បណ្ណាល័យរូបមន្តគណិតវិទ្យា
∫អាំងតេក្រាល
∩តក្កវិទ្យា & សំណុំ
x²ពីជគណិត & សមីការ
Uₙស្វ៊ីត & ស៊េរី
Σសិចម៉ា
logលោការីត & អិចស្ប៉ូ
iចំនួនកុំផ្លិច
sinត្រីកោណមាត្រ
[ ]ម៉ាទ្រីស & ដេទែមីណង់
⤡ធរណីមាត្រប្លង់
⬭កោនិក
XYZវ៉ិចទ័រលំហ 3D
▰មាឌ&ផ្ទៃក្រឡា
limលីមីត
∂ដេរីវេ
f(x)សិក្សាអនុគមន៍
y''សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
🎲ប្រូបាប & ស្ថិតិ
∫ រូបមន្តអាំងតេក្រាល
១. រូបមន្តគ្រឹះ
1. $\int k dx = kx + c$
2. $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, (n \neq -1)$
3. $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + c$
4. $\int \frac{dx}{x^n} = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + c$
5. $\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + c$
6. $\int e^x dx = e^x + c$
7. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + c$
8. $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + c$
២. អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
9. $\int \sin x dx = -\cos x + c$
10. $\int \cos x dx = \sin x + c$
11. $\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+c$
12. $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b)+c$
13. $\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + c$
14. $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + c$
15. $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + c$
16. $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + c$
៣. អនុគមន៍ប្រភាគសនិទាន
19. $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + c$
20. $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}| + c$
21. $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + c$
22. $\int \frac{u'}{u}dx = \ln|u|+c$
៤. អនុគមន៍អសនិទាន (Irrational)
25. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + c$
26. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + c$
29. $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + c$
៥. អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
$\int u dv = uv - \int v du$
∩ តក្កវិទ្យា និង សំណុំ
១. តារាងភាពពិតនៃឈ្នាប់តក្កវិទ្យា
| $p$ | $q$ | $p \land q$ (និង) | $p \lor q$ (ឬ) | $p \implies q$ (នាំឲ្យ) | $p \iff q$ (សមមូល) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
២. លក្ខណៈដឺម៉ហ្គាន (De Morgan)
i. $\overline{p \land q} = \overline{p} \lor \overline{q}$
ii. $\overline{p \lor q} = \overline{p} \land \overline{q}$
៣. ប្រមាណវិធីលើសំណុំ និង ចំនួនធាតុ
ប្រសព្វ: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ និង } x \in B\}$
ប្រជុំ: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ឬ } x \in B\}$
ចំនួនធាតុ ២ សំណុំ: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
លក្ខណៈ: $A \cup B = A \cap B \iff A = B$
លក្ខណៈបំបែក: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
លក្ខណៈបំបែក: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
ចំនួនធាតុ ៣ សំណុំ:
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
៤. សំណុំនៃចំនួន
ចំនួនគត់ធម្មជាតិ: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$
ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប: $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
ចំនួនសនិទាន: $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*\}$
ចំនួនពិត $\mathbb{R}$ ឯកចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
x² ពីជគណិត និង សមីការ
១. រូបមន្តពន្លាតកន្សោម (ឯកលក្ខណៈភាព)
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$
$(a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b)$
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})$
$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... - ab^{n-2} + b^{n-1})$ (បើ $n$ សេស)
$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... - ab^{n-2} + b^{n-1})$ (បើ $n$ សេស)
២. ការដាក់ជាផលគុណកត្តា
