វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣

I. គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{x^3-x^2+x-1}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{-x}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{\sin x}$

II. ប្រូបាប

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សចំនួន ១០ នាក់ ដែលក្នុងនោះមាន ៤ នាក់ជាសិស្សស្រី និង ៦ នាក់ជាសិស្សប្រុស។ គេរៀបចំសិស្សទាំង ១០ នាក់នោះជាក្រុម ក្នុងមួយក្រុមមាន ៤ នាក់ដោយចៃដន្យទៅប្រកួតជាមួយក្រុមសិស្សថ្នាក់ដទៃ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែស្រី។
B: ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែប្រុស។
C: ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបាន 50% ជាសិស្សប្រុស។

III. ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 6(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4})$ ។
ក. សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
ខ. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z_1^3$ ។
គ. សរសេរផលគុណ $z_1 \times z_2$ ជាទម្រង់ពិជគណិត។

IV. ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

១. នៅក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $A(-2,1,0), B(0,1,1), C(1,2,2)$ និង $D(0,3,-4)$ ។
ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}, \vec{BC}, \vec{BD}$ និង $\vec{CD}$ ។
ខ. គណនាប្រវែង $AB, AC, AD, BD$ និង $CD$ ។ ទាញបញ្ជាក់ថា $ABD$ និង $ACD$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់ $A$ ។
២. គេមានសមីការ $9y^2-16x^2=144$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអ៊ីពែបូល។ រកអ័ក្សដេកនៃកំពូលទាំងពីរ និងកំណត់ទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូល។

V. គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_0^3 (x-2+3x^2)dx$, $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \cos x)dx$ និង $K = \int_0^1 \frac{x^3+(x+1)^2}{x^2+1}dx$ ។

VI. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

១. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=0$ ។
២. រកចម្លើយពិសេសមួយនៃ $(E)$ ដែល $y(0)=1$ និង $y'(1)=2e^2$ ។

VII. សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x + \frac{1-3e^x}{1+e^x}$ ។ តាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់វាក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{k})$ ។
១. បង្ហាញថា $f(x) = x+1-\frac{4e^x}{1+e^x}$ និងគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ ។ ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y=x+1$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ត្រង់ $-\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ។
២. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ $d_2$ ដែលមានសមីការ $y=x-3$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ត្រង់ $+\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_2$ ។
៣. ក. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ និងបង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x, f'(x) = (\frac{e^x-1}{e^x+1})^2$ ។
ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ សង់ក្រាប $C$ និងអាស៊ីមតូត $d_1, d_2$ របស់វា។