វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១១

I.ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = (\sqrt{6}-\sqrt{2})-(\sqrt{6}+\sqrt{2})i$ ។
1. គណនា $z^2$ ជាទម្រង់ពិជគណិត ។
2. សរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និង អាគុយម៉ង់នៃ $Z$ ។
3. គណនាឫសទី 3 នៃ $Z$ ។

II.សមីការឌឺផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y''-3y'+2y=0 \quad (E)$ ។ រកចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ បើគេដឹងថាអនុគមន៍ចម្លើយមានអតិបរមាសើ្ម $1$ ត្រង់ $x=1$ ។

III. គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^7-2x^5+1}{x^3-3x^2+2}$
ខ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{1-\cos 6x}}{\sqrt{2}(\frac{\pi}{3}-x)}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}{\sin^2 x}$

IV.អាំងតេក្រាល

គេមានអាំងតេក្រាល: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x \cos^4 x dx$ និង $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x \sin^4 x dx$ ។ គណនា $I+J; I-J$ រួចទាញរក $I$ និង $J$ ។

V.សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = -x-2+\frac{4e^x}{1+e^x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។
1. គណនា $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ កាលណា $x \to -\infty$ ។
2. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ គណនា $f'(0), f(0)$ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
3. បង្ហាញថាគល់ $0$ ជាចំណុចបត់ និងជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប $C$ ។
4. គណនា $f(3)$ ហើយសង់ក្រាប $C$ គេឲ្យ $(e^3=20)$ ។

VI.ធរណីមាត្រ

នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ដែលមានទិសដៅវិជ្ជមានមួយ គេមានចំណុច $A(0,0,1); B(-1,2,0)$ និង $C(2,1,-1)$ ។
ក. គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចបង្ហាញថា $A,B,C$ រត់មិនត្រង់ជួរ ។
ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $ABC$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $ABC$ ។
គ. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $L$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយកែងប្លង់ $ABC$ ។
ឃ. គណនា $(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC}$ រួចទាញរកមាឌចតុមុខ $OABC$ ។