វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១៧

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{3x^2-x-4}{1-x^2}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{5\sin x}{\sqrt{5}-\sqrt{5+x}}$
គ. $\lim_{x\to \pi} \frac{1-\cos^2 x}{\cos x + 1}$
ឃ. $\lim_{x\to \pi} \frac{1-\cos^2 x}{\sin 5x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1+i$ និង $z_2 = -1+i$ ។
ក. គណនាកន្សោម $A = \frac{z_1-1}{z_2}$ ។
ខ. សរសេរ $z_1, z_2, z_1+z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
គ. ទាញរកតម្លៃ $Z = (\frac{z_2}{z_1})^{2018}$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_0^3 [(2x+1)(x+3)]dx$ និង $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-2\cos^2 x)dx$ ។
គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}^*$ ដោយ $f(x) = \frac{-3x^2-5}{x(1+x^2)}$ ។ បង្ហាញថា $f(x) = \frac{2x}{1+x^2} - \frac{5}{x}$ ។ គណនា $K = \int_1^e f(x)dx$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងស្បោងមួយមានបាល់ ៣ ពណ៌៖ ក្រហម ៣, ស ២ និង ខៀវ ៤ ។ គេចាប់យកបាល់ម្តង ៣ ចេញពីស្បោងដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: "ចាប់បានបាល់ខៀវទាំង ៣"
B: "ចាប់បានបាល់ខៀវទាំង ៣ ឬ ក្រហមទាំង ៣"
C: "ចាប់បានបាល់ពណ៌សមួយយ៉ាងតិច"

V. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-6y'+8y=8x+10$ ។
ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E_1): y''-6y'+8y=0$ ។ កំណត់ចម្លើយពិសេសនៃ $(E_1)$ ដែល $y(0)=-1$ និង $y'(0)=4$ ។
ខ. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $g(x)=ax+b$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។

VI. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. គេឲ្យសមីការ $\left(\frac{2y-3x}{18}\right)\left(\frac{2y+3x}{2}\right) = 1$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះ ជាសមីការអ៊ីពែបូល។ រកកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកំណុំទាំងពីរ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃអ៊ីពែបូល រួចសង់អ៊ីពែបូល។
២. នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ នៃលំហ គេមានបីចំណុច $A(1,2,1), B(2,0,3), C(-1,2,2)$ ។
ក. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A$ និង $B$ ។
ខ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $ABC$ ។

VII. (១០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

A. គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $g(x)=x^3-1+2\ln x$ ។
១. សិក្សាទិសដៅអថេរភាពនៃ $g$ ។ គណនា $g(1)$ ។
២. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ រួចកំណត់សញ្ញានៃ $g$ ។