វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣២

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

១. គេឲ្យ $z_1 = 1-i, z_2 = 4i, z_3 = \sqrt{2}$ ។
ក. គណនា $z_1+z_2, z_2-z_3, z_1z_3, \frac{z_1}{z_2}$
ខ. សរសេរ $z_1z_3, \frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $(\frac{z_1}{z_2})^{2015}$ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) ភាពជាប់

កំណត់តម្លៃ $a$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2x^2-4}-2}{x^2-4}, x>2 \\ ax^2+1, x \le 2 \end{cases}$ ជាប់ត្រង់ $2$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

គេឲ្យអនុគមន៍ $f(x) = \frac{3x^2-3x+5}{(x-2)^2(x+1)}$
ក. សរសេរ $f(x)$ ជាផាង $\frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$
ខ. គណនា $\int_0^1 f(x)dx$

IV. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'-2y=3e^{3x}$
ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$
ខ. រកចម្លើយនៃ $(E)$ បើ $y(0)=2$

V. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

កោះត្រល់មួយមាន 5 ឆ្នេរ ។ ឧបមាថា ភ្ញៀវ 150 សន្និគ្រោះទៅកម្សាន្តនៅទីនោះ ។ បើអ្នកបានទិញឆ្នោត 10 សន្លឹក រកសំណាងរបស់អ្នកនឹងទទួលរង្វាន់តាមករណីដូចខាងក្រោម៖
ក. គ្មានរង្វាន់?
ខ. យ៉ាងហោចបានរង្វាន់មួយ?
គ. បានរង្វាន់បីគាត់?
ឃ. បានគ្រប់ 5 រង្វាន់?

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យខ្សែែកោង $(C): y=f(x)=\frac{-2\ln x}{x}$
ក. រកដែនកំណត់នៃ $f(x)$ រួចគណនាលីមីតត្រង់ចុងដែនកំណត់។
ខ. ទាញបញ្ជាក់សមីការអាស៊ីមតូត ដេក និងឈរនៃក្រាប $(C)$ ។
គ. គណនាដេរីវេទី ១ នៃ $f(x)$ រួចសិក្សាសញ្ញា $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពតាមអនុគមន៍ $f(x)$ ។ ទាញបញ្ជាក់ថាខ្សែែកោងមានបរមាមួយ។
ឃ. រកចំណុចប្រសព្វរវាងខ្សែកោង $(C)$ និងអាស៊ីមតូតដេក។
ង. សង់ក្រាប $(C)$ ។