេបាន $f'(x) = \left(\frac{e^x-3}{e^x+3}\right)^2$ ។ សិក្សាសញ្ញា $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ 4. សង់បន្ទាត់ $(D), (\Delta)$ និងក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៤៧. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ដែល $x \neq 0$ ដោយ $f(x) = x - \frac{e^x}{e^x-1}$ មានក្រាបតំណាង $(C)$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_1 : y = x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ខាង $-\infty$ រួចសិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $d_1$ ។ គ. បង្ហាញថាចំពោះ $x \neq 0$ គេបាន $f(x) = x - 1 - \frac{1}{e^x-1}$ ។ គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ឃ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_2 : y = x - 1$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ខាង $+\infty$ រួចសិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $d_2$ ។ ង. គណនា $f'(x)$ រួចបង្ហាញថា $f'(x) > 0$ ចំពោះ $x \neq 0$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ច. គណនា $f(1)$ និង $f(-1)$ ។ សង់បន្ទាត់ $d_1, d_2$ និងក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $(C)$ បន្ទាត់ $d_1$ និងបន្ទាត់ឈរមានសមីការ $x = 1$ និង $x = 2$ ។ គេឲ្យ $\frac{e}{e-1} = 1.6$ និង $\frac{1}{1-e} = -0.6$ ។

៤៨. គេឱ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x)=x^2+2x-1-4\ln x$ ។ តាង $(C)$ ជាក្រាបតំណាងអនុគមន៍ $f$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. សិក្សាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0^+$ និងទាញរកអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប។ 2. a. បង្ហាញថាគ្រប់ $x$ នៅលើ $(0, +\infty)$ គេអាចសរសេរ $f(x)=x^2\left(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{4\ln x}{x^2}\right)$ ។ b. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ 3. a. ស្រាយបញ្ជាក់ថាគ្រប់ $x$ លើ $(0, +\infty) ; f'(x)=\frac{2(x^2+x-2)}{x}$ ។ b. សិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ លើ $(0, +\infty)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 4. a. កំណត់សមីការបន្ទាត់ $d$ ដែលប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីសស្មើ 2 ។ b. សង់ក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $d$ ។ យក $\ln 2=0.7, \ln 3=1.1$

៤៩. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $f(x)=-x-\frac{4\ln x}{x}$ ហើយមានក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ដែលមានឯកតា $2cm$ ។ 1. a. សិក្សាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0^+$ និង $+\infty$ ។ បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y=-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ b. សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ។ 2. a. គណនា $f'(x)$ ហើយសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ដោយដឹងថា $x^2+4-4\ln x > 0$ ចំពោះ $x>0$ ។ b. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 3. a. បន្ទាត់ $d_2$ ប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $A$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $A$ ។ b. រកសមីការបន្ទាត់ $d_2$ ។ 4. សង់បន្ទាត់ $d_1, d_2$ និងក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ។ (យក $e=2.7, \frac{4}{e}=1.5$ )

៥០. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = e^x - x - 1$ មានក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ។ 1. a. សិក្សាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។ b. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y = -x - 1$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ខាង $-\infty$ ។ c. សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ។ 2. សិក្សាទិសដៅអថេរភាព និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 3. a. រកកូអរដោនេនៃចំណុច $P$ រវាងក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $d_2$ ដោយបន្ទាត់ $d_2$ ស្របនឹងបន្ទាត់ $d_3: y=x$ ។ b. រកសមីការបន្ទាត់ $d_2$ ។ 4. សង់ក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $d_1, d_2, d_3$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ។ (យក $e=2.7, \ln 2 = 0.7$ )

៥១. A. គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $g(x) = x^2-1+2\ln x$ ។ 1. សិក្សាទិសដៅអថេរភាពនៃ $g$ ។ គណនា $g(1)$ ។ 2. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ រួចកំណត់សញ្ញានៃ $g$ ។ B. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $f(x) = x - \frac{\ln x}{x^2}$ ហើយមានក្រាបតំណាង $C$ ។ 1. សិក្សាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $C$ ។ 2. a. ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $d_1: y=x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតខាង $+\infty$ នៃក្រាប $C$ ។ b. សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $d_1$ ។ 3. a. គណនា $f'(x)$ ជាអនុគមន៍នៃ $g(x)$ ។ b. សិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ រួចសង់ក្រាប $C$ ។ 4. a. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $d_2$ ដែលប៉ះក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុចមានអាប់ស៊ីសស្មើ 1 ។ b. សង់ក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $d_1, d_2$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ។

៥២. A : គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ: $g(x) = 1-x+e^x$ ។ ទាញរកអថេរភាពនៃ $g$ ។ រួចទាញរកសញ្ញានៃ $g(x)$ ។ (មិនបាច់គណនាលីមីត) B : គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x+1+\frac{x}{e^x}$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។ បង្ហាញថាបន្ទាត់ $D$ មានសមីការ $y=x+1$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងរវាងក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូត $D$ ។ 2. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $f'(x) = e^{-x} \cdot g(x)$ ចំពោះ $\forall x \in \mathbb{R}$ ។ ទាញរកអថេរភាពនៃ $f$ លើ $\mathbb{R}$ ។ 3. បង្ហាញថាសមីការ $f(x)=0$ មានឫសតែមួយគត់ $\alpha$ លើយន្លោះ $-1 < \alpha < 0$ ។ 4. រកសមីការបន្ទាត់ $(T)$ ប៉ះក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុចមានអាប់ស៊ីស $0$ ។ 5. សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $D, T$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៥៣. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $D_f$ ដោយ $y = f(x) = -\frac{x}{2} + \ln\left(\frac{x-1}{x}\right)$ មានក្រាប $C$ ។ ១. រកដែនកំណត់ $D$ និងគណនាលីមីតត្រង់ចុងដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ រកអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $C$ ។ ២. គណនានិងសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ដោយដឹងថា $x(x-1)>0, \forall x \in D$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ៣. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_1: y = -\frac{x}{2}$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ បញ្ជាក់ថា $\forall x \in (-\infty, 0), \frac{x-1}{x} > 1$ និង $\forall x \in (1, +\infty), \frac{x-1}{x} < 1$ រួចសិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ។ ៤. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $d_2$ ប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុចមានអាប់ស៊ីសស្មើ 2 ។ ៥. សង់ក្រាប $C$ បន្ទាត់ $d_1, d_2$ និងអាស៊ីមតូតឈរទាំងពីរក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ គេឲ្យ $\ln 2 = 0.7$

៥៤. គេឲ្យអនុគមន៍ $f_m(x) = (m-1)x^3 - m + 2$ ( $m$ ជាប៉ារ៉ាម៉ែត ) ។ ក) កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កើន ខ) កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឲ្យក្រាបតំណាងអនុគមន៍មានរបត់

