បណ្ណាល័យរូបមន្តគណិតវិទ្យា

∫ រូបមន្តអាំងតេក្រាល

១. រូបមន្តគ្រឹះ

1. $\int k dx = kx + c$

2. $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, \ (n \neq -1)$

3. $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + c$

4. $\int \frac{dx}{x^n} = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + c$

5. $\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + c$

6. $\int e^x dx = e^x + c$

7. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + c$

8. $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + c$

២. អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

9. $\int \sin x dx = -\cos x + c$

10. $\int \cos x dx = \sin x + c$

11. $\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+c$

12. $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b)+c$

13. $\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + c$

14. $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + c$

15. $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + c$

16. $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + c$

៣. អនុគមន៍ប្រភាគសនិទាន

19. $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + c$

20. $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}| + c$

21. $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + c$

22. $\int \frac{u'}{u}dx = \ln|u|+c$

៤. អនុគមន៍អសនិទាន

25. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + c$

26. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + c$

27. $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + c$

៥. អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

$\int u dv = uv - \int v du$

∩ តក្កវិទ្យា និង សំណុំ

១. តារាងភាពពិតនៃឈ្នាប់តក្កវិទ្យា

$p$	$q$	$p \land q$ (និង)	$p \lor q$ (ឬ)	$p \implies q$ (នាំឲ្យ)	$p \iff q$ (សមមូល)
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

២. លក្ខណៈដឺម៉ហ្គាន

i. $\overline{p \land q} = \overline{p} \lor \overline{q}$

ii. $\overline{p \lor q} = \overline{p} \land \overline{q}$

៣. ប្រមាណវិធីលើសំណុំ និង ចំនួនធាតុ

ប្រសព្វ: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ និង } x \in B\}$

ប្រជុំ: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ឬ } x \in B\}$

ចំនួនធាតុ ២ សំណុំ: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

លក្ខណៈ: $A \cup B = A \cap B \iff A = B$

លក្ខណៈបំបែក: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

លក្ខណៈបំបែក: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

ចំនួនធាតុ ៣ សំណុំ:
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

៤. សំណុំនៃចំនួន

ចំនួនគត់ធម្មជាតិ: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$

ចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីប: $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$

ចំនួនសនិទាន: $\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*\right\}$

ចំនួនពិត $\mathbb{R}$ ឯកចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

x² ពីជគណិត និង សមីការ

១. រូបមន្តពន្លាតកន្សោម (ឯកលក្ខណៈភាព)

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$

$(a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b)$

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})$
$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... - ab^{n-2} + b^{n-1})$ (បើ $n$ សេស)

២. ការដាក់ជាផលគុណកត្តា

$ab+ac-ad = a(b+c-d)$

$acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$

៣. សមីការ និង វិសមីការតម្លៃដាច់ខាត

$|Ax+B|=C \ (C \gt 0)$ $\implies$ $Ax+B=C \lor Ax+B=-C$

$|Ax+B| \lt C \ (C \gt 0)$ $\implies$ $-C \lt Ax+B \lt C$

$|Ax+B| \gt C \ (C \gt 0)$ $\implies$ $Ax+B \gt C \lor Ax+B \lt -C$

៤. សមីការដឺក្រេទី ២ $(ax^2 + bx + c = 0, \ a \neq 0)$

ឌីសគ្រីមីណង់: $\Delta = b^2 - 4ac$ ឬ $\Delta' = b'^2 - ac$ (បើ $b=2b'$)

បើ $\Delta > 0$: មានឫសពីរជាចំនួនពិត $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

បើ $\Delta = 0$: មានឫសឌុប $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$

បើ $\Delta < 0$: មានឫសកុំផ្លិចឆ្លាស់ពីរ $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

ទ្រឹស្តីបទវីអែត: $S = x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$ , $P = x_1x_2 = \frac{c}{a}$

ករណីពិសេស: បើ $a+b+c=0$ $\implies$ $x_1=1, x_2=\frac{c}{a}$

ករណីពិសេស: បើ $a-b+c=0$ $\implies$ $x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}$

ការចងសមីការ: បើស្គាល់ $x_1, x_2 \implies x^2 - Sx + P = 0$

វិសមីការ: $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$

វិសមីការ: $f(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$

៥. វិសមភាព

Cauchy ២តួ: $a>0, b>0 \implies a+b \geq 2\sqrt{ab}$

Cauchy ៣តួ: $a,b,c>0 \implies a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

