វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣៣

I. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការចំនួនកុំផ្លិច

1. ដោះស្រាយសមីការ $z^2+(1+\sqrt{3})z+2+\sqrt{3}=0$ ក្នុងសំណុំកុំផ្លិចដោយសរសេរឫសជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
2. សរសេរ $W=\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{8}\sqrt{\log_5 \frac{1}{125}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $W^{2016}$ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

គេឲ្យ $f(x) = \frac{3e^x-1}{e^x+1}$ និង $g(x) = -x+4\ln(e^x+1)$ ។ ចូរស្រាយបញ្ជាក់ថា $g(x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)$ ។ រួចគណនា $I = \int_0^1 \frac{3e^x-1}{e^x+1} dx$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+9y=-6\cos 3x$ និង $(F): y''+9y=0$ ។
1. ចូររកអនុគមន៍ $g$ មួយមានទម្រង់ $g(x) = x(a\cos 3x + b\sin 3x)$ ដែលជាចម្លើយមួយនៃ $(E)$ ។
2. ស្រាយថាបើ $f(x)$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ នោះគេបាន $f(x)-g(x)$ ជាចម្លើយនៃ $(F)$ ។
3. ដោះស្រាយសមីការ $(F)$ រួចទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ $(E)$ ។
4. រកចម្លើយពិសេស $(E)$ បើដឹងថា $f(\frac{\pi}{3})=-1; f'(0)=3$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

គេមានមេឃ្លា $SOLEX A, B, C$ ដែលមានកូនសោររៀងគ្នាជំនួន 6, 4, 3 ។ គេដាក់កូនសោរទាំងនោះក្នុងប្រអប់រួចគេចាប់យកកូនសោរ 3 ដោយចៃដន្យពីក្នុងប្រអប់ ។ រកប្រូបាបដែលចាប់បានកូនសោរ៖
ក/ របស់សោរទាំងបី ;
ខ/ របស់សោរតែមួយ ;
គ/ របស់សោរ $A$ មួយយ៉ាងតិច;
ឃ/ របស់សោរ $C$ ពីរយ៉ាងច្រើន។

V. (២០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,0,-2); B(0,2,0); C(0,0,3)$
1. សង់ចំណុចទាំងបីនេះ។ កំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងសមីការឆ្លុះនៃបន្ទាត់ $(D)$ ដែលកាត់ចំណុច $A$ ហើយស្រប $\vec{u}=(2,-1,3)$ ។
2. កំណត់សមីការប្លង់ $(ABC)$ ។ គណនាផ្ទៃត្រីកោណ $ABC$ និងគណនាមាឌចតុមុខ $OABC$ ។
3. កំណត់សមីការស្វ៊ែ $(S)$ មានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។

VI. (៣០ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\Box$ ដោយ $f(x)=2+\frac{x}{e^x}$ មានក្រាប $(C)$ ។
1. គណនាលីមីតនៃ $f$ កាលណា $x \to \pm\infty$ រួចរកសមីការអាស៊ីមតូតក្រាប $(C)$ ។
2. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $f$ មានអតិបរមាមួយដែលត្រូវកំណត់ ។ គូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
3. សង់ក្រាប $(C)$ ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(o,\vec{i},\vec{j})$ ។