វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី២៩

I. (១០ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

១. គេឲ្យ $Z = 1-i\sqrt{3}$ ។ ចូរសរសេរ $Z$ និង $Z^{2015}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
២. បើ $U=x+iy$ និង $Z_1=a+bi$ ។ ចូរគណនា $x$ និង $y$ ជាអនុគមន៍នៃ $a$ និង $b$ ដែល $U = Z_1^2 + iZ_1 - \frac{1}{2}$ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) អនុគមន៍ប្រភាគ

គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x) = \frac{2x+5}{(x+2)(x+3)}$ ; $x \neq -2, x \neq -3$ ។
១. សរសេរអនុគមន៍ $f$ ជាអាំង $f(x) = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x+3}$ ; $a,b$ ជាចំនួនដែលត្រូវរក។
២. គណនា $y', y'', y''', y^{(4)}$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) បញ្ហាអតិបរមា (មាឌ)

គេធ្វើប្រអប់មួយរាងប្រលេពីប៉ែតកែង ដែលបាតទាំងពីរជាការេ ហើយមានមាឌ $250cm^3$ ។ តម្លៃសម្ភារៈសម្រាប់ធ្វើបាតទាំងពីរថ្លៃ $400$ រៀល/$1cm^2$ និងសម្រាប់ធ្វើមុខខាងថ្លៃ $200$ រៀល/$1cm^2$ ។ រកវិមាត្រនៃប្រអប់នោះ ដើម្បីឲ្យការចំណាយលើថ្លៃសម្ភារៈអស់ប្រាក់តិចបំផុត។ រកប្រាក់អប្បបរមាដែលចំណាយសម្រាប់ធ្វើប្រអប់នោះ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-11y'+30y=0$ ។
២. កំណត់ចម្លើយ $f$ នៃ $(E)$ ដោយដឹងថា ខ្សែែកោង $(C)$ តាង $f$ កាត់តាមចំណុច $A(0,1)$ និងត្រង់ចំណុចនេះ មានបន្ទាត់ប៉ះប្របនឹងបន្ទាត់មានសមីការ $y=3x-3$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ មួយកំណត់ដោយ $g(x) = ax-4+\frac{1}{4}\ln x$ មានក្រាប $(C)$ ។
១. កំណត់តម្លៃ $a$ ដើម្បីឲ្យក្រាប $(C)$ តាង $g$ កាត់តាមចំណុច $A(1, -3)$ ។
២. រកលីមីតនៃ $g$ ត្រង់ចុងដែនកំណត់។ ទាញរកអាស៊ីមតូតនៃ $g$ ។
៣. សិក្សាអថេរភាពនៃ $g$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $g$ ។
៤. បង្ហាញថាសមីការ $g(x)=0$ មានឫសមួយលើចន្លោះ $[3, 4]$ ។
៥. សង់ខ្សែកោង $(C)$ ។