Uₙ ស្វ៊ីត និង ស៊េរី

១. ភាពកើនចុះនៃស្វ៊ីត

ស្វ៊ីតកើន: $a_{n+1} - a_n > 0$ ឬ $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$

ស្វ៊ីតចុះ: $a_{n+1} - a_n < 0$ ឬ $\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$

២. ស្វ៊ីតនព្វន្ត

ផលសងរួម: $d = U_2 - U_1 = U_{n+1} - U_n$

តួទី $n$: $U_n = U_1 + (n-1)d$

តួទី $n$ (ទូទៅ): $U_n = U_p + (n-p)d$

លក្ខណៈ ៣តួបន្តបន្ទាប់: $a + c = 2b$

ផលបូក $n$ តួ: $S_n = \frac{n}{2}(U_1 + U_n)$

ផលបូក $n$ តួ (បំបែក): $S_n = \frac{n}{2}[2U_1 + (n-1)d]$

៣. ស្វ៊ីតធរណីមាត្រ

ផលធៀបរួម: $q = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_{n+1}}{U_n}$

តួទី $n$: $U_n = U_1 \times q^{n-1}$

តួទី $n$ (ទូទៅ): $U_n = U_p \times q^{n-p}$

លក្ខណៈ ៣តួបន្តបន្ទាប់: $a \times c = b^2$

ផលបូក $n$ តួ: $S_n = U_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

ផលបូកស្វ៊ីតអនន្ត $(|q| < 1)$: $S_\infty = \frac{U_1}{1-q}$

៤. ទំនាក់ទំនងតួ និង ផលបូក

ការទាញរកតួទី $n$: $a_n = S_n - S_{n-1}$ និង $a_1 = S_1$

៥. សមីការសម្គាល់ស្វ៊ីតលំដាប់ទី ២

ទម្រង់ $a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0$ មានសមីការសម្គាល់ $x^2 + px + q = 0$ មានឫស $\alpha, \beta$

បើ $\alpha \neq \beta \implies$ $a_n = A \alpha^n + B \beta^n$

បើ $\alpha = \beta \implies$ $a_n = (An + B) \alpha^n$

Σ លក្ខណៈនៃសិចម៉ា

១. លក្ខណៈទូទៅនៃ $\Sigma$

$\sum_{k=1}^n c = cn$

$\sum_{k=1}^n c a_k = c \sum_{k=1}^n a_k$

$\sum_{k=1}^n (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^n a_k \pm \sum_{k=1}^n b_k$

ប្រយ័ត្នខុស: $\sum (a_k \cdot b_k) \neq (\sum a_k) \cdot (\sum b_k)$ ព្រមទាំង $\sum \left(\frac{a_k}{b_k}\right) \neq \frac{\sum a_k}{\sum b_k}$

លក្ខណៈបំបែក: $\sum_{k=m}^n a_k = \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k$

២. រូបមន្តផលបូក $\Sigma$ សំខាន់ៗ

១. ផលបូក $n$ ចំនួនគត់ដំបូង:
$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

២. ផលបូកការ៉េ:
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

៣. ផលបូកគូប:
$\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

៤. ផលបូកស្វ័យគុណទី៤:
$\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

៥. ផលបូកស្វ័យគុណនៃ $a$ $(a \neq 1)$:
$\sum_{k=1}^n a^k = \frac{a(a^n-1)}{a-1}$

log លោការីត និង អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

១. លក្ខណៈអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

$(a^m)^n = a^{mn}$

$(ab)^n = a^n b^n$

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$a^0 = 1 \ (a \neq 0)$

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

២. និយមន័យ និង លក្ខណៈលោការីត $(a > 0, \ a \neq 1)$

$a^x = y \iff x = \log_a y$

$\log_a 1 = 0$

$\log_a a = 1$

$\log_a(a^x) = x$

$a^{\log_a x} = x$

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$

$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$

$\log_a(x^n) = n\log_a x$

$\log_{a^m} x = \frac{1}{m}\log_a x$

$\log_{a^n} (b^m) = \frac{m}{n}\log_a b$

៣. ការប្តូរគោល និង លោការីតនេពែ (ln)

