វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១៨

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 2x}{2x^2}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{\sin 5x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1-\sqrt{3}i$ ; $z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ និង $z_3 = 3(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3})$ ។
១. សរសេរ $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
២. គណនា $z_1 z_2$ ; $\frac{z_1}{z_2}$ ។
៣. គណនា $z_1 z_3$ រួចទាញរក អាគុយម៉ង់ និងម៉ូឌុល $z_1 z_3$ ។

III. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី ៩ ដែលមានលេខពី ១ ដល់ ៩ និងឃ្លីស ៤ ឃ្លីក្រហម ៥។ គេចាប់ឃ្លី ៣ ព្រមគ្នា។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: ចាប់បានឃ្លីលេខគូ ២
B: ចាប់បានឃ្លីពណ៌ខុសគ្នា
C: ចាប់បានឃ្លីដែលមានផលបូកលេខជាចំនួនសេស

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_0^2 (3x-1)^2 dx$ , $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2\sin^2 x - 1)dx$ ។
គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{2x+1}{x^2(x+1)}$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ដែល $x \neq 0, x \neq -1$ ។ គណនា $K = \int_1^2 f(x)dx$ ដើម្បីគណនាគេត្រូវបង្ហាញថា $f(x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x+1}$ ដែល $a,b,c$ ជាចំនួនពិតដែលត្រូវកំណត់។

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ មានទិសដៅវិជ្ជមាន គេមានបីចំណុច $M(2,4,1), N(3,0,2), P(3,3,5)$ ។
ក. គណនាប្រវែង $MN, MP$ និង $NP$ ហើយបង្ហាញថា $MNP$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។
ខ. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ កាត់តាម $M$ ហើយមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MP}$ ។
២. គេមានសមីការ $(5x+9y)^2 = 5(18xy+45)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះ ជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច និងកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ កំណុំទាំងពីរ និងសង់អេលីបនេះ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការ $(E): y''-3y'+2y=0$ ។ ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ រួចរកចម្លើយពិសេសមួយនៃ $(E)$ បើគេដឹងថាអនុគមន៍ចម្លើយមានអតិបរមាស្មើ ១ ត្រង់ $x=1$ ។

VII. (១០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

A: គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x)=1-x+e^x$ ។ ចូលគូសតារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។ រួចទាញរកសញ្ញានៃ $g(x)$ ។