$ab+ac-ad = a(b+c-d)$
$acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$
៣. សមីការ និង វិសមីការតម្លៃដាច់ខាត
$|Ax+B|=C \ (C \gt 0) \implies Ax+B=C \lor Ax+B=-C$
$|Ax+B| \lt C \ (C \gt 0) \implies -C \lt Ax+B \lt C$
$|Ax+B| \gt C \ (C \gt 0) \implies Ax+B \gt C \lor Ax+B \lt -C$
៤. សមីការដឺក្រេទី ២ ($ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$)
ឌីសគ្រីមីណង់: $\Delta = b^2 - 4ac$ ឬ $\Delta' = b'^2 - ac$ (បើ $b=2b'$)
បើ $\Delta > 0$: មានឫសពីរជាចំនួនពិត $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
បើ $\Delta = 0$: មានឫសឌុប $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$
បើ $\Delta < 0$: មានឫសកុំផ្លិចឆ្លាស់ពីរ $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
ទ្រឹស្តីបទវីអែត: $S = x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$ , $P = x_1x_2 = \frac{c}{a}$
ករណីពិសេស: បើ $a+b+c=0 \implies x_1=1, x_2=\frac{c}{a}$
ករណីពិសេស: បើ $a-b+c=0 \implies x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}$
ការចងសមីការ: បើស្គាល់ $x_1, x_2 \implies x^2 - Sx + P = 0$
វិសមីការ: $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$
វិសមីការ: $f(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$
៥. វិសមភាព (Inequalities)
Cauchy ២តួ: $a>0, b>0 \implies a+b \geq 2\sqrt{ab}$
Cauchy ៣តួ: $a,b,c>0 \implies a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$
Uₙ ស្វ៊ីត និង ស៊េរី
១. ភាពកើនចុះនៃស្វ៊ីត (Monotonicity)
ស្វ៊ីតកើន: $a_{n+1} - a_n > 0$ ឬ $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$
ស្វ៊ីតចុះ: $a_{n+1} - a_n < 0$ ឬ $\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$
២. ស្វ៊ីតនព្វន្ត (Arithmetic Sequence)
ផលសងរួម: $d = U_2 - U_1 = U_{n+1} - U_n$
តួទី $n$: $U_n = U_1 + (n-1)d$
តួទី $n$ (ទូទៅ): $U_n = U_p + (n-p)d$
លក្ខណៈ ៣តួបន្តបន្ទាប់: $a + c = 2b$
ផលបូក $n$ តួ: $S_n = \frac{n}{2}(U_1 + U_n)$
ផលបូក $n$ តួ (បំបែក): $S_n = \frac{n}{2}[2U_1 + (n-1)d]$
៣. ស្វ៊ីតធរណីមាត្រ (Geometric Sequence)
ផលធៀបរួម: $q = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_{n+1}}{U_n}$
តួទី $n$: $U_n = U_1 \times q^{n-1}$
តួទី $n$ (ទូទៅ): $U_n = U_p \times q^{n-p}$
លក្ខណៈ ៣តួបន្តបន្ទាប់: $a \times c = b^2$
ផលបូក $n$ តួ: $S_n = U_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$
ផលបូកស្វ៊ីតអនន្ត ($|q| < 1$): $S_\infty = \frac{U_1}{1-q}$
៤. ទំនាក់ទំនងតួ និង ផលបូក
ការទាញរកតួទី $n$: $a_n = S_n - S_{n-1}$ និង $a_1 = S_1$
៥. សមីការសម្គាល់ស្វ៊ីតលំដាប់ទី ២
ទម្រង់ $a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0$ មានសមីការសម្គាល់ $x^2 + px + q = 0$ មានឫស $\alpha, \beta$
បើ $\alpha \neq \beta \implies a_n = A \alpha^n + B \beta^n$
បើ $\alpha = \beta \implies a_n = (An + B) \alpha^n$
Σ លក្ខណៈនៃសិចម៉ា
១. លក្ខណៈទូទៅនៃ $\Sigma$
$\sum_{k=1}^n c = cn$
$\sum_{k=1}^n c a_k = c \sum_{k=1}^n a_k$
$\sum_{k=1}^n (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^n a_k \pm \sum_{k=1}^n b_k$
ប្រយ័ត្នខុស: $\sum (a_k \cdot b_k) \neq (\sum a_k) \cdot (\sum b_k)$ ព្រមទាំង $\sum \left(\frac{a_k}{b_k}\right) \neq \frac{\sum a_k}{\sum b_k}$
លក្ខណៈបំបែក: $\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k$
២. រូបមន្តផលបូក $\Sigma$ សំខាន់ៗ
១. ផលបូក $n$ ចំនួនគត់ដំបូង:
$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
២. ផលបូកការ៉េ:
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
៣. ផលបូកគូប:
$\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$
$\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$
៤. ផលបូកស្វ័យគុណទី៤:
$\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
$\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
៥. ផលបូកស្វ័យគុណនៃ $a$ ($a \neq 1$):
$\sum_{k=1}^n a^k = \frac{a(a^n-1)}{a-1}$
$\sum_{k=1}^n a^k = \frac{a(a^n-1)}{a-1}$
