វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣៤

I. (១០ ពិន្ទុ) សមីការកុំផ្លិច

គេមានសមីការ $(E): Z^3+2Z^2-16=0$ ។
១. បង្ហាញថា $Z=2$ ជាឫសនៃសមីការ $(E)$ ។
២. សរសេរ $(E)$ ជាទម្រង់ $(Z-2)(aZ^2+bZ+c)=0$ ដែល $a,b,c$ ជាចំនួនដែលត្រូវរក។
៣. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ដោយសរសេរជាចម្លើយពីរជាពិជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

II. (១០ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល & ព្រីមីទីវ

គេឲ្យអនុគមន៍ $F(x) = (Ax+B)\sqrt{1+x}$ និង $f(x) = \frac{9x+8}{2\sqrt{1+x}}$ ។
១. កំណត់ចំនួនពិត $A$ និង $B$ ដើម្បីឲ្យ $F(x)$ ជាព្រីមីទីវនៃ $f(x)$ ។
២. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int f(x)dx$ ។

III. (១០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

គេសង់ត្រីកោណមួយលើអ័ក្ស $\vec{ox}$ និង $\vec{oy}$ និងបន្ទាត់មួយតាមចំណុច $A(1,2)$ នៅការ៉ង់ទី $1$ ។ រកកូអរដោនេនៃកំពូលត្រីកោណនេះ ដើម្បីឲ្យក្រឡាផ្ទៃរបស់វាតូចបំផុត។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=0$ ។
១. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ។
២. $f$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។ កំណត់ចម្លើយ $f$ នៃ $(E)$ ដោយដឹងថាខ្សែែកោង $(C)$ តាង $f$ ប៉ះបន្ទាត់ $(D): y=3x-2$ ត្រង់ចំណុច $A(1,1)$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x)=(x+1)e^x$ ហើយមានខ្សែែកោង $(C)$ តាងឲ្យអនុគមន៍ $f$ ។
១. រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$ ។
២. គណនា $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ ។
៣. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ និងសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
៤. សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(D)$ ប៉ះក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $M(0,1)$ ។
៥. សង់បន្ទាត់ $(D)$ និងក្រាប $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយ $(o,\vec{i},\vec{j})$ តែមួយ។