វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១៣

I.ចំនួនកុំផ្លិច

1. ដោះស្រាយសមីការ $z^2-2\sqrt{2}z+4=0 \quad (E)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ រកម៉ូឌុល និង អាគុយម៉ង់នៃឫសនីមួយៗរបស់សមីការ $(E)$ ។
2. សរសេរ $w=\left(\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{\sqrt{2}-i\sqrt{2}}\right)^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

II. គណនាលីមីត:

$A = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{1-\cos x}$
$B = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}$
$C = \lim_{x\to 1} \frac{x^2+x-2}{x^2-1}$

III.សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $2y''+3y'+y=0$ តាមលក្ខខណ្ឌដើម $y(0)=1, y'(0)=2$ ។

IV. គណនាអាំងតេក្រាល

$A = \int \frac{2x+7}{x^2-1}dx$
$B = \int_e^{e^2} \frac{dx}{x\ln x}$
$C = \int xe^x dx$

V.ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល ១៥ ដែលចែកជា ប៊ូលពណ៌ស ៧ និងសរសេរប៊ូលទាំង ៧ ប៊ូលខៀវ ៨ ប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន ៣ ។ គេចាប់ប៊ូលបីចេញពីក្នុងថង់ដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
A: ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌ស ។
B: ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌ក្រហមចំនួនពីរ និងបៃតងមួយ ។
C: ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌ខុសគ្នា ។

VI. អនុគមន៍

$f$ កំណត់ដោយ $y=f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ ហើយមានក្រាប $C$ ។
1. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ រួចបង្ហាញថាជាអនុគមន៍សេស ។
2. គណនាលីមីតចុងដែនកំណត់ រួចទាញរកអាស៊ីមតូតនៃអនុគមន៍ ។
3. គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ ។
4. សង់តារាងអថេរភាពនៃ អនុគមន៍ $f$ និងសង់ខ្សែកោង $C$ ។ គេឲ្យ $(e=2.7)$
5. ដោយប្រើក្រាប $(C)$ ចូរពិភាក្សាតាមតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $m$ នូវចំនួននិងសញ្ញានៃឫសសមីការ $\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=m$ ។

VII.ធរណីមាត្រ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ដែលមានទិសដៅវិជ្ជមានមួយ គេឲ្យបីចំណុច $A(3,1,4), B(-1,2,5), C(5,-2,3)$ ។
1. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និង សមីការឆ្លុះនៃបន្ទាត់ $(D)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $C$ និងមានវិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{AB}$ ។
2. រកសមីការប្លង់ $(P)$ ដែលមានវិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{AC}$ ហើយកាត់តាមចំណុច $B$ ។ រកសមីការស្វ៊ែ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។
3. គណនា $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចសរសេរសមីការប្លង់ $ABC$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $ABC$ ។
4. $M$ ជាចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $(D)$ និងប្លង់ $(P)$ គណនាកូអរដោនេនៃចំណុច $M$ ។