log លោការីត និង អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
១. លក្ខណៈអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (ស្វ័យគុណ)
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(ab)^n = a^n b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
$a^0 = 1 \ (a \neq 0)$
$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
២. និយមន័យ និង លក្ខណៈលោការីត ($a>0, a\neq1$)
$a^x = y \iff x = \log_a y$
$\log_a 1 = 0$
$\log_a a = 1$
$\log_a(a^x) = x$
$a^{\log_a x} = x$
$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
$\log_a(x^n) = n\log_a x$
$\log_{a^m} x = \frac{1}{m}\log_a x$
$\log_{a^n} (b^m) = \frac{m}{n}\log_a b$
៣. ការប្តូរគោល និង លោការីតនេពែ (ln)
ប្តូរទៅគោល $c$: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
ប្តូរទីតាំង: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
លោការីតនេពែ: $\ln x = \log_e x \ (e \approx 2.71828...)$
$\ln e = 1$, $\ln 1 = 0$, $\ln(e^x) = x$, $e^{\ln x} = x$
តម្លៃ $e$: $\ln 2 \approx 0.693$, $\ln 3 \approx 1.098$, $\ln 10 \approx 2.302$
៤. ដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូ & លោការីត
$a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$
$a^{f(x)} = b \implies f(x) = \log_a b \ (b>0)$
$\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x)>0 \\ f(x) = g(x) \end{cases}$
$\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b$
i ចំនួនកុំផ្លិច
១. ទម្រង់ពីជគណិត និង ប្រមាណវិធី
ទម្រង់: $z = a+bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$) និង $i^2 = -1$
កុំផ្លិចឆ្លាស់: $\bar{z} = a-bi$
ម៉ូឌុល: $|z| = r = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$
បូក/ដក: $(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$
គុណ: $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$
ចែក: $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$
២. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ត្រីកោណមាត្រ: $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
អាគុយម៉ង់: $\cos \theta = \frac{a}{r}, \sin \theta = \frac{b}{r}$
អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល: $z = r e^{i\theta}$
ផលគុណ: $z_1 z_2 = r_1 r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]$
ផលចែក: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)]$
៣. រូបមន្តដឺម័រ (De Moivre) និង ឫសទី n
ដឺម័រ: $z^n = [r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$
ឫសទី n: $w_k = \sqrt[n]{r} \left[ \cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right) \right]$, $(k=0,1,...,n-1)$
sin ត្រីកោណមាត្រ
១. តារាងតម្លៃមុំពិសេស
| DEG | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| RAD | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
| $\sin$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
| $\cos$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $\tan$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $\|$ | $0$ |
| $\cot$ | $\|$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\|$ |
២. រូបមន្តគ្រឹះ
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
$1+\tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
$1+\cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
៣. មុំមានទំនាក់ទំនងពិសេស
មុំផ្ទុយ $(-\theta)$: $\sin(-\theta)=-\sin\theta$, $\cos(-\theta)=\cos\theta$
មុំបំពេញ $(\frac{\pi}{2} - \theta)$: $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$, $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$
មុំផលសង $(\frac{\pi}{2} + \theta)$: $\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\cos\theta$, $\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin\theta$
មុំបន្ថែម $(\pi - \theta)$: $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$, $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$
