វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២៨

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z_1 = -1+i\sqrt{3}$ និង $Z_2 = 1+i$ ។
១. សរសេរ $Z = \frac{Z_1}{Z_2}$ ជាទម្រង់ពិជគណិត។
២. សរសេរ $Z_1$ និង $Z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចកម្ពស់ ផលចែក $Z_1/Z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
៣. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos \frac{5\pi}{12}$ និង $\sin \frac{5\pi}{12}$ ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ មួយលើចន្លោះ $[0, \frac{\pi}{4}]$ ដោយ $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ ។
១. កំណត់ $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $\frac{1}{\cos x} = \frac{a\cos x}{1+\sin x} + \frac{b\cos x}{1-\sin x}$ ។
២. គណនា $I = \int_0^{\pi/4} f(x) dx$ ។

III. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លី ៤ គឺឃ្លីក្រហមមួយ ឃ្លីបៃតងមួយ ឃ្លីខៀវមួយ និងឃ្លីលឿងមួយ។ គេចាប់ជាបន្តបន្ទាប់នូវឃ្លីដោយយកហើយដាក់ចូលវិញ។
១. រកចំនួនករណីដែលអាចចូលបានពីការចាប់នេះ។
២. សន្មតថា $A$ ជាព្រឹត្តិការណ៍ទាញបានបន្តបន្ទាប់នូវឃ្លីមានពណ៌ខុសគ្នា។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+2y'+y=x^2+2x-2$ ។
១. កំណត់អនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី ២ $g$ ដែលជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។
២. ដោះស្រាយសមីការ $(F): y''+2y'+y=0$ ។
៣. រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើចន្លោះ $]0, +\infty[$ ដោយ $f(x) = 2x\ln x - 4x$ ហើយតាងដោយខ្សែកោង $(C)$ ។
១. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $0^+$ និង $+\infty$ ។
២. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ និងសិក្សាសញ្ញា $f'$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
៣. រកកូអរដោនេចំណុចរវាងខ្សែកោង $(C)$ ជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស។
៤. សង់ក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។