វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២២

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{e^{x-1}-1}{x-1}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x \sin x}$
គ. $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{2x-1}{\sqrt{x^2+1}}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមាន $z = -1+i\sqrt{3}$ ។
១. គណនាម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។
២. សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
៣. រកឫសទី ២ នៃ $z$ ។

III. (១០ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

គណនាផ្ទៃក្រឡាដែលខណ្ឌដោយក្រាប $y=x^2-2x$ និងអ័ក្ស $(Ox)$ លើចន្លោះ $[0, 3]$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

សមីការ $(E): y''+2y'+y=0$ ។
១. បង្ហាញថា $y=(Ax+B)e^{-x}$ ជាចម្លើយទូទៅ។
២. រកចម្លើយឃើញថា $y(0)=1, y'(0)=0$ ។

V. (១០ ពិន្ទុ) កោនិក

រកសមីការអេលីបដែលមានកំណុំ $F(2,0), F'(-2,0)$ និងប្រវែងអ័ក្សធំស្មើ $6$ ។ សង់អេលីបនោះ។

VI. (១៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

គេមានបន្ទាត់ពីរ $(L_1): \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$ និង $(L_2): \frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}$ ។
១. សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ទាំងពីរ។
២. បង្ហាញថាបន្ទាត់ទាំងពីរមិនកាត់គ្នា និងមិនស្របគ្នា (ខ្វែងគ្នា)។

VII. (២៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

សិក្សាអនុគមន៍ $f(x) = xe^{1-x}$ ។
១. គណនាលីមីតត្រង់ $\pm\infty$ ។ (ដឹងថា $\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{e^x}=0$) ។
២. គណនា $f'(x)$ ។ បង្ហាញថា $f$ មានអតិបរមាមួយ។
៣. សិក្សាភាពផតប៉ោង និងរកចំណុចបត់។
៤. សង់ក្រាប $(C)$ ។