មុំផលសង $(\pi + \theta)$: $\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$, $\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta$
មុំខួប $(\theta + 2k\pi)$: $\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta$, $\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta$
៤. រូបមន្តមុំផ្គុំ (Addition)
$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \sin b \cos a$
$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$
$\cot(a \pm b) = \frac{\cot a \cot b \mp 1}{\cot b \pm \cot a}$
៥. រូបមន្តមុំឌុប មុំ៣ដង & មុំកន្លះ
$\sin 2a = 2\sin a \cos a$
$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1-2\sin^2 a$
$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$
$\sin 3a = 3\sin a - 4\sin^3 a$
$\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a$
$\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1+\cos a}{2}$ ; $\sin^2 \frac{a}{2} = \frac{1-\cos a}{2}$
៦. បម្លែងផលគុណ $\leftrightarrow$ ផលបូក
$\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$
$\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$
$\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$
$\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$
$\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$
$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$
$\sin p - \sin q = 2\sin\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}$
$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$
$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$
$\sin p - \sin q = 2\sin\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}$
$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$
$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$
៧. ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ
$\sin x = \sin \alpha \implies \begin{cases} x = \alpha + 2k\pi \\ x = \pi - \alpha + 2k\pi \end{cases}$
$\cos x = \cos \alpha \implies x = \pm \alpha + 2k\pi$
$\tan x = \tan \alpha \implies x = \alpha + k\pi$
$\cot x = \cot \alpha \implies x = \alpha + k\pi$
សមីការលីនេអ៊ែរ $a\cos x + b\sin x = c$ :
- លក្ខខណ្ឌមានឫស: $a^2+b^2 \geq c^2$
- វិធីសាស្ត្រ: ចែកអង្គសងខាងនឹង $R = \sqrt{a^2+b^2}$ រួចតាង $\cos \phi = \frac{a}{R}, \sin \phi = \frac{b}{R}$ ដើម្បីបម្លែងជាទម្រង់ $\cos(x-\phi) = \frac{c}{R}$ ឬ $\sin(x+\alpha) = \frac{c}{R}$
- លក្ខខណ្ឌមានឫស: $a^2+b^2 \geq c^2$
- វិធីសាស្ត្រ: ចែកអង្គសងខាងនឹង $R = \sqrt{a^2+b^2}$ រួចតាង $\cos \phi = \frac{a}{R}, \sin \phi = \frac{b}{R}$ ដើម្បីបម្លែងជាទម្រង់ $\cos(x-\phi) = \frac{c}{R}$ ឬ $\sin(x+\alpha) = \frac{c}{R}$
[ ] ម៉ាទ្រីស និង ដេទែមីណង់
១. ម៉ាទ្រីសលំដាប់ 2x2
តាង $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
ដេទែមីណង់: $\det A = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
ម៉ាទ្រីសច្រាស: បើ $\det A \neq 0 \implies A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
លក្ខណៈ: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$, ដែល $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ជាម៉ាទ្រីសឯកតា
២. ម៉ាទ្រីសលំដាប់ 3x3
តាង $A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$
វិធាន Sarrus គណនាដេទែមីណង់:
$|A| = (a_1 b_2 c_3 + b_1 c_2 a_3 + c_1 a_2 b_3) - (c_1 b_2 a_3 + a_1 c_2 b_3 + b_1 a_2 c_3)$
$|A| = (a_1 b_2 c_3 + b_1 c_2 a_3 + c_1 a_2 b_3) - (c_1 b_2 a_3 + a_1 c_2 b_3 + b_1 a_2 c_3)$
៣. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (វិធាន Cramer)
ប្រព័ន្ធ $\begin{cases} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{cases}$
$D = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$
$D_x = \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}$
$D_y = \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}$
