វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២៥

I. (១០ ពិន្ទុ) គណនាអនុគមន៍ និងដេរីវេ

គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x) = \frac{e^x}{ax+b}$ ដែល $a$ និង $b$ ជាចំនួនពិត។
ក. គណនា $f'(x)$ និង $f''(x)$ ។
ខ. កំណត់ $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ $f$ មានអប្បបរមាស្នើ $e$ ត្រង់ $x=1$ ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z = \frac{2(-1+i\sqrt{3})}{1+i\sqrt{3}}$
ក. សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពិជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
ខ. សរសេរ $z' = 1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $\frac{z'}{z}$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \frac{5x^2+20x+6}{x^3+2x^2+x}$ ។
ក. សរសេរ $f(x)$ ជាផាង $f(x) = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$ ដែល $A, B, C$ ជាចំនួនថេរដែលត្រូវកំណត់។
ខ. គណនា $\int \frac{5x^2+20x+6}{x^3+2x^2+x} dx$ ។

IV. (២០ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $y = f(x) = \frac{x+\ln x}{x}$ និងមានខ្សែកោង $(C)$ ។
ក. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ។ បង្ហាញថា $f$ មានតម្លៃអតិបរមួយ ហើយគណនាតម្លៃអតិបរមានោះ។
ខ. គណនាលីមីត $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ហើយកំណត់សមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងដេកនៃខ្សែកោង $(C)$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ & សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

១. $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = (1-x)e^x - 1$ ។ គណនា $f'(x)$ ។
២. $g$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $g(x) = (2-x)e^x + 2-x$ ។
ក. គណនា $\lim_{x\to -\infty} g(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} g(x)$ គណនា $g'(x)$ ។
ខ. ដោយប្រើលទ្ធផលដែលបាននៅសំណួរ (១) ចូរសិក្សាសញ្ញានៃ $g'(x)$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។
គ. បង្ហាញថាខ្សែកោង $(C)$ តាងអនុគមន៍ $g$ មានបន្ទាត់ $(D): y=2-x$ ជាអាស៊ីមតូតកាលណា $x \to -\infty$ ។
ឃ. កំណត់សមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងខ្សែកោង $(C)$ ដែលស្របនឹង $(D)$ ។