វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី១៩

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}$
ខ. $B = \lim_{x\to 0} \frac{x^2-1+\cos^2 x}{x+\sin x}$
គ. $C = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\tan^3 x}{\cos x - \sin x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_0^1 \frac{2x^2+3x+2}{x+1} dx$
$J = \int_0^{\ln 6} \frac{e^x}{\sqrt{e^x+3}} dx$
$K = \int_1^e \frac{3x+2\ln x}{x} dx$

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z = \sqrt{2}+1+\sqrt{2-1}i$ (កែសម្រួល៖ $z=\sqrt{2}+i$) ។
ក. សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពិជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
ខ. ទាញរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z^3$ ។
គ. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^8$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): 2y''-3y'+y=0$ ។
ខ. រកចម្លើយ $g(x)$ មួយនៃសមីការ $(E)$ ដើម្បីឲ្យក្រាបតាងអនុគមន៍ $g$ ប៉ះនឹងបន្ទាត់ $d: y=-\frac{1}{2}x$ ត្រង់ចំណុច $O(0,0)$ ។

V. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី ៣ គ្រាប់គឺ $a, b, c$ ។ គេចាប់យកឃ្លីម្តង ១ គ្រាប់ចំនួនពីរដងចេញពីថង់ដោយដាក់ចូលវិញ។
ក. ចូរកំណត់លំហសំណាក $S$ និងព្រឹត្តិការណ៍៖
$A$: "ចាប់បានឃ្លី $a$ គ្រាប់ទាំងពីរ"
$B$: "ចាប់បានឃ្លី $b$ នៅលើកទី ១"

VI. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ មួយ គេមានចំណុច $A(1,2,3)$ និង $B(3,4,1)$ ។
ក. រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}$ និងគណនាប្រវែង $AB$ ។
ខ. រកសមីការស្វ៊ែ $S$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។
គ. រកសមីការប្លង់ $P$ កាត់តាមចំណុច $A$ និង $B$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $Q$ ដែលមានសមីការ $x+2y+z=3$ ។ (ណែនាំ $\vec{n_P} = \vec{AB} \times \vec{n_Q}$) ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{2x}{e^x-x}$ និងមានក្រាប $C$ ។
១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។
២. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។
៣. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
៤. រកសមីការបន្ទាត់ $d$ ប៉ះក្រាប $C$ ត្រង់ $O(0,0)$ ។
៥. គណនា $f(-1)$ និង $f(2)$ ។ សង់ $d$ និង $C$ ។