បើ $D \neq 0$, នោះចម្លើយគឺ $\mathbf{x = \frac{D_x}{D}}$ និង $\mathbf{y = \frac{D_y}{D}}$
⤡ ធរណីមាត្រវិភាគប្លង់ 2D
១. ចំណុច និង ចម្ងាយក្នុងប្លង់កូអរដោណេ
ចម្ងាយ ២ ចំណុច $A, B$: $d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
ចំណុចកណ្តាល $I$: $\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$
ចំណុចចែកអង្កត់អត្រា $m:n$: $x = \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, y = \frac{my_2+ny_1}{m+n}$
ទីប្រជុំទម្ងន់ $\Delta ABC$: $G\left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right)$
២. សមីការបន្ទាត់ និង ចម្ងាយ
សមីការទូទៅ: $ax+by+c=0$
កាត់តាម $A(x_1, y_1)$ មានមេគុណប្រាប់ទិស $m$: $y - y_1 = m(x - x_1)$
កាត់តាម ២ចំណុច: $\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
ចម្ងាយពីចំណុច $M(x_0,y_0)$ ទៅបន្ទាត់ $ax+by+c=0$: $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
លក្ខខណ្ឌបន្ទាត់ ២: ស្របគ្នា $D \parallel D' \iff m = m'$ ; កែងគ្នា $D \perp D' \iff m \cdot m' = -1$
៣. ទំនាក់ទំនងក្នុងត្រីកោណ
ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស: $a^2 = b^2+c^2 - 2bc\cos A$
ក្រឡាផ្ទៃ $\Delta$: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{abc}{4R} = pr$
រូបមន្តហេរ៉ុង: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (ដែល $p = \frac{a+b+c}{2}$)
រូបមន្តហេរ៉ុង: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (ដែល $p = \frac{a+b+c}{2}$)
⬭ កោនិក
១. រង្វង់ (Circle)
ផ្ចិតគល់តម្រុយ $O(0,0)$, កាំ $r$: $x^2 + y^2 = r^2$
ផ្ចិត $I(a,b)$, កាំ $r$: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
ទម្រង់ទូទៅ: $x^2+y^2+Ax+By+C=0 \implies \text{ផ្ចិត }(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}), r=\sqrt{(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2-C}$
២. ប៉ារ៉ាបូល (Parabola)
អ័ក្សឆ្លុះដេក: $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ $\implies$ កំពូល $V(h,k)$, កំណុំ $F(h+p, k)$
អ័ក្សឆ្លុះឈរ: $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ $\implies$ កំពូល $V(h,k)$, កំណុំ $F(h, k+p)$
៣. អេលីប (Ellipse) ដែល $a>b>0$
អ័ក្សធំដេក: $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \implies c^2=a^2-b^2$
អ័ក្សធំឈរ: $\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \implies c^2=a^2-b^2$
៤. អ៊ីពែបូល (Hyperbola)
អ័ក្សទទឹងដេក: $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \implies c^2=a^2+b^2$
អ័ក្សទទឹងឈរ: $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \implies c^2=a^2+b^2$
អាស៊ីមតូត: ករណីដេក $y = k \pm \frac{b}{a}(x-h)$ , ករណីឈរ $y = k \pm \frac{a}{b}(x-h)$
XYZ វ៉ិចទ័រ និង ធរណីមាត្រលំហ 3D
១. ប្រមាណវិធីលើវ៉ិចទ័រ
ប្រវែង (ម៉ូឌុល): $|\vec{u}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
ផលគុណស្កាលែ: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$
លក្ខខណ្ឌកែង និង ស្រប: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ ឯ $\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$
ផលគុណវ៉ិចទ័រ: $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$
ក្រឡាផ្ទៃ $\triangle ABC$: $S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$
មាឌតេត្រាអ៊ែត: $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$
២. សមីការក្នុងលំហ
សមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $M_0$ មានវ៉ិចទ័រន័រម៉ាល់ $\vec{n}(a,b,c)$:
$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$
$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែតបន្ទាត់ $(L)$ កាត់តាម $M_0$ វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{u}(a,b,c)$:
$\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
$\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
សមីការស្វ៊ែ $(S)$ មានផ្ចិត $I(a,b,c)$ និងកាំ $r$:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$
$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$
ចម្ងាយពីចំណុច ទៅប្លង់:
