វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១៦

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to -1} \frac{x^3+x+2}{2x^2+3x+1}$
ខ. $\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{\sqrt{3}-\sqrt{1+x}}$
គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

នៅក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ូលចំនួន ១០ ដើម ដែលក្នុងនោះមានប៊ូលក្រហម ៤ និងប៊ូលខៀវ ៦។ គេចាប់យកប៊ូល ៣ ចេញពីប្រអប់នេះដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបដែល៖
A. "ចាប់បានប៊ូលខៀវទាំង ៣"
B. "ចាប់បានប៊ូលក្រហមមួយដើម និងប៊ូលខៀវពីរដើម"
C. "ចាប់បានប៊ូលក្រហមយ៉ាងតិចមួយដើម"

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-i$ និង $z_2=\sqrt{3}+i$ ។
១. គណនា $z_1+z_2, z_1-z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពិជគណិត។
២. សរសេរ $z_1, z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
៣. ទាញរកតម្លៃនៃ $z_1^4$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_{-1}^1 (3-4x-3x^2)dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2\cos^2 x - 1)dx$ ។
គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x)=\frac{1+2x}{x^2-5x+4}$ ។ បង្ហាញថា $f(x) = \frac{3}{x-4} - \frac{1}{x-1}$ ។ គណនា $K = \int_2^3 f(x)dx$ ។

V. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=2x$ ។
ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E_1): y''-3y'+2y=0$ កំណត់ចម្លើយនៃ $(E_1)$ ដែល $y(0)=-1$ និង $y'(0)=4$ ។
ខ. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $g(x)=ax+b$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។

VI. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ មានទិសដៅវិជ្ជមាន គេមានចំណុច $A(4,-2,0), B(1,2,2), C(2,-1,0)$ និង $D(2,-2,-1)$ ។
១. កំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(d)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A$ ហើយមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{CD}$ ។
២. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $B$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ $(CD)$ ។
៣. រកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ $(d)$ និងប្លង់ $(P)$ ។

VII. (១០ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x)=x^3-1+2\ln x$ (ចំពោះ $x>0$)។
១. រកដែនកំណត់ $D$ និងគណនាលីមីតត្រង់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។
២. គណនា និងសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។