ប្តូរទៅគោល $c$: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

ប្តូរទីតាំង: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

លោការីតនេពែ: $\ln x = \log_e x \ (e \approx 2.71828...)$

$\ln e = 1$, $\ln 1 = 0$, $\ln(e^x) = x$, $e^{\ln x} = x$

តម្លៃ $e$: $\ln 2 \approx 0.693$, $\ln 3 \approx 1.098$, $\ln 10 \approx 2.302$

៤. ដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូ & លោការីត

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$

$a^{f(x)} = b \implies f(x) = \log_a b \ (b>0)$

$\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x)>0 \\ f(x) = g(x) \end{cases}$

$\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b$

i ចំនួនកុំផ្លិច

១. ទម្រង់ពីជគណិត និង ប្រមាណវិធី

ទម្រង់: $z = a+bi \ (a, b \in \mathbb{R})$ និង $i^2 = -1$

កុំផ្លិចឆ្លាស់: $\bar{z} = a-bi$

ម៉ូឌុល: $|z| = r = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$

បូក/ដក: $(a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

គុណ: $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$

ចែក: $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

២. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ត្រីកោណមាត្រ: $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$

អាគុយម៉ង់: $\cos \theta = \frac{a}{r}, \sin \theta = \frac{b}{r}$

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល: $z = r e^{i\theta}$

ផលគុណ: $z_1 z_2 = r_1 r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]$

ផលចែក: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)]$

៣. រូបមន្តដឺម័រ និង ឫសទី n

ដឺម័រ: $z^n = [r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$

ឫសទី n: $w_k = \sqrt[n]{r} \left[ \cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right) \right]$, $(k=0,1,...,n-1)$

sin ត្រីកោណមាត្រ

១. តារាងតម្លៃមុំពិសេស

DEG	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$
RAD	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\tan$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\\|$	$0$
$\cot$	$\\|$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\\|$

២. រូបមន្តគ្រឹះ

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$1+\tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

$1+\cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$

៣. មុំមានទំនាក់ទំនងពិសេស

មុំផ្ទុយ $(-\theta)$: $\sin(-\theta)=-\sin\theta$, $\cos(-\theta)=\cos\theta$

មុំបំពេញ $\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$: $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$, $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$

មុំផលសង $\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$: $\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\cos\theta$, $\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin\theta$

មុំបន្ថែម $(\pi - \theta)$: $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$, $\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$

មុំផលសង $(\pi + \theta)$: $\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$, $\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta$

មុំខួប $(\theta + 2k\pi)$: $\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta$, $\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta$

៤. រូបមន្តមុំផ្គុំ

$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \sin b \cos a$

$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$

$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$

$\cot(a \pm b) = \frac{\cot a \cot b \mp 1}{\cot b \pm \cot a}$

៥. រូបមន្តមុំឌុប មុំ៣ដង & មុំកន្លះ

$\sin 2a = 2\sin a \cos a$

$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1-2\sin^2 a$

$\tan 2a = \frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$

$\sin 3a = 3\sin a - 4\sin^3 a$

$\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a$

$\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1+\cos a}{2}$ ; $\sin^2 \frac{a}{2} = \frac{1-\cos a}{2}$

៦. បម្លែងផលគុណ $\leftrightarrow$ ផលបូក

$\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$

$\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$

$\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\sin p - \sin q = 2\sin\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}$

$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$

$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

៧. ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ

$\sin x = \sin \alpha \implies \begin{cases} x = \alpha + 2k\pi \\ x = \pi - \alpha + 2k\pi \end{cases}$

$\cos x = \cos \alpha \implies x = \pm \alpha + 2k\pi$

$\tan x = \tan \alpha \implies x = \alpha + k\pi$

$\cot x = \cot \alpha \implies x = \alpha + k\pi$

សមីការលីនេអ៊ែរ $a\cos x + b\sin x = c$ :
- លក្ខខណ្ឌមានឫស: $a^2+b^2 \geq c^2$
- វិធីសាស្ត្រ: ចែកអង្គសងខាងនឹង $R = \sqrt{a^2+b^2}$ រួចតាង $\cos \phi = \frac{a}{R}, \sin \phi = \frac{b}{R}$ ដើម្បីបម្លែងជាទម្រង់ $\cos(x-\phi) = \frac{c}{R}$ ឬ $\sin(x+\alpha) = \frac{c}{R}$

[ ] ម៉ាទ្រីស និង ដេទែមីណង់

១. ម៉ាទ្រីសលំដាប់ 2x2

តាង $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

ដេទែមីណង់: $\det A = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

ម៉ាទ្រីសច្រាស: បើ $\det A \neq 0 \implies$ $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

លក្ខណៈ: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ , ដែល $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ជាម៉ាទ្រីសឯកតា

