វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១០

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 2} (x^2+\cos \frac{\pi x}{4})$
ខ. $\lim_{x\to -1} \frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$
គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin(x-\frac{\pi}{6})}{\sqrt{3}-2\cos x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x)=\frac{x^3-2x^2+3x-1}{x-1}, x \neq 1$ ។
ក. កំណត់តម្លៃ $a,b,c$ និង $d$ ដើម្បីឲ្យ $f(x)=ax^2+bx+c+\frac{d}{x-1}$ ។
ខ. គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ $I=\int_{-1}^0 f(x)dx$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$ ។
ក. គណនា $z^2$ រួចសរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
ខ. ទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos \frac{\pi}{8}$ និង $\sin \frac{\pi}{8}$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងអាងចិញ្ចឹមត្រីមួយមានត្រីពណ៌ក្រហម៥ និងត្រីពណ៌ស៣ក្បាល។ គេចាប់ត្រី២ក្បាលមកដាក់ក្នុងអាងថ្មីដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
A: ត្រីពណ៌ក្រហមទាំង២ក្បាល។
B: ត្រីពណ៌សទាំង២ក្បាល។
C: ត្រីមួយក្នុងមួយពណ៌។

V. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'+3y=3x-1$ ។
ក. ដោះស្រាយសមីការ $y''-2y'+3y=0$ ។
ខ. កំណត់តម្លៃ $a,b$ ដើម្បីឲ្យ $y_p=ax+b$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) កោនិក

ប៉ារ៉ាបូល $(P)$ មួយមានកំពូល $V(1,-2)$ និងកំណុំ $F(1,0)$ ។
ក. សរសេរសមីការស្តង់ដារនៃប៉ារ៉ាបូល $(P)$ ។
ខ. រកសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $(\Delta)$ នៃ $(P)$ ។
គ. សង់ក្រាបនៃប៉ារ៉ាបូល $(P)$ ។

VII. (២០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $A(-1,0,2), B(0,-1,1)$ និង $C(1,2,-1)$ ។
ក. រកវិចទ័រ $\vec{AB}$ និង $\vec{AC}$ ។
ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $(\alpha)$ កាត់តាមចំណុច $A, B$ និង $C$ ។
គ. គណនាក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ $ABC$ និងមាឌតេត្រាអ៊ែត $OABC$ ។

VIII. (៣០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ដែល $x \neq 0$ ដោយ $f(x)=x-\frac{e^x}{e^x-1}$ មានក្រាបតំណាង $(C)$ ។
ក. គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ និង $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $(C)$ ។
ខ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_1: y=x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ខាង $-\infty$ រួចសិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $d_1$ ។
គ. បង្ហាញថាចំពោះ $x \neq 0$ គេបាន $f(x)=x-1-\frac{1}{e^x-1}$ ។ គណនា $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ ។
ឃ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_2: y=x-1$ ជាសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ខាង $+\infty$ រួចសិក្សាទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $d_2$ ។
ង. គណនា $f'(x)$ រួចបង្ហាញថា $f'(x)>0$ ចំពោះ៖ $x \neq 0$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។
ច. គណនា $f(1)$ និង $f(-1)$ ។ សង់បន្ទាត់ $d_1, d_2$ និងក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j})$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្ទៃប្លង់ខ័ណ្ឌដោយក្រាប $(C)$ បន្ទាត់ $d_1$ និងបន្ទាត់ឈរដែលមានសមីការ $x=1$ និង $x=2$ ។ គេឲ្យ $\frac{e}{e-1}=1.6$ និង $\frac{1}{1-e}=-0.6$ ។