វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 1-\sqrt{3}i$ ។
១. គណនា $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ និង $z_1 \times z_2$ ។
២. សរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1-z_2$ និង $z_1 \times z_2$ ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{\sqrt{x+2}-2}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin^2 x}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 3x}{x}$

III. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងស្បោងមួយមានប៊ូលសម ប៊ូលខៀវ និងប៊ូលក្រហម២។ គេចាប់យកប៊ូលម្តង៣ ក្នុងពេលតែមួយចេញពីស្បោងដោយចៃដន្យ។ គេសន្មតថាប៊ូលចាប់ដែលចាប់បាននិមួយៗជាសមប្រូបាប។
គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
A: "យ៉ាងតិចមានប៊ូលពណ៌ខៀវ១"
B: "ប៊ូលទាំង៣មានពណ៌ខុសគ្នា"

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

ក. $I = \int_1^2 (\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}+3)dx$
ខ. គេមានអនុគមន៍ $f(x) = \frac{2-x}{(x-1)^2}$ ។ បង្ហាញថា $f(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1}$ ។ គណនា $K = \int_{-1}^0 f(x)dx$ ។

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

A. គេមានវ៉ិចទ័រ $\vec{u} = \vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}, \vec{v} = -\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$ និង $\vec{w} = \vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$ ។ រកវ៉ិចទ័រ៖
ក. $\vec{u}+\vec{v}$
ខ. $\vec{w} \times \vec{u}$
គ. $\vec{w} \times \vec{v}$
B. រកសមីការប្លង់នៃអេលីបដែលមានកំពូលមួយជាចំណុចមានកូអរដោនេ $(-1,0)$ និងចំណុចកំពូលកណ្តាលមានកូអរដោនេ $(-3,0)$ និង $(3,0)$ ។ សង់អេលីបនេះ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'+2y = 2\frac{e^{-x}}{1+2e^x}$
ក. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាអនុគមន៍ $f$ ដែល $f(x)=e^{-2x}\ln(1+2e^x)$ ជាចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ។
ខ. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $\phi$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ លុះត្រាតែ $(\phi-f)$ ជាចម្លើយនៃ $(E'): y'+2y=0$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

A. គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $(0,+\infty)$ ដោយ $g(x) = x^2+\ln x$ ។
១. ក. បង្ហាញថា $g$ ជាអនុគមន៍កើនដាច់លើ $(0,+\infty)$ ។
ខ. គណនា $g(1)$ ។
២. ក. ទាញយកពីលទ្ធផលនៃលំហាត់ទី១ បញ្ជាក់សញ្ញាដែលខាងក្រោម៖ បើ $x\ge 1$ នោះ $x^2+\ln x \ge 1$ និង បើ $0 < x \le 1$ នោះ $x^2+\ln x \le 1$ ។
ខ. កំណត់សញ្ញានៃកន្សោម $x^2+\ln x - 1$ កាលណា $x$ នៅលើ $(0,+\infty)$ ។
B. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0,+\infty)$ ដោយ $f(x) = x+1-\frac{\ln x}{x}$ និងតាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់វាក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j})$ ។
១. សិក្សាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ (ដោយដឹងថា $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$) ។
២. បង្ហាញថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f$ គឺ $f'(x) = \frac{x^2+\ln x - 1}{x^2}$ ។
៣. ប្រើលទ្ធផលនៃសំណួរ A សិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ លើ $(0,+\infty)$ ។
៤. ក. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $\Delta$ មានសមីការ $y=x+1$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ត្រង់ $+\infty$ ។
ខ. សិក្សាទីតាំង $C$ ធៀបនឹង $\Delta$ និងបញ្ជាក់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $I$ រវាង $C$ និង $\Delta$ ។ សង់ $\Delta$ និង ក្រាប $C$ ។