វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣៦

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យ $z = \frac{2\sqrt{3}-2i}{1-i}$ ។
ក) រកផ្នែកពិតនិងផ្នែកនិម្មិតនៃ $z$ ។
ខ) សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
គ) ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\cos \frac{\pi}{12}$ និង $\sin \frac{\pi}{12}$ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ក) ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'+5y=0$ ។
ខ) រកចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ដោយដឹងថា $y(\frac{\pi}{2})=0$ និង $y'(\frac{\pi}{2})=2$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាលប្រភាគ

ក) កំណត់ចំនួនពិត $A ; B$ និង $C$ ដើម្បីឲ្យបាន $\frac{3x^2+3x+3}{x^3-3x+2} = \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ដែល $x \neq -2 ; x \neq 1$ ។
ខ) គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int \frac{3x^2+3x+3}{x^3-3x+2}dx$ ។

IV. (២០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

អំពិល 20 មានអំពូល 4 ដាច់ (មិនឆេះ) យើងជ្រើសរើសអំពូលបីដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបដែល៖
ក) អំពូលទាំងបីសុទ្ធតែដាច់
គ) មានអំពូលតែមួយគត់ដែលដាច់
ឃ) មានអំពូលមួយយ៉ាងតិចដាច់ ។
ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j}, k)$ នៃលំហដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាន គេឲ្យបួនចំណុច $A(1,0,-2); B(2,1,2); C(3,-1,1); D(2,-3,0)$ ។
ក) គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ តើ ចំណុច $A ; B ; C$ រត់ត្រង់ជួរឬទេ?
ខ) រកសមីការប្លង់ $(ABC)$ រួចគណនាចម្ងាយពីគល់ $O$ ទៅប្លង់ $(ABC)$
គ) គណនាមាឌចតុមុខ $DABC$
ឃ) រកសមីការស្វ៊ែ $(S)$ ចារឹកក្រៅចតុមុខ $DABC$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយ : $f(x)=\ln(x-1)+\ln(x+1)$ ។
ក) រកដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ $f$
ខ) គណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f(x)$ ត្រង់ចុងនៃដែនកំណត់ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតនៃក្រាបតាង $f$ ។
គ) គណនាដេរីវេនៃ $f$ ។ គូសតារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
ឃ) គណនា $f(2); f(3)$ និង $f(5)$ រួចគូសក្រាបតាងអនុគមន៍ $f$ នោះ ។