$d(M, P) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
$d(M, P) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
▰ មាឌ&ផ្ទៃក្រឡា
ស្វ៊ែ (Sphere)
អង្កត់ផ្ចិត: $d = 2R$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 4\pi R^2$
មាឌ: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$
អង្កត់ផ្ចិត: $d = 2R$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 4\pi R^2$
មាឌ: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$
ប្រលេពីប៉ែតកែង
អង្កត់ទ្រូង: $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 2(ab+ac+bc)$
មាឌ: $V = abc$
អង្កត់ទ្រូង: $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 2(ab+ac+bc)$
មាឌ: $V = abc$
គូប (Cube)
អង្កត់ទ្រូង: $d = a\sqrt{3}$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 6a^2$
មាឌ: $V = a^3$
អង្កត់ទ្រូង: $d = a\sqrt{3}$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 6a^2$
មាឌ: $V = a^3$
ស៊ីឡាំងបរិវត្ត (Cylinder)
ផ្ទៃខាង: $S_L = 2\pi Rh$
ផ្ទៃសរុប: $S_T = 2\pi R(h+R)$
មាឌ: $V = \pi R^2 h$
ផ្ទៃខាង: $S_L = 2\pi Rh$
ផ្ទៃសរុប: $S_T = 2\pi R(h+R)$
មាឌ: $V = \pi R^2 h$
កោនបរិវត្ត (Cone)
ផ្ទៃខាង: $S_L = \pi R l$
ផ្ទៃសរុប: $S_T = \pi R(l + R)$
មាឌ: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$
ផ្ទៃខាង: $S_L = \pi R l$
ផ្ទៃសរុប: $S_T = \pi R(l + R)$
មាឌ: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$
កោនកាត់ (Frustum of a Cone)
ផ្ទៃខាង: $S_L = \pi l (R+r)$
មាឌ: $V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + Rr + r^2)$
ផ្ទៃខាង: $S_L = \pi l (R+r)$
មាឌ: $V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + Rr + r^2)$
ពីរ៉ាមីត (Pyramid) និង ពីរ៉ាមីតកាត់
មាឌពីរ៉ាមីត: $V = \frac{1}{3} S_{base} \times h$
មាឌពីរ៉ាមីតកាត់: $V = \frac{h}{3}(S_{base} + S_{top} + \sqrt{S_{base} \cdot S_{top}})$
មាឌពីរ៉ាមីត: $V = \frac{1}{3} S_{base} \times h$
មាឌពីរ៉ាមីតកាត់: $V = \frac{h}{3}(S_{base} + S_{top} + \sqrt{S_{base} \cdot S_{top}})$
lim លីមីត
១. លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ($x \to 0$)
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$
$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$
$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$
២. លីមីតអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និង លោការីត
$\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
$\lim_{x\to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$
$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$
$\lim_{x\to 0^+} x^n \ln x = 0$
$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$
$\lim_{x\to \pm\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$
$\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$
៣. វិធាន L'Hôpital (ឡូពីតាល់)
$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
(ប្រើពេលជួបរាងមិនកំណត់ $\frac{0}{0}$ ឬ $\frac{\infty}{\infty}$)
∂ រូបមន្តដេរីវេ
១. រូបមន្តគ្រឹះដេរីវេ
| អនុគមន៍ $y$ | ដេរីវេ $y'$ | អនុគមន៍បណ្ដាក់ $y$ | ដេរីវេ $y'$ |
|---|---|---|---|
| $c$ (ចំនួនថេរ) | $0$ | - | - |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $u^n$ | $n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\frac{1}{u}$ | $-\frac{u'}{u^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $\ln u$ | $\frac{u'}{u}$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $e^u$ | $u' \cdot e^u$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | $a^u$ | $u' \cdot a^u \ln a$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\sin u$ | $u' \cdot \cos u$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\cos u$ | $-u' \cdot \sin u$ |
| $\tan x$ | $\frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x$ | $\tan u$ | $\frac{u'}{\cos^2 u} = u'(1+\tan^2 u)$ |
