វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១៤

I.ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $A = (\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1)$ និង $B = \frac{x+iy}{1+i}$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។
1. សរសេរ $A^2$ ជាទម្រង់ពិជគណិត ហើយជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។
2. សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពិជគណិត ។ រកតម្លៃ $x,y$ ដោយដឹងថា $2\overline{B}-A^2=0$ ជាកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $B$ ។

II. គណនាលីមីតខាងក្រោម៖

1. $\lim_{x\to -1} \frac{2x^2-x-3}{x^3+2x^2+6x+5}$
2. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{x^2+x}$
3. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi-2x}{\cos x}$
4. $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x^2-1}-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2+2x-4}}$

III.អាំងតេក្រាល

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{x^3-2x^2+3x-1}{x-1}$ ដែល $x \neq 1$ ។
1. កំណត់តម្លៃ $a,b,c$ និង $d$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = ax^2+bx+c+\frac{d}{x-1}$ ។
2. គណនាអាំងតេក្រាលកំណត់ $I = \int_{-1}^0 f(x)dx$ ។

IV.សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

1. ដោះស្រាយសមីការ $(E): y''+5y'+6y=0$ ។
2. រកចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ បើគេដឹងថាបន្ទាត់ $(D): y=x-1$ ប៉ះក្រាបនៃចម្លើយត្រង់ $x=0$ ។

V.កោនិក

រកសមីការស្តង់ដារនៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្លុះស្របអ័ក្សអរដោនេ ហើយកាត់តាម៣ចំណុច $(-2,-3), (2,5)$ និង $(1,6)$ ។ កំណត់កូអរដោនេ កំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស រួចសង់ប៉ារ៉ាបូល ។

VI.សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x) = e^{2x}-2e^x+\frac{1}{2}x+1$ មានក្រាប $(C)$ ។
1. គណនា $\lim_{x\to -\infty} g(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} g(x)$ ។ រកសមីការបន្ទាត់ $(D)$ ជាអាស៊ីមតូតនៃ $(C)$ ។
2. បង្ហាញថា $g$ ជាអនុគមន៍កើន ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។
3. សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះ $(T)$ ទៅនឹងខ្សែកោង $(C)$ ត្រង់ $x=0$ ។
4. សង់ក្រាប $(T), (D)$ និង $(C)$ ក្នុងតម្រុយតែមួយ ។

VII.វុិចទ័រនុងលំហ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(0, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(2,0,1), B(3,1,5)$ និង $C(1,4,4)$ ។
1. គណនា $\vec{AB}$ និង $\vec{AC}$ ។
2. គណនា $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចគណនាក្រឡាផ្ទៃ $\Delta ABC$ ។
3. រកសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ បង្ហាញថាចំណុច $D(2,0,2)$ មិននៅក្នុងប្លង់ $(ABC)$ ។
4. រកចម្ងាយពីចំណុច $D$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ រួចគណនាមាឌតេត្រាអ៊ែត $ABCD$ ។
5. សរសេរសមីការស្វ៊ែ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។