២. ម៉ាទ្រីសលំដាប់ 3x3

តាង $A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$

វិធាន Sarrus គណនាដេទែមីណង់:

$|A| = (a_1 b_2 c_3 + b_1 c_2 a_3 + c_1 a_2 b_3) - (c_1 b_2 a_3 + a_1 c_2 b_3 + b_1 a_2 c_3)$

៣. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (វិធានក្រាមែរ)

ប្រព័ន្ធ $\begin{cases} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{cases}$

$D = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

$D_x = \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}$

$D_y = \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}$

បើ $D \neq 0$, នោះចម្លើយគឺ $\mathbf{x = \frac{D_x}{D}}$ និង $\mathbf{y = \frac{D_y}{D}}$

⤡ ធរណីមាត្រវិភាគប្លង់ 2D

១. ចំណុច និង ចម្ងាយក្នុងប្លង់កូអរដោណេ

ចម្ងាយ ២ ចំណុច $A, B$: $d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

ចំណុចកណ្តាល $I$: $\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

ចំណុចចែកអង្កត់អត្រា $m:n$: $x = \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \ y = \frac{my_2+ny_1}{m+n}$

ទីប្រជុំទម្ងន់ $\Delta ABC$: $G\left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right)$

២. សមីការបន្ទាត់ និង ចម្ងាយ

សមីការទូទៅ: $ax+by+c=0$

កាត់តាម $A(x_1, y_1)$ មានមេគុណប្រាប់ទិស $m$: $y - y_1 = m(x - x_1)$

កាត់តាម ២ចំណុច: $\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

ចម្ងាយពីចំណុច $M(x_0,y_0)$ ទៅបន្ទាត់ $ax+by+c=0$:
$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

លក្ខខណ្ឌបន្ទាត់ ២: ស្របគ្នា $D \parallel D' \iff m = m'$ ; កែងគ្នា $D \perp D' \iff m \cdot m' = -1$

៣. ទំនាក់ទំនងក្នុងត្រីកោណ

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស: $a^2 = b^2+c^2 - 2bc\cos A$

ក្រឡាផ្ទៃ $\Delta$: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{abc}{4R} = pr$
រូបមន្តហេរ៉ុង: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (ដែល $p = \frac{a+b+c}{2}$)

⬭ កោនិក

១. រង្វង់

ផ្ចិតគល់តម្រុយ $O(0,0)$, កាំ $r$: $x^2 + y^2 = r^2$

ផ្ចិត $I(a,b)$, កាំ $r$: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

ទម្រង់ទូទៅ: $x^2+y^2+Ax+By+C=0 \implies$ $\text{ផ្ចិត }(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}), \ r=\sqrt{(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2-C}$

២. ប៉ារ៉ាបូល

អ័ក្សឆ្លុះដេក: $(y-k)^2 = 4p(x-h) \implies$ កំពូល $V(h,k)$, កំណុំ $F(h+p, k)$

អ័ក្សឆ្លុះឈរ: $(x-h)^2 = 4p(y-k) \implies$ កំពូល $V(h,k)$, កំណុំ $F(h, k+p)$

៣. អេលីប ដែល $a>b>0$

អ័ក្សធំដេក: $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \implies c^2=a^2-b^2$

អ័ក្សធំឈរ: $\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \implies c^2=a^2-b^2$

៤. អ៊ីពែបូល

អ័ក្សទទឹងដេក: $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \implies c^2=a^2+b^2$

អ័ក្សទទឹងឈរ: $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \implies c^2=a^2+b^2$

អាស៊ីមតូត: ករណីដេក $y = k \pm \frac{b}{a}(x-h)$ , ករណីឈរ $y = k \pm \frac{a}{b}(x-h)$

XYZ វ៉ិចទ័រ និង ធរណីមាត្រលំហ 3D

១. ប្រមាណវិធីលើវ៉ិចទ័រ

ប្រវែង (ម៉ូឌុល): $|\vec{u}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

ផលគុណស្កាលែ: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$

លក្ខខណ្ឌកែង និង ស្រប: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ ឯ $\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$

ផលគុណវ៉ិចទ័រ: $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$

ក្រឡាផ្ទៃ $\triangle ABC$: $S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

មាឌតេត្រាអ៊ែត: $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$

២. សមីការក្នុងលំហ

សមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $M_0$ មានវ៉ិចទ័រន័រម៉ាល់ $\vec{n}(a,b,c)$:
$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែតបន្ទាត់ $(L)$ កាត់តាម $M_0$ វ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{u}(a,b,c)$:
$\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}, \ t \in \mathbb{R}$