៥៥. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ ៖ $f(x) = \ln(x-1) + \ln(x+1)$ ក) រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ខ) គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f(x)$ ត្រង់ចុងដែនកំណត់ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាបតាង $f$ ។ គ) គណនាដេរីវេនៃ $f$ ។ គូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ឃ) គណនា $f(2) ; f(3)$ និង $f(5)$ រួចគូសក្រាបតំណាងអនុគមន៍ $f$ នោះ ។ គេឲ្យ $\ln 2 = 0.7 ; \ln 3 = 1.1$ ។

៥៦. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $(C): f(x) = \ln\frac{m+x}{1-x}$ និងមានក្រាប $(C)$ ។ ក. កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឲ្យក្រាប $(C)$ កាត់ $f$ កាត់គល់ $O$ នៃតម្រុយ ខ. សិក្សាអថេរភាព និងសង់ក្រាប $(C)$ តាង $f$ ចំពោះតម្លៃ $m$ រកបានខាងលើ គ. គណនាផ្ទៃក្រឡា $S$ ផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $(C)$ អ័ក្ស $x'ox$ និងបន្ទាត់ $x=0$ & $x=\frac{1}{2}$

៥៧. គេសង់ត្រីកោណមួយលើអ័ក្ស $\vec{ox}$ និង $\vec{oy}$ និងបន្ទាត់មួយកាត់ចំណុច $A(1,2)$ នៅក្នុងកាដ្រង់ទី១ ។ រកកូអរដោនេនៃកំពូលត្រីកោណនេះ ដើម្បីឲ្យក្រឡាផ្ទៃរបស់វាមានទំហំតូចបំផុត។

៥៨. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = (x+1)e^x$ ហើយមានខ្សែរាង $(C)$ តាងឲ្យអនុគមន៍ $f$ ។ ១ រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ២ គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ៣ គណនាដេរីវេ $f'(x)$ និងសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ៤ សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(D)$ ប៉ះក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $M(0,1)$ ៥ សង់បន្ទាត់ $(D)$ និងក្រាប $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ តែមួយ។

៥៩. គេអោយអនុគមន៍ $y = f(x) = \frac{x^2+\ln x}{x^2} ; x>0$ ។ $(C)$ ជាក្រាបតំណាងនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ១. គណនាលីមីត $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ រួចទាញរកអាស៊ីមតូតឈរ និង ដេក ។ ២. គណនានិងសិក្សាសញ្ញាដេរីវេ $f'(x)$ ។ រកតម្លៃអតិបរមា និង គូសតារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៣. គណនា $f\left(\frac{1}{2}\right)$ និង សង់ក្រាប $(C)$ ។ ( គេអោយ $\sqrt{e} = 1.7 ; \frac{1}{e} = 0.37 ; \ln 2 = 0.7$ ) ៤. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្ទៃខណ្ឌដោយខ្សែរាង $(C)$ និង បន្ទាត់ $x=1 ; x=2 ; y=1$ ។

៦០. គេឲ្យខ្សែរាង $(C): y = f(x) = \frac{-2\ln x}{x}$ ។ ក. រកដែនកំណត់នៃ $f(x)$ រួចគណនាលីមីតចុងដែនកំណត់។ ខ. ទាញបញ្ជាក់អាស៊ីមតូតឈរ ដេក នៃខ្សែរាង $(C)$ ។ គ. គណនាដេរីវេទី១ នៃ $f(x)$ រួចសិក្សាសញ្ញា $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f(x)$ ទាញបញ្ជាក់តម្លៃបរមារបស់មេគុណប្រាប់ទិស។ ឃ. រកចំណុចប្រសព្វរវាងខ្សែរាង $(C)$ និងអាស៊ីមតូតដេករបស់វា រួចសង់ក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូតដេករបស់វា។

៦១. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = 2 + \frac{x}{e^x}$ មានក្រាប $(C)$ ។ 1. គណនាលីមីតនៃ $f$ កាលណា $x \to \pm\infty$ រួចរកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $(C)$ ។ 2. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $f$ មានអតិបរមាមួយដែលត្រូវគណនា។ គូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 3. សង់ក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 4. គេឲ្យ $F(x) = 2x - xe^{-x} - e^{-x}$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $F(x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡាខណ្ឌដោយ $(C)$ បន្ទាត់ $y=2 ; x=1$ និង $x=3$ ។

៦២. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $y = f(x) = \frac{e^x-2}{e^x+1}$ ហើយមានក្រាប $(C)$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x) ; \lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $(C)$ ។ 2. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ បង្ហាញថាអនុគមន៍ $f$ កើនជានិច្ច។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 3. បញ្ជាក់ចំណុច $I(0, -\frac{1}{2})$ ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប $(C)$ ។ រកសមីការបន្ទាត់ $(T)$ ប៉ះទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $I$ ។ 4. សង់បន្ទាត់ $(T)$ និងក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ។ 5. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $(C)$ និងអ័ក្ស $x'x$ លើចន្លោះ $[-1, 0]$ ។

