វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣៥

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=1-i$ និង $w=\sqrt{3}+i$ ។
ក. គណនា $zw$ និង $\frac{z}{w}$
ខ. សរសេរ $zw$ និង $\frac{z}{w}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
គ. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងក្រោម៖
ក. $y''-2y'-3y=3x^2+4x-5$
ខ. $2y''+3y'+y=1+\cos 2x$

II. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល & ប្រូបាប

គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖
$I = \int \frac{x^3}{x-1}dx$
$J = \int \cos(\ln x)dx$
គេមានប្រអប់ពីរដែលប្រអប់ទី1មានសំបុត្រលេខ2ចំនួន 5 ។ ប្រអប់ទី 2 មានសំបុត្រលេខ 4 ដល់ 6 ។ សំបុត្រមួយសន្លឹកត្រូវបានចាប់ចេញពីប្រអប់នីមួយៗ ។
ក. រកប្រូបាបដែលសំបុត្រទាំងពីរមានលេខដូចគ្នា។
ខ. រកប្រូបាបដែលសំបុត្រទាំងពីរគ្មានលេខដូចគ្នា។
គ. រកប្រូបាបដែលផលបូកនៃសំបុត្រទាំងពីរជាចំនួនសេស។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

គេឲ្យបីចំណុច $A(1,-2,3), B(3,-1,3)$ និង $C(5,1,4)$ ។
ក. កំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}$ និង $\vec{AC}$ រួចកំណត់តម្លៃនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងពីរ។
ខ. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចទាញថាបីចំណុច $A, B, C$ មិនរត់ត្រង់ជួរគ្នា។
គ. គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ និងសរសេរសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។
ឃ. គណនាមាឌតetrahedron $ABCD$ រួចទាញរកចម្ងាយពីចំណុច $D$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ ខាងលើ។

IV. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $(C): f(x)=\ln \frac{m+x}{1-x}$ និងមានក្រាប $(C)$ ។
ក. កំណត់តម្លៃ $m$ ដើម្បីឲ្យខ្សែកោង $(C)$ កាត់ $f$ កាត់ត្រង់ $0$ នៃតម្រុយ។
ខ. សិក្សាអថេរភាព និងគូសខ្សែកោង $(C)$ តាង $f$ ចំពោះតម្លៃ $m$ ដែលបានរកឃើញខាងលើ។
គ. គណនាក្រឡាផ្ទៃ $S$ ផ្នែកប្លង់ខ័ណ្ឌដោយក្រាប $(C)$ អ័ក្ស $x'ox$ និងបន្ទាត់ $x=0$ និង $x=\frac{1}{2}$ ។