វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២៧

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z = \frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{\sqrt{2}-i\sqrt{2}}$ និង $W = \cos\alpha + i\sin\alpha$ ដែល $\alpha \in \mathbb{R}$ ។
១. សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពិជគណិត។
២. សរសេរ $Z^4$ ជារាង $a+bi$ ។ គណនា $\alpha$ បើ $W=Z^4$ ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការ និង អាំងតេក្រាល

គេឲ្យសមីការដឺក្រេទីពីរ $ax^2+bx+c=0$ ដែលមានមេគុណលេខបំពេញលក្ខខណ្ឌ $2a+3b+6c=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសយ៉ាងតិចមួយនៅចន្លោះ $[0, \frac{2}{3}]$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ភាពជាប់នៃអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x) = \begin{cases} 3+x & ; x \le a \\ x^2+1 & ; x > a \end{cases}$ កំណត់ចំនួនពិត $a$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ $x=a$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y''-y'-2y=0$ ។
១. កំណត់ចម្លើយលើ $\mathbb{R}$ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។
២. កំណត់ចម្លើយនៃ $g$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $g(0)=3$ និង $g'(0)=0$ ។

V. (១០ ពិន្ទុ) កោនិក

ប្លង់មួយកាត់តាមសមីការអេលីប $4x^2+6y^2-16x+12y+10=0$ ជាទម្រង់ស្តង់ដារ រួចរកផ្ចិត កំពូល កំណុំរបស់អេលីប។

VI. (៣០ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x+3-2e^{-x}$ និង $(C)$ ជាខ្សែែកោងតាងអនុគមន៍ $f$ ។
១. សិក្សាលីមីតនៃ $f$ កាលណា $x$ ខិតជិត $+\infty$ និង $-\infty$ ។
២. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(D)$ មានសមីការ $y=x+3$ ជាអាស៊ីមតូតនៃខ្សែកោង $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងធៀបរវាងខ្សែែកោង $(C)$ និងបន្ទាត់ $(D)$ ។
៣. គណនា $f'(x)$ ។ ទាញបញ្ជាក់ថា $f$ ជាអនុគមន៍កើន។
៤. សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
៥. សង់ខ្សែកោង $(C)$ និងបន្ទាត់ $(D)$ ។