៦៣. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = -x+2\ln(e^x+1)$ ។ យើងតាងដោយ $(C)$ ជាក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ ។ 1. បង្ហាញថា $f(x) = x+2\ln(1+e^{-x})$ និងគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(d_1)$ មានសមីការ $y=x$ ជាអាស៊ីមតូតទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ $+\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $(C)$ ធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ $(d_1)$ ។ 2. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(d_2)$ មានសមីការ $y=-x$ អាស៊ីមតូតទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ $-\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $(C)$ ធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ $(d_2)$ ។ 3. បង្ហាញថាគ្រប់ចំនួនពិត $x$ គេបានដេរីវេ $f'(x) = \frac{e^x-1}{e^x+1}$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ សង់ក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូត $(d_1)$ និង $(d_2)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៦៤. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x-3+\frac{4e^x}{e^x+3}$ ។ យើងតាងដោយ $(C)$ ជាក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ ។ 1. បង្ហាញថា $f(x) = x+1-\frac{12}{e^x+3}$ និងគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(d_1)$ មានសមីការ $y=x+1$ អាស៊ីមតូតទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ $-\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $(C)$ ធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ $(d_1)$ ។ 2. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(d_2)$ មានសមីការ $y=x-3$ អាស៊ីមតូតទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ $+\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $(C)$ ធៀបទៅនឹងបន្ទាត់ $(d_2)$ ។ 3. បង្ហាញថាគ្រប់ចំនួនពិត $x$ គេបានដេរីវេ $f'(x) = \left(\frac{e^x-3}{e^x+3}\right)^2$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ សង់ក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូត $(d_1)$ និង $(d_2)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៦៥. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = x+3-\frac{4}{x} - \ln x$ យើងតាងដោយ $(C)$ ជាក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ ។ 1. a) បង្ហាញថា $f(x) = \frac{x^2+3x-4-x\ln x}{x}$ និងគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0^+$ ។ b) បង្ហាញថា $f(x) = x(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{\ln x}{x})$ និងគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ 2. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x \in (0, +\infty)$ គេបានដេរីវេ $f'(x) = \frac{x^2-x+4}{x^2}$ ។ សិក្សាសញ្ញាដេរីវេ $f'(x)$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 3. a) រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $(d_1)$ ទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ នៅលើ $(C)$ ដែលមានអាប់ស៊ីសស្មើ $1$ ។ b) រកកូអរដោនេចំណុច $B$ នៃ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះទៅ $(C)$ ត្រង់ $B$ ស្របនឹងបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y=x$ ។ 4. សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d_1), (d_2)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៦៦. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ដោយ $y = f(x) = x+2+e^{-(x+1)}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ ១. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ ២. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ គណនាតម្លៃបរមាធៀបនឹង $x$ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៣. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីស $x=0$ ។ ៤. គណនា $f(-2)$ និង $f(1)$ រួចសង់ក្រាប $C$ កំណត់តម្លៃ $m$ ដោយប្រើក្រាប $C$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $(x-2+m)e^{x+1} = 1$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ (គេយក $e=2.72, \frac{1}{e}=0.37, \frac{1}{e^2}=0.14$)

៦៧. ប្រអប់មួយមានរាងជាប្រលេពីប៉ែតកែងដែលមានបាតជាការេ និង មានក្រឡាផ្ទៃសរុប $250 dm^2$ ។ សម្ភារៈសម្រាប់ធ្វើបាតលើ និង បាតក្រោមមានតម្លៃ $4000 \text{ ៛}/dm^2$ ហើយសម្ភារៈសម្រាប់ធ្វើផ្ទៃខាងមានតម្លៃ $2000 \text{ ៛}/dm^2$ ។ រកវិមាត្រនៃប្រអប់នោះដើម្បីឲ្យប្រាក់ចំណាយលើសម្ភារៈមានតម្លៃអប្បបរមា រួច គណនាប្រាក់ចំណាយអប្បបរមានោះ។

៦៨. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x \neq 1$ ដោយ $y = f(x) = \frac{3x^2-4x}{(x-1)^2}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ ១. កំណត់ចំនួនពិត $A, B$ និង $C$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = A + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ ចំពោះគ្រប់ $x \neq 1$ ។ ២. គណនាលីមីត $\lim_{x\to 1} f(x), \lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតដេក និង អាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $C$ ។ ៣. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ហើយសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៤. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $T$ ដែលប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $O$ នៃតម្រុយ។ ៥. សង់បន្ទាត់ $T$ និងក្រាប $C$ ។ ដោយប្រើក្រាប $C$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $3x^2-4x-k(x-1)^2 = 0$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

៦៩. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $y = f(x) = \frac{2\ln x + 1}{x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ ១. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង ដេកនៃក្រាប $C$ ។ ២. គណនាដេរីវេ និងសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ បង្ហាញថាអនុគមន៍ $f$ មានតម្លៃអតិបរមាត្រង់ $x = \sqrt{e}$ ។ គណនាតម្លៃអតិបរមានោះ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៣. រកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $M$ រវាងក្រាប $C$ និង អាស៊ីមតូតដេក។ រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $M$ ។ ៤. គណនា $f(e)$ រួចសង់ក្រាប $C$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $C$ អ័ក្សអាប់ស៊ីស និង បន្ទាត់ឈរ $x=1, x=e$ ។ (គេឲ្យ $e=2.7, \frac{1}{e}=0.4, \sqrt{e}=1.6$)

៧០. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x \neq 2$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2-3x+3}{x-2}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ ១. កំណត់ចំនួនពិត $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = ax+b+\frac{c}{x-2}$ ចំពោះ $x \neq 2$ ។ ២. គណនា $f'(x)$ ។ គណនាតម្លៃបរមាធៀបនឹង $x$ ។ ៣. រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង អាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ សិក្សាទីតាំងរវាងអាស៊ីមតូតទ្រេត និង ក្រាប $C$ ។ ៤. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៦. សង់ក្រាប $C$ គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់កំណត់ដោយក្រាប $C$ អ័ក្សអាប់ស៊ីស បន្ទាត់ឈរ $x=3, x=4$ ។

៧១. គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x) = \sqrt{x+2}$ កំណត់លើ $(-2, +\infty)$ ។ ១. គណនា $f'(x)$ ។ ២. បង្ហាញថា ចំពោះ $\forall x \in [-1, 2]$ គេបាន $\frac{1}{4} \le f'(x) \le \frac{1}{2}$ ។ ៣. ដោយប្រើវិសមភាពកំណើនមានកំណត់ទាញបញ្ជាក់ថា $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} \le \sqrt{x+2} \le \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ ។

៧២. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ $y = \frac{ax^2+bx}{x^2+1}$ មានបរមាធៀបស្មើនឹង $3$ និងខ្សែរាងនៃអនុគមន៍នេះមានបន្ទាត់ដេកមានសមីការ $y=2$ ជាអាស៊ីមតូតដេក។

៧៣. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $y = f(x) = (x^2+x+1)e^{-x}$ ហើយមានក្រាបតំណាង $(C)$ ។ ១. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ២. បង្ហាញថា $f'(x) = -(x+1)(x-2)e^{-x}$ ។ សិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ៣. កំណត់សញ្ញានៃ $f$ លើ $\mathbb{R}$ ។ ៤. សង់ក្រាប $C$ ។ ៥. គេឲ្យ $F(x) = -(x^2-x+2)e^{-x}$ ។ បង្ហាញថា $F$ ជាព្រីមីទីវមួយនៃ $f$ លើ $\mathbb{R}$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $C$ អ័ក្សអាប់ស៊ីស និង បន្ទាត់ឈរ $x=-1$ និង $x=0$ ។