សមីការស្វ៊ែ $(S)$ មានផ្ចិត $I(a,b,c)$ និងកាំ $r$:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$

ចម្ងាយពីចំណុច ទៅប្លង់:
$d(M, P) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

▰ មាឌ&ផ្ទៃក្រឡា

ស្វ៊ែ
អង្កត់ផ្ចិត: $d = 2R$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 4\pi R^2$
មាឌ: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

ប្រលេពីប៉ែតកែង
អង្កត់ទ្រូង: $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 2(ab+ac+bc)$
មាឌ: $V = abc$

គូប
អង្កត់ទ្រូង: $d = a\sqrt{3}$
ក្រឡាផ្ទៃ: $S = 6a^2$
មាឌ: $V = a^3$

ស៊ីឡាំងបរិវត្ត
ផ្ទៃខាង: $S_L = 2\pi Rh$
ផ្ទៃសរុប: $S_T = 2\pi R(h+R)$
មាឌ: $V = \pi R^2 h$

កោនបរិវត្ត
ផ្ទៃខាង: $S_L = \pi R l$
ផ្ទៃសរុប: $S_T = \pi R(l + R)$
មាឌ: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$

កោនកាត់
ផ្ទៃខាង: $S_L = \pi l (R+r)$
មាឌ: $V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + Rr + r^2)$

ពីរ៉ាមីត និង ពីរ៉ាមីតកាត់
មាឌពីរ៉ាមីត: $V = \frac{1}{3} S_{base} \times h$
មាឌពីរ៉ាមីតកាត់: $V = \frac{h}{3}(S_{base} + S_{top} + \sqrt{S_{base} \cdot S_{top}})$

lim លីមីត

១. លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ $(x \to 0)$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$

២. លីមីតអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និង លោការីត

$\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$

$\lim_{x\to 0^+} x^n \ln x = 0$

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$

$\lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$

$\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$

៣. វិធានឡូពីតាល់

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
(ប្រើពេលជួបរាងមិនកំណត់ $\frac{0}{0}$ ឬ $\frac{\infty}{\infty}$)

∂ រូបមន្តដេរីវេ

១. រូបមន្តគ្រឹះដេរីវេ

អនុគមន៍ $y$	ដេរីវេ $y'$	អនុគមន៍បណ្ដាក់ $y$	ដេរីវេ $y'$
$c$ (ចំនួនថេរ)	$0$	-	-
$x^n$	$nx^{n-1}$	$u^n$	$n \cdot u^{n-1} \cdot u'$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\frac{1}{u}$	$-\frac{u'}{u^2}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{u}$	$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$\ln u$	$\frac{u'}{u}$
$e^x$	$e^x$	$e^u$	$u' \cdot e^u$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a^u$	$u' \cdot a^u \ln a$
$\sin x$	$\cos x$	$\sin u$	$u' \cdot \cos u$
$\cos x$	$-\sin x$	$\cos u$	$-u' \cdot \sin u$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x$	$\tan u$	$\frac{u'}{\cos^2 u} = u'(1+\tan^2 u)$
$\cot x$	$-\frac{1}{\sin^2 x} = -(1+\cot^2 x)$	$\cot u$	$-\frac{u'}{\sin^2 u} = -u'(1+\cot^2 u)$

២. ប្រតិបត្តិការលើដេរីវេ

$(u \pm v)' = u' \pm v'$

$(k \cdot u)' = k \cdot u'$

$(u \cdot v)' = u'v + v'u$

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$

អនុគមន៍បណ្ដាក់: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

f(x) សិក្សាអនុគមន៍ និង ក្រាប

១. ដែនកំណត់ និង អាស៊ីមតូត

អាស៊ីមតូតឈរ: $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty \implies x=a$

អាស៊ីមតូតដេក: $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = b \implies y=b$

អាស៊ីមតូតទ្រេត: បើ $f(x) = ax+b + \epsilon(x)$ ដោយ $\lim_{x\to\pm\infty} \epsilon(x)=0 \implies y=ax+b$

