វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២៣

I. (១៥ ពិន្ទុ)

១. គណនាលីមីត $A = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{1-\cos 2x}$ ។
២. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^1 \frac{x}{x^2+1}dx$ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

គណៈកម្មការមួយមានសមាជិក ៥ នាក់ ជ្រើសរើសចេញពីមនុស្ស ១០ នាក់ (ប្រុស ៦, ស្រី ៤)។ រកប្រូបាបដែលគណៈកម្មការនោះមានប្រុស ៣ នាក់ និងស្រី ២ នាក់។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមាន $z_1 = 2+2i$ និង $z_2 = 1-i$ ។
១. គណនា $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពិជគណិត។
២. សរសេរ $z_1, z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
៣. ទាញរក $\cos \frac{3\pi}{4}$ និង $\sin \frac{3\pi}{4}$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការ $y''-4y'+4y=0$ ។ រកអនុគមន៍ចម្លើយ $g(x)$ ដែលក្រាបរបស់វាប៉ះនឹងបន្ទាត់ $y=x$ ត្រង់ចំណុចគល់តម្រុយ $O$ ។

V. (១៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

ក្នុងលំហមានតម្រុយ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមាន $A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)$ ។
១. សរសេរសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។
២. គណនាមាឌតេត្រាអ៊ែត $OABC$ ។

VI. (៣០ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f(x) = \ln x - \frac{1}{x}$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ។
១. គណនាលីមីតចុងដែន។
២. គណនា $f'(x)$ និងសង់តារាងអថេរភាព។
៣. គណនា $f(1)$ ។ ទាញរកសញ្ញានៃ $f(x)$ ។
៤. សង់ក្រាប $(C)$ ។