៧៤. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ និង $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x-e^x$ និង $g(x) = (1-x)e^x$ ហើយមានក្រាប $C_f$ និង $C_g$ រៀងគ្នា។ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ដែលមានឯកតា $2cm$ ។ ១. គណនាលីមីតនៃ $f$ និង $g$ ត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C_f$ និង $C_g$ ។ ២. គណនា $f'(x)$ និង $g'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f(x)$ និង $g(x)$ ។ បង្ហាញថា $f(x) < 0$ ចំពោះគ្រប់តម្លៃ $x$ ។ ៣. គេឲ្យ $h(x) = f(x) - g(x)$ ។ បង្ហាញថា $h'(x) = 1-g(x)$ ។ កំណត់ទិសដៅអថេរភាពនៃ $h$ លើ $\mathbb{R}$ ។ ៤. ស្រាយបញ្ជាក់ថា ក្រាប $C_f$ និង $C_g$ ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយគត់ដែលមានអាប់ស៊ីស $\alpha$ ដែល $1 < \alpha < 2$ ។ ៥. សង់ក្រាប $C_f$ និង $C_g$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ។

៧៥. A. គេឲ្យអនុគមន៍ $g$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x>0$ ដោយ $g(x) = 2x^3-1+2\ln x$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $g$ លើចន្លោះ $(0, +\infty)$ ។ កំណត់សញ្ញានៃ $g$ លើចន្លោះ $(0, +\infty)$ ។ B. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x>0$ ដោយ $f(x) = 2x - \frac{\ln x}{x^2}$ ហើយមានក្រាប $C$ ក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ១. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ ។ ២. បង្ហាញថាខ្សែរាង $C$ មានអាស៊ីមតូតទ្រេតបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលមានសមីការ $y=2x$ ។ សិក្សាទីតាំងរវាងខ្សែរាង $C$ និងបន្ទាត់ $\Delta$ ។ ៣. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ៤. បង្ហាញថាសមីការ $f(x)=0$ មានឫសតែមួយគត់ដោយអាប់ស៊ីស $\alpha$ ក្នុងចន្លោះ $(\frac{1}{e}, 1)$ ។ ៥. សង់ក្រាប $C$ ។

៧៦. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ដោយ $f(x) = xe^{-x} + 1$ ហើយ $C$ ជាក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ១. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។ ២. បង្ហាញថា $f'(x) = (x+1)e^{-x}$ ចំពោះ $x \in \mathbb{R}$ ។ ៣. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។

៧៧. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{1+2\ln x}{x^2}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ ១. គណនាលីមីតនៃ $f$ កាលណា $x \to 0$ និង $x \to +\infty$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង ដេក នៃក្រាប $C$ ។ ២. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៣. គេឲ្យ $g(x) = 1-x+2\ln x$ ។ ក. សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $g$ ។ ខ. បង្ហាញថាសមីការ $g(x)=0$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នាចន្លោះ $(0.2, 2)$ និង $(2.4, 1)$ ។ ៤. បង្ហាញថា $f(x) - \frac{1}{x} = \frac{g(x)}{x^2}$ ។ ៥. សង់ក្រាប $C$ ។

៧៨. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ដោយ $f(x) = x-2+e^{1-x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ ១. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ២. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $D: y=x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ កាលណា $x \to +\infty$ ។ ៣. សិក្សាទីតាំងរវាងក្រាប $C$ និង បន្ទាត់ $D$ ។ ៤. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៥. សង់បន្ទាត់ $D$ និង ក្រាប $C$ ។ ៦. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ដែលខណ្ឌដោយក្រាប $C$ អាស៊ីមតូតទ្រេត បន្ទាត់ឈរ $x=1$ និង $x=2$ ។

៧៩. ១. រកសមីការនៃបន្ទាត់ $d$ ដែលប៉ះនឹងក្រាប $C_1: y = 1-x\ln x$ ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីស $1$ ។ ២. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $N$ រវាងបន្ទាត់ $d$ និង ក្រាប $C_2: y = e^x+1-x$ ។

៨០. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x \neq 2$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2-2x+1}{2x-4}$ និងមានក្រាប $C$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ១. កំណត់ចំនួនពិត $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = ax+b+\frac{c}{2x-4}$ ចំពោះ គ្រប់ $x \neq 2$ ។ ២. រកតម្លៃបរមានៃ $f$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និង ទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ សិក្សាទីតាំងរវាងអាស៊ីមតូតទ្រេត និង ក្រាប $C$ ។ ៣. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ៤. សង់ក្រាប $C$ បន្ទាត់ប៉ះនៃក្រាប $C$ និង អាស៊ីមតូតក្នុងតម្រុយតែមួយ ។ ៥. គណនាផ្ទៃក្រឡា $S$ ផ្នែកប្លង់កំណត់ដោយក្រាប $C$ អាស៊ីមតូតទ្រេត បន្ទាត់ឈរ $x=3$ និង $x=4$ ។

៨១. ផ្នែក A. គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x) = (2x-1)e^{2x} + 1$ ក. គណនា $g'(x)$ រួចរកអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $g(x)$ ខ. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $g(x)$ (ដោយមិនចាំបាច់គណនាលីមីតត្រង់ចុងដែនកំណត់) គ. រកសញ្ញានៃអនុគមន៍ $g(x)$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ឃ. ដោះស្រាយវិសមីការ $1-g(x) \ge 0$ ក្នុង $\mathbb{R}$ ។ គណនា $I = \int_0^{\frac{1}{2}} [1-g(x)]dx$ ផ្នែក B. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x \neq 0$ ដោយ $f(x) = \frac{e^{2x}-1}{x}$ និងមានក្រាប $(C)$ ។ ក. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $-\infty, 0, +\infty$ ។ ទាញរកអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. រកអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ គ. គណនាតម្លៃ $f(x)$ ចំពោះ $x \in \{-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$ ។ (យក $e^{-2}=0.12, e^{-1}=0.37, e=2.7, e^2=7.38$) ឃ. គេមាន $h$ ជាអនុគមន៍កំណត់ $\begin{cases} h(x) = f(x) & , x \neq 0 \\ h(0) = 2 & \end{cases}$ ។ តើ $h$ ជាអនុគមន៍បន្លាយជាប់នៃ $f$ ត្រង់ $x=0$ ទេ? ង. សង់ក្រាប $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

៨២. ប្រអប់មួយមានរាងប្រលេពីប៉ែតកែងដែលវិមាត្រវាជា $x, y, x+y$ ។ គេចង់បានប្រអប់ដែលមានបរិមាត្រ $20cm$ ។ កំណត់តម្លៃ $x$ និង $y$ ដើម្បីឲ្យប្រអប់នេះមានមាឌធំបំផុត។