២. ភាពកើនចុះ បរិមា ភាពផតប៉ោង

ភាពកើនចុះ: $f'(x)>0 \implies$ កើន, $f'(x)<0 \implies$ ចុះ

បរិមា: $f'(x_0)=0$ ហើយប្តូរសញ្ញា $\implies$ មានបរិមាត្រង់ $x_0$

ភាពផត/ប៉ោង: $f''(x)>0 \implies$ ប៉ោង $\cup$, $f''(x)<0 \implies$ ផត $\cap$

ចំណុចបត់: $f''(x_0)=0$ ហើយប្តូរសញ្ញា $\implies I(x_0, f(x_0))$ ជាចំណុចបត់

៣. ស៊ីមេទ្រី

អនុគមន៍គូ $f(-x)=f(x)$: ឆ្លុះធៀបអ័ក្ស $oy$

អនុគមន៍សេស $f(-x)=-f(x)$: ឆ្លុះធៀបគល់ $O(0,0)$

ផ្ចិតឆ្លុះ $I(a,b)$: ផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(2a-x) + f(x) = 2b$

អ័ក្សឆ្លុះ $x=a$: ផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(2a-x) = f(x)$

y'' សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

១. សមីការលំដាប់ទី ១

ទម្រង់ $y' = f(x) \implies y = \int f(x)dx + c$

ទម្រង់ $y' + ay = 0 \implies y = A e^{-ax}$ ($A$ ជាថេរ)

ទម្រង់ $y' + ay = P(x) \implies$ ចម្លើយទូទៅ $y = A e^{-ax} + y_p$ (ដែល $y_p$ ជារាងចម្លើយពិសេស)

២. សមីការលំដាប់ទី ២ លីនេអ៊ែរអូម៉ូសែន

ទម្រង់: $ay'' + by' + cy = 0$

សមីការសម្គាល់: $ar^2+br+c=0 \ (\Delta = b^2-4ac)$

$\Delta > 0$ (ឫសពីរ $r_1, r_2$): $y = Ae^{r_1 x} + Be^{r_2 x}$

$\Delta = 0$ (ឫសឌុប $r_0$): $y = (Ax+B)e^{r_0 x}$

$\Delta < 0$ (ឫសកុំផ្លិច $\alpha \pm i\beta$): $y = (A\cos \beta x + B\sin \beta x)e^{\alpha x}$

🎲 ប្រូបាប និង ស្ថិតិ

១. គោលការណ៍រាប់

ហ្វាក់តូយ៉ែល: $n! = n(n-1)... \times 1$ $(0! = 1)$

ចំលាស់នៃ $n$ ធាតុ: $P(n, n) = n!$

ចំលាស់រង្វង់នៃ $n$ ធាតុ: $P_c(n) = (n-1)!$

ចំលាស់មានធាតុដដែល: $P = \frac{n!}{n_1! \times ... \times n_k!}$

រៀបយក $r$ ពី $n$: $A(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

បន្សំយក $r$ ពី $n$: $C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

លក្ខណៈបន្សំ: $C(n, r) = C(n, n-r)$, $C(n, 0) = 1$, $C(n, n) = 1$, $C(n, 1) = n$

២. ទ្រឹស្តីបទញូតុន

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k$

៣. ប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍

រូបមន្តគ្រឹះ: $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$

ប្រូបាបផ្ទុយ: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

ច្បាប់បូក: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

ព្រឹត្តិការណ៍ផ្តាច់គ្នា: $P(A \cup B) = P(A)+P(B)$ (បើ $A \cap B = \emptyset$)

ប្រូបាបមានលក្ខខណ្ឌ: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

ច្បាប់ប៊ែរនូយី (ជោគជ័យ $k$ ដង ក្នុង $n$ ដង): $P(X=k) = C(n,k) p^k q^{n-k}$ $(q=1-p)$

៤. ស្ថិតិ: រង្វាស់ទីតាំងកណ្តាល និង បែកខ្ញែក

មធ្យមនព្វន្ត (ទិន្នន័យមិនផ្តុំ): $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$

មធ្យមនព្វន្ត (មានប្រេកង់ $f_i$): $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$

មេដ្យាន $(Me)$: ជាតម្លៃកណ្តាលនៃទិន្នន័យ។
• $N$ សេស: ទីតាំង $\frac{N+1}{2}$
• $N$ គូ: មធ្យមនៃទិន្នន័យនៅទីតាំង $\frac{N}{2}$ និង $\frac{N}{2}+1$

ម៉ូត $(Mo)$: ជាតម្លៃទិន្នន័យដែលមានប្រេកង់ធំជាងគេ (កើតឡើងញឹកញាប់ជាងគេ)។

វ៉ារ្យង់: $S^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$

គម្លាតស្តង់ដារ: $S = \sqrt{S^2}$