វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣១

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $Z = (\sqrt{3}+i\sqrt{3})(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$ ។
១. សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពិជគណិត។
២. សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
៣. ទាញរកតម្លៃប្រាកដនៃ $\cos \frac{7\pi}{12}$ និង $\sin \frac{7\pi}{12}$ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) ភាពជាប់នៃអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $\begin{cases} f(x) = x-2+\frac{2}{\ln x} & ; x>0, x \neq 1 \\ f(0)=m \end{cases}$ គណនា $\lim_{x\to 0} f(x)$ ។ ទាញរកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ខាងស្តាំត្រង់ $x=0$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x + \sin x}$ ។ កំណត់ $A$ និង $B$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = A + B(\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x})$ ។ រួចគណនា $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងកាបូបសិស្សម្នាក់មានប៊ិចក្រហម 4 និងប៊ិចខៀវ 6 ។ សិស្សនោះលូកយកប៊ិចម្តងមួយចំនួនពីរដង ចេញពីកាបូបដោយមិនដាក់ចូលវិញ។
១. រកចំនួនករណីដែលអាចចូលបានពីការចាប់នេះ។
២. សន្មតថា $A$ ជាព្រឹត្តិការណ៍ទាញបានប៊ិចក្រហមទាំងពីរ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ។
៣. សន្មត $B$ ជាព្រឹត្តិការណ៍ទាញបានយ៉ាងតិចប៊ិចក្រហមមួយ ។ គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x>1$ ដោយ $f(x)=x-1-2\ln(1-\frac{1}{x})$ និងមានក្រាបតំណាង $(C)$ ។
១. គណនា $f'(x)$ រួចបង្ហាញថា $f$ មានអប្បបរមាមួយ ។ គណនាតម្លៃអប្បបរមានោះ ($\ln 2 = 0.7$)
២. គណនា $\lim_{x\to 1^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកអាស៊ីមតូតនៃ $(C)$ ។
៣. គូសតារាងអថេរភាព និងសង់ខ្សែកោង $(C)$ តាងអនុគមន៍ $f$ ។
៤. បង្ហាញថាសមីការ $f(x)=3$ មានឫសតែមួយគត់នៅចន្លោះ $[2, +\infty[$ ។