៨៣. ផ្នែក A : គេឲ្យអនុគមន៍ $g$ កំណត់ចំពោះ $x \in \mathbb{R}$ ដោយ $g(x) = e^x - xe^x - 1$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to -\infty} g(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} g(x)$ ។ 2. គណនាដេរីវេ $g'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។ 3. ទាញបញ្ជាក់ថា $g(x) \le 0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ។ ផ្នែក B : គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x \in \mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = (2-x)e^x + 1$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ បញ្ជាក់សមីការអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ កាលណា $x \to -\infty$ ។ 2. គណនា $f'(x)$ ។ បង្ហាញថា $f'(x) = g(x)$ ។ 3. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ 4. គណនា $f''(x)$ ។ បញ្ជាក់ថាមានចំណុចរបត់ $I$ មានអាប់ស៊ីស $x=0$ ។ 5. គណនា $f(-1)$ សង់ក្រាប $C$ បន្ទាត់ $D$ និងបន្ទាត់ប៉ះ $T$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ (គេយក $e=2.7, \frac{1}{e}=0.4$) ។

៨៤. 1. គេឲ្យអនុគមន៍ $g$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $g(x) = \ln x + 2x^2 - 3$ ។ បង្ហាញថាសមីការ $g(x)=0$ មានឫស $\alpha$ ដែល $1 < \alpha < 2$ ។ 2. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $f(x) = \frac{2\ln x}{x} + 2x - 3$ ហើយមានក្រាប $C$ ក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ខ. គណនា $f'(x)$ និងបង្ហាញថា $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ ចំពោះ $x \in (0, +\infty)$ ។ គ. សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ឃ. គណនា $f(e^{-1})$ និង $f(1)$ ។ សង់ក្រាប $C$ (គេយក $e=2.7, \frac{1}{e}=0.4$) ។

៨៥. គេឲ្យអនុគមន៍ $y = f(x) = \frac{e^x-1}{e^x+1}$ ដែល $x$ ជាចំនួនពិត។ 1. បង្ហាញថា $y = f(x) = \frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$ ។ តើ $f$ ជាអនុគមន៍គូ ឬ សេស? 2. គណនាដេរីវេ $y'$ រួចបង្ហាញថា $y' + y^2 = 1$ ។

៨៦. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $y = f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{x-1}{x} \ln|x|$ ហើយមានក្រាប $C$ ។ 1. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ចុងដែនកំណត់ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរទាំងពីរនៃក្រាប $C$ ។ 2. គណនាដេរីវេ និងសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ 3. សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ 4. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $L$ ដែលជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ 5. សង់អាស៊ីមតូតត្រង់ និង ក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មួយ (គេយក $\ln 2 = 0.7$) ។ រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $\ln\left|\frac{x-1}{x}\right| - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + a = 0$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា ដោយប្រើក្រាប $C$ ។

៨៧. គេឲ្យអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $g(x) = x^3-2x\ln x+1$ ។ 1. បង្ហាញថា $g'(x) = \frac{(x-1)(3x^2+3x+2)}{x}$ ចំពោះគ្រប់ $x \in (0, +\infty)$ ។ 2. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ដោយមិនបាច់គណនាលីមីតត្រង់ចុងដែនកំណត់ និង កំណត់សញ្ញានៃ $g(x)$ ។ 3. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = \frac{x^3+x+\ln x}{x^2}$ ហើយមានក្រាប $C_f$ ។ ក. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $C_f$ ។ ខ. បង្ហាញថា $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ គ. គណនា $f(1)$ និង $f(2)$ រួចសង់ក្រាប $C_f$ ។ (គេយក $\ln 2 = 0.7$)

៨៨. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $y = f(x) = xe^{1-x}$ ហើយ $C$ ជាក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ 1. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ កាលណា $x \to -\infty$ និង $x \to +\infty$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។ 2. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ បង្ហាញថា $f$ មានអតិបរមាមួយ។ គណនាតម្លៃអតិបរមានោះ។ 3. បង្ហាញថាចំណុចរបត់មួយរបស់ $f$ មានចំណុចរបត់មួយ។ កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចរបត់នោះ។ 4. កំណត់សមីការបន្ទាត់ប៉ះ $T$ ទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីស $x=0$ ។ 5. សង់បន្ទាត់ $T$ អាស៊ីមតូត និង ក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ដែលខណ្ឌដោយក្រាប $C$ អ័ក្សអាប់ស៊ីស បន្ទាត់ឈរ $x=0$ និង $x=2$ ។ (គេយក $e=2.72, e^2=7.39, \frac{1}{e}=0.37$)

៨៩. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{2}{3}x - \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនាលីមីតចុងដែនកំណត់របស់វា ។ ទាញបញ្ជាក់សមីការអាស៊ីមតូតឈរ ។ ២. ក) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(d): y=\frac{2}{3}x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ) ចូរសិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $(d)$ លើចន្លោះ $(-\infty, -1)$ និង $(1, +\infty)$ ។ ៣. ក) ចំពោះគ្រប់ $x$ នៃដែនកំណត់ ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថា $f'(x) = \frac{2(x+2)(x-2)}{3(x+1)(x-1)}$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ខ) ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថាគល់ $O$ ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប $(C)$ ។ ៤. គណនា $f(-3)$ និង $f(3)$ រួចសង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ។ គេឲ្យ $\ln 2 = 0.69$ និង $\ln 3 = 1.10$ ។

៩០. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = x - \frac{\ln x}{x^2}$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ១. គេមាន $g$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $g(x) = x^3 - 1 + 2\ln x$ ។ ក) សិក្សាសញ្ញា $g'(x)$ លើចន្លោះ $(0, +\infty)$ ។ ខ) គណនា $g(1)$ ។ ទាញរកសញ្ញា $g(x)$ ចំពោះគ្រប់ $x \in (0, +\infty)$ ។ ២. ក) គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ ។ ខ) គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(x)$ ទាញរកសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៣. ក) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(\Delta)$ មានសមីការ $y=x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ) សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $(\Delta)$ ។ សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(\Delta)$ ។ ៤. $A(a)$ ជាចំណុចនៃក្រាប $(C)$ ដែលមានអាប់ស៊ីស $x=a$ ។ ទាញរកក្រឡាផ្ទៃ $S(a)$ ខណ្ឌដោយក្រាប $(C)$ បន្ទាត់ $(\Delta)$ និងបន្ទាត់ឈរ $x=1, x=a, (a>1)$ ។

៩១. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = 2 - x + \frac{\ln x}{x}$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. a) គណនាលីមីត $f$ ត្រង់ $0$ និងត្រង់ $+\infty$ ។ b) កំណត់ដេរីវេ $f'(x)$ នៃអនុគមន៍ $f(x)$ ។ c) គេឲ្យ $g(x) = 1 - x^2 - \ln x$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $f'$ យកសញ្ញាតាម $g(x)$ ។ ខ. a) សិក្សាទិសដៅអថេរភាពនៃ $g$ ។ គណនា $g(1)$ ។ b) ដោយមិនបាច់រកលីមីតនៃ $g$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ ចូរសិក្សាសញ្ញានៃ $g(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f(x)$ ។ គ. a) បង្ហាញថាបន្ទាត់ $D$ មានសមីការ $y = -x + 2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ b) សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $D$ ។ c) សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $D$ ។

