វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១៥

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 2} \frac{x^3-2x^2-4x+8}{3x^2-4x-4}$
ខ. $\lim_{x\to -3} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{6+x}}{x+3}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 2x}{-5x^2}$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

នៅក្នុងថង់មួយមានឃ្លីស ៣ ឃ្លីក្រហម ៣ និងឃ្លីខៀវ ២។ គេចាប់យកឃ្លី ៣ ចេញពីថង់ក្នុងពេលតែមួយដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: "ចាប់បានឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ដូចគ្នា"
B: "ចាប់បានឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ខុសគ្នា"
C: "ចាប់បានឃ្លីមានពណ៌ខៀវយ៉ាងតិច ១"

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{2}+i\sqrt{2}$ និង $z_2 = 2(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6})$ ។
ក. សរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ពិជគណិត និងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
ខ. គណនាផលគុណ $z_1 z_2$ និងផលចែក $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
គ. ទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z_1^4$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

ក. $I = \int_0^1 (5x^4-4x+e^x)dx$
ខ. $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x - \sin^2 x)dx$
គ. $K = \int_{-1}^0 \frac{x^3-3x}{x^2-2}dx$ (ណែនាំ៖ អាចចែកពហុធាជាមុន)

V. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(F): -y''-5y'+6y=6x+1$ ។
ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E): -y''-5y'+6y=0$ ។ កំណត់ចម្លើយ $f$ នៃ $(E)$ ដែល $f(0)=-1$ និង $f'(1)=6e^{-6}$ ។
ខ. បង្ហាញថា $g$ ជាចម្លើយមួយនៃ $(F)$ នោះ $g-f$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការ $(F)$ ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) កោនិក

គេមានសមីការ $25x^2+9y^2=225$ ។
១. បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមកីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច និងកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ។
២. សង់អេលីបនេះក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ។

VII. (២៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $f(x) = -x-\frac{4\ln x}{x}$ មានក្រាប $C$ ។
១. សិក្សាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0^+$ និង $+\infty$ ។ បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_1: y=-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ។
២. គណនា $f'(x)$ ហើយសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ដោយដឹងថា $x^2+4-4\ln x > 0$ ចំពោះ $x>0$ ។
៣. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
៤. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $d_2$ ប៉ះនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $A$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ។
៥. សង់ក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $d_1, d_2$ ។ (យក $e=2.7, \frac{4}{e}=1.5$)