វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{x^2+2-3x}$
ខ. $\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^3-27}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{5\sin 5x}{x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = \sqrt{3}-i, z_2 = (1-\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})i$ និង $z_3 = -\frac{1}{2}$ ។
១. គណនា $z_1+z_2$ និង $(z_1+z_2) \times z_3$ ។
២. សរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច $z = (z_1+z_2)\times z_3$ ។
៣. ទាញរកតម្លៃ $z^3$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_0^2 (6x^2-3x-1)dx$ និង $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-2\sin^2 x)dx$ ។
គេមាន $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}^*$ ដោយ $f(x) = -2(\frac{x+1}{x^2})$ ។ បង្ហាញថា $f(x) = -\frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}$ ។ គណនា $K = \int_1^e f(x)dx$ $(\ln e = 1)$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល ១០ ដែលចែកជា ៣ ពណ៌គឺ ក្រហម ស និងខៀវ។ គេចាប់យកប៊ូល ៣ ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: ប៊ូលទាំង៣មានពណ៌ក្រហម។
B: ប៊ូលទាំង៣មានពណ៌ខុសគ្នា។
C: ប៊ូលទាំង៣មានពណ៌ក្រហមឬស។

V. (២៥ ពិន្ទុ) កោនិក

១. គេមានសមីការ $18x^2+10y^2=90$ ។
ក. បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច និងកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ។
ខ. សង់អេលីបនេះ។
២. នៅក្នុងតម្រុយ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $M(2,3,4), N(3,5,6), P(4,6,7)$ និង $Q(3,4,5)$ ។
ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{MN}$ និង $\vec{QP}$ ។
ខ. ទាញបង្ហាញថាចតុកោណ $MNPQ$ ជាប្រលេឡូក្រាម។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+2y'-3y=0$ ។
ខ. រកចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y(0)=1, y'(1)=e$ ។ ($e$ ជាចំនួននេពែរដែល $\ln e = 1$)

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x+2-\frac{4e^x}{e^x+3}$ ។ តាង $C$ ក្រាបរបស់វាក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j})$ ។
១. ក. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។
ខ. សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y=x+2$ ។
២. ក. ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x, f'(x) = (\frac{e^x-3}{e^x+3})^2$ ។
ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ លើ $\mathbb{R}$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
៣. ក. តើគេអាចថាអ្វីចំពោះបន្ទាត់ $d_2$ ទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $I$ ដែលមានអាប់ស៊ីស $\ln 3$ ។
ខ. សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_2$ ។
៤. ក. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_3$ ទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុចដែលមានអាប់ស៊ីសសូន្យមានសមីការ $y=\frac{1}{4}x+1$ ។
ខ. ដោយសន្មត់ចំណុច $I$ ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប $C$ និងគណនាតម្លៃប្រហែលនៃ $\ln 3$ ចូរគូសក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $d_1, d_2, d_3$ ។