៩២. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2-2}{x} - \ln x$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. a. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x \in (0, +\infty)$ គេអាចសរសេរ $f(x) = x\left(1 - \frac{\ln x}{x} - \frac{2}{x^2}\right)$ និង $f(x) = \frac{1}{x}(x^2 - x\ln x - 2)$ ។ b. ប្រើលទ្ធផលនេះដើម្បីគណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $0$ និងត្រង់ $+\infty$ ។ ខ. a. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ នៃអនុគមន៍ $f(x)$ និងបង្ហាញថា $\forall x \in (0, +\infty), f'(x)$ មានសញ្ញាដូច $(x^2 - x + 2)$ ។ b. សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពរបស់វា ។ គ. a. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ នៅលើ $(C)$ ដែលមានអាប់ស៊ីសស្មើ $1$ ។ b. រកកូអរដោនេនៃចំណុច $B$ នៃ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $B$ ស្របនឹងបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y = x$ ។ ឃ. សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $A$ និងត្រង់ $B$ ។ យក $\ln 2 = 0.7$ ។

៩៣. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = -x + \frac{4}{x} + 2\ln x$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ រួចទាញបញ្ជាក់សមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. ចំពោះគ្រប់ $x \in (0, +\infty)$ ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថា $f'(x) = -\frac{(x-1)^2+3}{x^2}$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ គ. រកកូអរដោនេនៃចំណុចស្ងៀមនៅចន្លោះ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចនោះមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ $-1$ ។ ឃ. គណនា $f\left(\frac{1}{2}\right), f(2)$ និង $f(4)$ ។ ចូរសង់ក្រាប $(C)$ ។ យក $\ln 2 = 0.69$ ។

៩៤. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = 2x - 1 - \frac{e^{2x}-3}{e^{2x}+1}$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ចូរស្ត្រាយថា $f(x) = 2x + 2 - \frac{4e^{2x}}{e^{2x}+1}$ ។ គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d_1): y=2x+2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ កាលណា $x \to +\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d_1)$ ។ ខ. ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ចូរស្ត្រាយថា $f(x) = 2x - 2 + \frac{4}{e^{2x}+1}$ ។ គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d_2): y=2x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ កាលណា $x \to -\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d_2)$ ។ គ. ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថា $f'(x) = 2\left(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right)^2$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ឃ. ចូរសង់ក្រាប $(C)$ បន្ទាត់ $(d_1)$ និង $(d_2)$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ ។

៩៥. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = x - \frac{x^2-2\ln x-1}{x}$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d): y=x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះគ្រប់ $x \in (0, +\infty)$ គេបាន $f'(x) = \frac{x^2-1+2\ln x}{x^2}$ ។ គ. ចំពោះគ្រប់ $x \in (0, +\infty)$ គេយក $g(x) = x^2-1+2\ln x$ ។ គណនា $g'(x)$ និង $g(1)$ រួចបញ្ជាក់ថា $g$ ជាអនុគមន៍កើននៅលើចន្លោះ $(0, +\infty)$ ។ សិក្សាសញ្ញានៃ $g(x)$ លើចន្លោះ $(0,1)$ និង $(1, +\infty)$ ។ ឃ. ប្រើលទ្ធផលខាងលើគូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ចូរសង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ។ យក $\ln 2 = 0.69$ ។

៩៦. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = -x + 2\ln(e^x+1)$ ហើយមានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d_1): y=-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ គេអាចសរសេរ $f(x) = x + 2\ln(e^{-x}+1)$ ។ គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d_2): y=x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ គ. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{e^x-1}{e^x+1}$ ។ គូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ឃ. បង្ហាញថា $f(x)$ ជាអនុគមន៍គូ រួចសង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d_1), (d_2)$ ។

៩៧. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x>0$ ដោយ $y = f(x) = 1-x-2\frac{\ln x}{x}$ ហើយមានក្រាប $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់មួយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(L): y=1-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាង $(C)$ និង $(L)$ ។ គ. បង្ហាញថា $f'(x) < 0$ បើគេដឹងថា $x^2+2-2\ln x > 0$ ចំពោះ $x>0$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ បន្ទាត់ $(D)$ ប៉ះនឹង $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ $(L)$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុច $A$ និងសមីការនៃបន្ទាត់ $(D)$ ។ ឃ. សង់ $(L) ; (D)$ និង $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ដោយយក $e=2.7, \frac{2}{e}=0.7$ ។

៩៨. គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = -x+ \frac{3(e^x-1)}{e^x+2}$ ។ តាង $(C_f)$ ជាក្រាបនៃ $f$ ក្នុងតម្រុយ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនាលីមីត $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ខ. ចូរស្ត្រាយថាអនុគមន៍ $f$ អាចសរសេរបានពីរទម្រង់ $f(x) = -x+3 - \frac{9}{e^x+2}$ និង $f(x) = -x - \frac{3}{2} + \frac{9e^x}{2(e^x+2)}$ ។ គ. ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតទាំងពីររបស់ខ្សែរាង $(C_f)$ រួចបញ្ជាក់ទីតាំងធៀបរវាងខ្សែរាង $(C_f)$ ជាមួយអាស៊ីមតូតទ្រេតនីមួយៗរបស់វា ។ ឃ. ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R}$ ចូរស្ត្រាយបញ្ជាក់ថា $f'(x) = \frac{(1-e^x)(e^x-4)}{(e^x+2)^2}$ ។ ង. សិក្សាសញ្ញារបស់ $f'(x)$ រួចគូសតារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ច. គណនា $f(-2)$ និង $f(3)$ រួចសង់ក្រាប $(C_f)$ និងអាស៊ីមតូតរបស់វា ។ គេយក $e = 2.7, \frac{9}{e^{-2}+2} = 4.2$ និង $\frac{9}{e^3+2} = 0.41$ ។

៩៩. គេឲ្យ $f$ និង $g$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=x-2+e^x$ និង $g(x)=x-2+e^{-x}$ ហើយមានក្រាប $(C_f)$ និង $(C_g)$ ជាក្រាបតំណាងរៀងគ្នា។ A. ក. គណនាលីមីត $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D): y=x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $(C_f)$ ខាង $-\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាង $(C_f)$ ធៀបនឹង $(D)$ ។ ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់ក្រាប $(C_f)$ និងបន្ទាត់ $(D)$ ។ B. ក. គណនាលីមីត $\lim_{x\to -\infty} g(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} g(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D): y=x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $(C_g)$ ខាង $+\infty$ ។ ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃ $g$ ។ សង់ក្រាប $(C_g)$ ក្នុងតម្រុយរួមគ្នាជាមួយ $(C_f)$ និង $(D)$ ។ C. គណនាកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $(C_f)$ និង $(C_g)$ ។