| $\cot x$ | $-\frac{1}{\sin^2 x} = -(1+\cot^2 x)$ | $\cot u$ | $-\frac{u'}{\sin^2 u} = -u'(1+\cot^2 u)$ |
២. ប្រតិបត្តិការលើដេរីវេ
$(u \pm v)' = u' \pm v'$
$(k \cdot u)' = k \cdot u'$
$(u \cdot v)' = u'v + v'u$
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$
អនុគមន៍បណ្ដាក់: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
f(x) សិក្សាអនុគមន៍ និង ក្រាប
១. ដែនកំណត់ និង អាស៊ីមតូត
អាស៊ីមតូតឈរ: $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty \implies x=a$
អាស៊ីមតូតដេក: $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = b \implies y=b$
អាស៊ីមតូតទ្រេត: បើ $f(x) = ax+b + \epsilon(x)$ ដោយ $\lim_{x\to\pm\infty} \epsilon(x)=0 \implies y=ax+b$
២. ភាពកើនចុះ បរិមា ភាពផតប៉ោង
ភាពកើនចុះ: $f'(x)>0 \implies$ កើន, $f'(x)<0 \implies$ ចុះ
បរិមា: $f'(x_0)=0$ ហើយប្តូរសញ្ញា $\implies$ មានបរិមាត្រង់ $x_0$
ភាពផត/ប៉ោង: $f''(x)>0 \implies$ ប៉ោង $\cup$, $f''(x)<0 \implies$ ផត $\cap$
ចំណុចបត់: $f''(x_0)=0$ ហើយប្តូរសញ្ញា $\implies I(x_0, f(x_0))$ ជាចំណុចបត់
៣. ស៊ីមេទ្រី
អនុគមន៍គូ $f(-x)=f(x)$: ឆ្លុះធៀបអ័ក្ស $oy$
អនុគមន៍សេស $f(-x)=-f(x)$: ឆ្លុះធៀបគល់ $O(0,0)$
ផ្ចិតឆ្លុះ $I(a,b)$: ផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(2a-x) + f(x) = 2b$
អ័ក្សឆ្លុះ $x=a$: ផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(2a-x) = f(x)$
y'' សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
១. សមីការលំដាប់ទី ១
ទម្រង់ $y' = f(x) \implies y = \int f(x)dx + c$
ទម្រង់ $y' + ay = 0 \implies y = A e^{-ax}$ ($A$ ជាថេរ)
ទម្រង់ $y' + ay = P(x) \implies$ ចម្លើយទូទៅ $y = A e^{-ax} + y_p$ (ដែល $y_p$ ជារាងចម្លើយពិសេស)
២. សមីការលំដាប់ទី ២ លីនេអ៊ែរអូម៉ូសែន
ទម្រង់: $ay'' + by' + cy = 0$
សមីការសម្គាល់: $ar^2+br+c=0$ ($\Delta = b^2-4ac$)
$\Delta > 0$ (ឫសពីរ $r_1, r_2$): $y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$
$\Delta = 0$ (ឫសឌុប $r_0$): $y = (Ax+B)e^{r_0 x}$
$\Delta < 0$ (ឫសកុំផ្លិច $\alpha \pm i\beta$): $y = (A\cos \beta x + B\sin \beta x)e^{\alpha x}$
🎲 ប្រូបាប និង ស្ថិតិ
១. គោលការណ៍រាប់ (Combinatorics)
ហ្វាក់តូយ៉ែល: $n! = n(n-1)... \times 1$ ($0! = 1$)
ចំលាស់នៃ $n$ ធាតុ: $P(n, n) = n!$
ចំលាស់រង្វង់នៃ $n$ ធាតុ: $P_c(n) = (n-1)!$
ចំលាស់មានធាតុដដែល: $P = \frac{n!}{n_1! \times ... \times n_k!}$
រៀបយក $r$ ពី $n$: $A(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$
បន្សំយក $r$ ពី $n$: $C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
លក្ខណៈបន្សំ: $C(n, r) = C(n, n-r)$, $C(n, 0) = 1$, $C(n, n) = 1$, $C(n, 1) = n$
២. ទ្រឹស្តីបទញូតុន (Binomial Theorem)
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k$
៣. ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍
រូបមន្តគ្រឹះ: $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$
ប្រូបាបផ្ទុយ: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
ច្បាប់បូក: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
ព្រឹត្តិការណ៍ផ្តាច់គ្នា: $P(A \cup B) = P(A)+P(B)$ (បើ $A \cap B = \emptyset$)
ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
ច្បាប់ប៊ែរនូយី (ជោគជ័យ $k$ ដង ក្នុង $n$ ដង): $P(X=k) = C(n,k) p^k q^{n-k}$ ($q=1-p$)
៤. ស្ថិតិ: រង្វាស់ទីតាំងកណ្តាល និង បែកខ្ញែក
មធ្យមនព្វន្ត (ទិន្នន័យមិនផ្តុំ): $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$
មធ្យមនព្វន្ត (មានប្រេកង់ $f_i$): $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
មេដ្យាន ($Me$): ជាតម្លៃកណ្តាលនៃទិន្នន័យ។
• $N$ សេស: ទីតាំង $\frac{N+1}{2}$
• $N$ គូ: មធ្យមនៃទិន្នន័យនៅទីតាំង $\frac{N}{2}$ និង $\frac{N}{2}+1$
• $N$ សេស: ទីតាំង $\frac{N+1}{2}$
• $N$ គូ: មធ្យមនៃទិន្នន័យនៅទីតាំង $\frac{N}{2}$ និង $\frac{N}{2}+1$
ម៉ូត ($Mo$): ជាតម្លៃទិន្នន័យដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ (កើតឡើងញឹកញាប់ជាងគេ)។
វ៉ារ្យង់ (Variance): $S^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$
គម្លាតស្តង់ដារ: $S = \sqrt{S^2}$