វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១២

I.ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 1+i$ ។ គណនា $\cos \frac{5\pi}{12}$ និង $\sin \frac{5\pi}{12}$ ។

II. គណនាលីមីត

1. $\lim_{x\to 2} \frac{x^3+4x-16}{x^2+3x-10}$
2. $\lim_{x\to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin^2 x - 3\sin x + 1}{4\sin^2 x - 1}$
3. $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x}{x^2}$

III. គណនាអាំងតេក្រាល

1. $I = \int \frac{3x^2+5x-4}{(x-1)(x+1)^2}dx$
2. $J = \int \frac{3(x^2-2x+3)}{(x-1)(x+2)^2}dx$
3. $K = \int \cos^3 x dx$

IV.សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=4x^3-2x$ ។
1. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូស្យែល $y''-3y'+2y=0$ ។
2. បើ $g(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ជាចម្លើយពិសេសនៃសមីការ $(E)$ ចូរកំណត់ចំនួនពិត $a,b,c$ និង $d$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

V.សិក្សាអនុគមន៍ A

គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x)=\sqrt{3x+1}$ កំណត់លើ $[-\frac{1}{3}, +\infty)$ ។
1. កំណត់តម្លៃអប្បរមានៃ $f'(x)$ ចំពោះ $\forall x \in [1,5]$ ។
2. $\forall x \in [1,5]$ ចូរបង្ហាញថា $\frac{3}{8}x + \frac{13}{8} \le \sqrt{3x+1} \le \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$ ។

VI.សិក្សាអនុគមន៍ B

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ $y=f(x)=x+e^{1-x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។
ក. គណនា $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេត $L$ នៃក្រាប $C$ ។
ខ. បង្ហាញថា $f$ មានតម្លៃអប្បបរមាត្រង់ $x=1$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
គ. សង់ក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមួយ ។ យក $e=2.7$ ។
ឃ. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្ទៃប្លង់កំណត់ដោយក្រាប $C$ អាស៊ីមតូតទ្រេត $L$ បន្ទាត់ឈរ $x=1$ និង $x=2$ ។

VII.ធរណីមាត្រ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យបីចំណុច $A(-2,1,-3), B(1,2,3)$ និង $C(2,-2,1)$ ។
1. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $L$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយស្របនឹង $\vec{BC}$ ។
2. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ រកសមីការប្លង់ $ABC$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $ABC$ ។
3. រកមាឌនៃតេត្រាអ៊ែត $OABC$ ។