១០០. ផ្នែកA: គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x)=(2x-1)e^{2x}+1$ ។ ១. ក. គណនា $g'(x)$ រួចទាញរកអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $g(x)$ ។ ខ. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ (ដោយមិនបាច់គណនាលីមីតចុងដែន) រួចទាញរកសញ្ញា $g(x)$ លើ $\mathbb{R}$ ។ ២. ដោះស្រាយវិសមីការ $1-g(x) \ge 0$ ក្នុង $\mathbb{R}$ រួចគណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^{\frac{1}{2}} [1-g(x)]dx$ ។ ផ្នែកB: អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x \neq 0$ ដោយ $f(x)=\frac{e^{2x}-1}{x}$ និងមានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ក. គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $-\infty, 0$ និង $+\infty$ រួចទាញរកអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. រកអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ គ. គណនាតម្លៃ $f(x)$ ចំពោះ $x \in \{-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$ (គេយក $e^{-2}=0.14, e^{-1}=0.37, e=2.72, e^2=7.39$) ។ ឃ. គេមាន $h$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $h(x)=f(x)$ បើ $x \neq 0$ និង $h(0)=2$ ។ តើ $h$ ជាអនុគមន៍បន្លាយជាប់នៃ $f$ ត្រង់ $x=0$ ឬទេ? ង. សង់ក្រាប $(C)$ ។

១០១. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=4-x-2e^{-x}$ មានក្រាប $(C)$ ។ ១. រក $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ២. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D)$ មានសមីការ $y=-x+4$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ខាង $+\infty$ ។ ៣. សិក្សាទីតាំងធៀបរវាង $(C)$ និង $(D)$ ។ ៤. គណនា $f'(x)$ រួចសិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ ។ កំណត់ចំណុចកាត់អ័ក្សកូអរដោនេ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ៥. បង្ហាញថាសមីការ $f(x)=0$ មានឫសតែមួយគត់ $\alpha$ ដែល $1 < \alpha < 2$ ។ សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(D)$ ។

១០២. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{x^2+\alpha x + \beta}{1-x}$ ដែល $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ មានក្រាប $(C)$ ។ ១. កំណត់អញ្ញាត $\alpha, \beta$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍មានបរមាត្រង់ចំណុច $A(2,-1)$ ។ ២. យក $\alpha=0, \beta=-3$ គេបាន $f(x) = \frac{x^2-3}{1-x}$ ។ រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនាលីមីតចុងដែន និងទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ ។ ៣. កំណត់តម្លៃ $a, b, c$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = ax+b+\frac{c}{1-x}$ រួចទាញរកអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ៤. សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូតទ្រេតរបស់វា ។ ៥. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៦. សង់ក្រាប $(C)$ ។

១០៣. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = x-3+\frac{2(1+\ln x)}{x}$ មានក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអរតូណរម៉ាល់ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។ ១) រក $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $(C)$ ។ ២) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(d): y=x-3$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ។ ៣) បង្ហាញថា $f'(x) = \frac{x^2-2\ln x}{x^2}$ រួចទាញសញ្ញារបស់ $f'(x)$ ដោយដឹងថា $x^2-2\ln x > 0, \forall x > 0$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ៤) ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $A(1,0)$ ស្ថិតនៅលើខ្សែរាង $(C)$ ។ សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(T)$ ប៉ះក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ ។ ៥) គណនា $f\left(\frac{1}{2}\right), f(2), f(4)$ រួចសង់ក្រាប $(C)$ បន្ទាត់ $(T)$ និង $(d)$ (យក $\ln 2 = 0.7, e = 2.72$) ។

១០៤. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $y=f(x)=2+\frac{\ln x}{x^2}$ ។ 1. រក $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ រួចរកអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $C$ ។ 2. គណនា $f'(x)$ រួចសង់តារាងអថេរភាព។ 3. រកចំណុចរបត់នៃក្រាប $C$ ។ 4. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $C$ អាស៊ីមតូតដេក បន្ទាត់ឈរ $x=1, x=e^{0.5}$ ។

១០៥. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $y=f(x)=1-\frac{2\ln x}{x}$ មានក្រាប $C$ ។ 1. រកលីមីតនៃ $f(x)$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ រកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាប $C$ ។ 2. គណនា $f'(x)$ សង់តារាងអថេរភាព។ 3. សង់ក្រាប $C$ ដោយយក $e=2.7, \frac{2}{e}=0.7$ ។ 4. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $C$ អាស៊ីមតូតដេក បន្ទាត់ឈរ $x=1, x=e$ ។

១០៦. ផ្នែក A: អនុគមន៍ $h(x)=x^2+1-2\ln x$ ។ ក. សិក្សាអថេរភាពនៃ $h$ ។ ខ. គណនា $h(1)$ រួចទាញរកសញ្ញានៃ $h(x)$ លើ $(0,+\infty)$ ។ ផ្នែក B: អនុគមន៍ $f(x)=x-4+\frac{1+2\ln x}{x}$ មានក្រាប $C$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ខ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $D:y=x-4$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត។ សិក្សាទីតាំងធៀប។ គ. បង្ហាញថា $f'(x)=\frac{h(x)}{x^2}$ សង់តារាងអថេរភាព។ ឃ. កំណត់ផ្ទៃក្រឡាផ្នែកប្លង់ខណ្ឌដោយក្រាប $C$ បន្ទាត់ $D$ និងបន្ទាត់ឈរ $x=1, x=e$ ។

១០៧. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0,+\infty)$ ដោយ $f(x)=-2x+5-\frac{1-\ln x}{x}$ មានក្រាប $C$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x), \lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ 2. បង្ហាញថា $D:y=-2x+5$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត។ សិក្សាទីតាំងធៀប។ 3. បង្ហាញថា $\forall x>0, f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}$ បើ $g(x)=-2x^2+2-\ln x$ ។ 4. គណនា $g'(x)$ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។ ទាញរកសញ្ញា $g(x)$ ដោយគណនា $g(1)$ ។ 5. ទាញរកសញ្ញា $f'(x)$ សង់តារាងអថេរភាព $f$ និងសង់ $C, D$ ។

