វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២៦

I. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការ និងចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យសមីការ $(E): x^2+ax+b=0$ ដែល $a, b \in \mathbb{R}$ ។
១. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $x_1 = 1+i$ ជាឫសនៃសមីការ $(E)$ ។
២. រកឫស $x_2$ មួយទៀតនៃសមីការ $(E)$ ។ ទាញបង្ហាញថា $Z = (\frac{x_1}{x_2})^{2014}$ ជាចំនួនពិត។

II. (១៥ ពិន្ទុ) កោនិក

កំណត់ចំនួនពិត $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឲ្យខ្សែកោង $P$ តាងអនុគមន៍ $f(x)=ax^2+bx+c$ និងខ្សែកោង $(c)$ តាងអនុគមន៍ $g(x)=x^3$ ប៉ះគ្នាត្រង់ $M(1,1)$ និងប្រសព្វគ្នាត្រង់ $N(-3,-27)$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី ៣ ពណ៌គឺ ក្រហម ខៀវ និងបៃតង។ គេចាប់យកឃ្លី ៤ គ្រឿង។
១. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីគ្រប់ប្រភេទ។
២. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លីតែមួយប្រភេទ។
៣. រកប្រូបាបដែលចាប់បានឃ្លី ៣ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'-4y=2\cos 2x$ ។
១. រកចម្លើយទូទៅ $y_h$ នៃសមីការ $y''-2y'-4y=0$ ។
២. កំណត់ $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $y_p = a\cos 2x + b\sin 2x$ ជាចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E)$ ។
៣. បង្ហាញថា $y=y_h+y_p$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។

V. (៤០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(0,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេឲ្យបីចំណុច $A(1,1,0), B(0,2,2)$ និង $C(1,-2,3)$ ។
១. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញថាចំណុច $A, B, C$ មិនស្ថិតលើបន្ទាត់តែមួយ។
២. រកសមីការប្លង់ $P$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A, B$ និង $C$ ។
៣. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $L$ ដែលកាត់តាមចំណុច $D(1,-2,0)$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $P$ ។