វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២០

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x}$
គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x)\tan x$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ២ គ្រាប់ព្រមគ្នា ១ ដង។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: "គ្រាប់ទាំងពីរចេញលេខដូចគ្នា"
B: "ផលបូកលេខលើគ្រាប់ទាំងពីរស្មើ ៧"
C: "ផលគុណលេខលើគ្រាប់ទាំងពីរជាចំនួនគូ"

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $Z = \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$ ។
១. សរសេរ $1+i\sqrt{3}$ និង $1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
២. សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងជាទម្រង់ពិជគណិត។
៣. ទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos\frac{\pi}{12}$ និង $\sin\frac{\pi}{12}$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

១. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^1 x e^{2x} dx$ (ប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក)។
២. គណនា $J = \int_0^{\pi/2} \sin^3 x dx$ ។

V. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+4y=0$ ។ រកចម្លើយពិសេស $y=f(x)$ មួយនៃ $(E)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $f(0)=1$ និង $f'(0)=2\sqrt{3}$ ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) កោនិក

ប៉ារ៉ាបូល $(P)$ មានកំពូលនៅគល់តម្រុយ $O(0,0)$ និងមានអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្ស $(Ox)$ ។
១. រកសមីការស្តង់ដារនៃ $(P)$ បើវាឆ្លងកាត់ចំណុច $M(2, 4)$ ។
២. រកកូអរដោនេកំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិស។

VII. (២៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f(x) = x+1+\frac{1}{x-1}$ មានក្រាប $(C)$ ។
១. រកដែនកំណត់ និងគណនាលីមីតចុងដែន។
២. រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $(C)$ ។
៣. សិក្សាអថេរភាព និងសង់តារាងអថេរភាព។
៤. រកចំណុចប្រសព្វរវាង $(C)$ និងអ័ក្សទាំងពីរ។
៥. សង់ក្រាប $(C)$ ។