វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣០

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

១. កំណត់ម៉ូឌុលនិងអាគុយម៉ង់នៃ $W = (\frac{1+\sqrt{3}i}{1+i})^{10}$ ។
២. រក $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $A=B$ បើ $A=(a+i)(b+i)$ និង $B=\frac{(1+3i)(3+3i)}{1+i^{2015}}$ ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) លីមីត និង ប្រូបាប

១. គណនា $A = \lim_{x\to+\infty} 12x (\ln \frac{4x+1}{x} - \ln 4)$ និង $B = \lim_{x\to -1} \frac{1+x}{\sqrt{x^2+8}+3}$ ។
២. សិស្សមួយក្រុមមានគ្នា 12 នាក់ក្នុងនោះមានស្រី 4 នាក់និងប្រុស 8 នាក់ បានឈរតម្រង់ជួរគ្នា ។
ក/ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$: "សិស្សឈរមុខបង្អស់ជាស្រី"
ខ/ $B$: "សិស្សស្រីទាំងអស់ឈរជាប់គ្នា", $C$: "សិស្សប្រុសទាំងអស់ឈរជាប់គ្នា" ។

III. (១០ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

រកចំនួនពិត $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = a + \frac{be^x}{e^x+2} + \frac{ce^x}{(e^x+2)^2}$ បើយើងដឹងថា $f(x) = \frac{1}{(e^x+2)^2}$ ។ រួចគណនា $I = \int_0^1 f(x)dx$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y''-6y'+9y=0 \quad (E); y''-6y'+9y=-4x \quad (E')$ ។
១. រកចម្លើយសមីការនៃ $(E)$ បើក្រាបនៃចម្លើយនេះប៉ះបន្ទាត់ $(d): y=-2x+5$ ត្រង់ $x=0$ ។
២. រកចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $y=ax+b$ ជាចម្លើយមួយនៃ $(E')$ ។

V. (១០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ក្នុងលំហមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(1,1,2)$ ; ប្លង់ $(P): x+y-2z+2=0$ និងបន្ទាត់ $(L): x=2+t, y=1+t, z=-2t; t \in \mathbb{R}$ ។
១. បង្ហាញថាប្លង់ $(P)$ កាត់តាមចំណុច $A$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ $(L)$ ។
២. រកអក្សរនៃនៃចំណុច $B, C, D$ ដែលជាចំណុចប្រសព្វរវាងប្លង់ $(P)$ ជាមួយអ័ក្ស $ox, oy, oz$ ។ គណនា $\vec{DB}.\vec{DC}$ រួចគណនារង្វាស់ $DB$ និង $DC$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $y=f(x)=x-2+2e^{-\frac{x}{2}}$ មានក្រាប $(C)$ ។
១. រកដែនកំណត់ រួចគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ចុងដែន និងទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។
២. គណនា និងសិក្សាសញ្ញា $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
៣. សិក្សាទីតាំងរវាងក្រាប $(C)$ ធៀបនឹងអាស៊ីមតូតទ្រេត ។ សង់ក្រាប $(C)$ ។
៤. គណនាក្រឡាផ្ទៃផ្នែកប្លង់ខ័ណ្ឌដោយក្រាប $(C)$ អាស៊ីមតូតទ្រេត និងបន្ទាត់ឈរ $x=1; x=2$ ។