១០៨. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x)=1-\frac{2\ln x}{x}$ មានក្រាប $(C)$ ។ ១. រក $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងដេក។ ២. គណនា $f'(x)$ សង់តារាងអថេរភាព។ ៣. សង់ក្រាប $(C)$ យក $e=2.7, \frac{2}{e}=0.7$ ។ ៤. គណនាផ្ទៃក្រឡាខណ្ឌដោយ $(C)$ អាស៊ីមតូតដេក និងបន្ទាត់ឈរ $x=1, x=e$ ។

១០៩. ផ្នែក A: គេឲ្យអនុគមន៍ $h(x)=x^2+1-2\ln x$ ។ ក. សិក្សាអថេរភាពនៃ $h$ ។ ខ. គណនា $h(1)$ រកសញ្ញា $h(x)$ ។ ផ្នែក B: គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x)=x-4+\frac{1+2\ln x}{x}$ មានក្រាប $(C)$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ខ. បង្ហាញថា $D:y=x-4$ អាស៊ីមតូតទ្រេត។ គ. បង្ហាញថា $f'(x)=\frac{h(x)}{x^2}$ រួចសង់តារាងអថេរភាព។ ឃ. គណនាផ្ទៃក្រឡាខណ្ឌដោយ $(C), D$ និងបន្ទាត់ឈរ $x=1, x=e$ ។

១១០. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{2\ln x+1}{x}$ ។ 1. គណនាលីមីត $\lim_{x\to 0} f(x), \lim_{x\to +\infty} f(x)$ រួចទាញរកអាស៊ីមតូត។ 2. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ សង់តារាងអថេរភាព។ រកអតិបរមាត្រង់ចំណុច $x=\sqrt{e}$ ។ 3. រកចំណុចប្រសព្វ $M$ រវាងក្រាប $C$ និងអាស៊ីមតូតដេក។ រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុច $M$ ។ 4. គណនា $f(e)$ សង់ក្រាប $C$ កំណត់ផ្ទៃក្រឡាខណ្ឌដោយក្រាបចន្លោះ $x=1, x=e$ ។

១១១. គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x)=-2x+5-\frac{1-\ln x}{x}$ មានក្រាប $C$ ។ 1. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x), \lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ 2. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $D: y=-2x+5$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេត។ 3. បង្ហាញថា $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ បើ $g(x) = -2x^2+2-\ln x$ ។ 4. គណនា $g'(x)$ សង់តារាងអថេរភាព $g$ រកសញ្ញា $g(x)$ ។ 5. ទាញរកសញ្ញា $f'(x)$ សង់តារាងអថេរភាព $f$ រួចសង់ក្រាប។

១១២. អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \ln(e^x-1)$ មានក្រាប $C$ ។ ក. រកដែនកំណត់នៃ $f$ គណនាលីមីតចុងដែន និងទាញរកអាស៊ីមតូត។ ខ. គណនា $f'(x)$ សង់តារាងអថេរភាព។ គ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $y=x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។ ឃ. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ $A$ រវាង $C$ និងអ័ក្ស $x'ox$ ។ ង. សង់ខ្សែរាង $C$ ។ ច. ដោះស្រាយសមីការ $f(x) = -\ln(e^x+1)$ គណនាលីមីត $\lim_{x\to +\infty} [\ln(e^x+1)-\ln(e^x-1)]$ ។

១១៣. គេឲ្យ $f$ និង $g$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=x-2+e^x$ និង $g(x)=x-2+e^{-x}$ ហើយមានក្រាប $(C_f)$ និង $(C_g)$ ។ A. ក. គណនាលីមីត $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D): y=x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $(C_f)$ ខាង $-\infty$ ។ ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់ក្រាប $(C_f)$ និងបន្ទាត់ $(D)$ ។ B. ក. គណនាលីមីត $\lim_{x\to -\infty} g(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} g(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D)$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $(C_g)$ ខាង $+\infty$ ។ ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃ $g$ ។ សង់ក្រាប $(C_g)$ ។ C. គណនាកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $(C_f)$ និង $(C_g)$ ។

១១៤. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2-2\ln x - 1}{x}$ មានក្រាប $(C)$ ។ ក. គណនា $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ រួចបង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d): y=x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\forall x \in (0, +\infty)$ គេបាន $f'(x) = \frac{x^2-1+2\ln x}{x^2}$ ។ គ. គេយក $g(x) = x^2-1+2\ln x$ ។ គណនា $g'(x)$ និង $g(1)$ រួចបញ្ជាក់ថា $g$ ជាអនុគមន៍កើន ។ សិក្សាសញ្ញានៃ $g(x)$ ។ ឃ. គូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ចូរសង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ។

១១៥. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = x - 1 - \frac{1-\ln x}{x}$ មានក្រាប $(C)$ ។ ១) រក $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $(C)$ ។ ២) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(d): y=x-1$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ។ ៣) បង្ហាញថា $f'(x) = \frac{x^2-2\ln x}{x^2}$ រួចទាញសញ្ញារបស់ $f'(x)$ ដោយដឹងថា $x^2-2\ln x > 0, \forall x > 0$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ៤) ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $A(1,0)$ ស្ថិតនៅលើខ្សែរាង $(C)$ ។ សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(T)$ ប៉ះក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ ។ ៥) គណនា $f\left(\frac{1}{2}\right), f(2), f(4)$ រួចសង់ក្រាប $(C)$ បន្ទាត់ $(T)$ និង $(d)$ ។

១១៦. គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{x^2+\alpha x + \beta}{1-x}$ ដែល $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ មានក្រាប $(C)$ ។ ១. កំណត់អញ្ញាត $\alpha, \beta$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍មានបរមាត្រង់ចំណុច $A(2,-1)$ ។ ២. យក $\alpha=0, \beta=-3$ គេបាន $f(x) = \frac{x^2-3}{1-x}$ ។ រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។ គណនាលីមីតចុងដែន និងទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ ។ ៣. កំណត់តម្លៃ $a, b, c$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = ax+b+\frac{c}{1-x}$ រួចទាញរកអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ ៤. សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូតទ្រេតរបស់វា ។ ៥. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ ៦. សង់ក្រាប $(C)$ ។

១១៧. អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x) = x-3+\frac{2(1+\ln x)}{x}$ មានក្រាប $(C)$ ។ ១) រក $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $(C)$ ។ ២) ស្រាយបញ្ជាក់ថាបន្ទាត់ $(d): y=x-3$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ។ ៣) បង្ហាញថា $f'(x) = \frac{x^2-2\ln x}{x^2}$ រួចទាញសញ្ញារបស់ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ ៤) ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $A(1,0)$ ស្ថិតនៅលើខ្សែរាង $(C)$ ។ សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(T)$ ប៉ះក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ ។ ៥) គណនា $f\left(\frac{1}{2}\right), f(2), f(4)$ រួចសង់ក្រាប $(C)$ ។