វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣៧

I. (១៥ ពិន្ទុ) អនុគមន៍ជាប់

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $f(x)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos 2x}}{x\sin x+x^2}$ ចំពោះ $x \neq 0$ និង $f(0)=\frac{1}{8}\ln(\sqrt{a})$ កំណត់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន $a$ ដើម្បីឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់ត្រង់ $x=0$ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) កោនិក

គេមានអនុគមន៍ $(C_1): y=f(x)=ax+b+e^{x-1}$ និង $(C_2): y=g(x)=1-x\ln x$ ។ កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $(C_1)$ និង $(C_2)$ ប៉ះគ្នាត្រង់ចំណុច $M(1,1)$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y''-4y'+5y=4\cos x - 12\sin x \quad (E)$ ។
1. រកចម្លើយទូទៅ $y_c$ នៃសមីការ $y''-4y'+5y=0$ ។
2. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $y_p = a\cos x + b\sin x$ ជាចម្លើយពិសេសនៃ $(E)$ ។ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) កោនិក

អេលីប $(E)$ មួយមានសមីការ $25x^2+16y^2-150x+64y=111$ ។
1. រកកូអរដោនេ ផ្ចិត កំពូល និង កំណុំរបស់អេលីប $(E)$ ។
2. សង់អេលីប $(E)$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f(x)=1+2e^x(1-x)$ មានក្រាប $(C)$ ។
1. គណនាលីមីត $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ រួចបញ្ជាក់សមីការអាស៊ីមតូតដេក ។
2. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ រួចសិក្សាសញ្ញារបស់វា ។ គូសតារាងអថេរភាពនៃ $f(x)$ ។
3. គណនាកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វ $A$ រវាងខ្សែែកោង $(C)$ និង អាស៊ីមតូតដេក ។ រួចសរសេរសមីការបន្ទាត់ $(T)$ ប៉ះនឹងខ្សែែកោង $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ ។
4. សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(T)$ ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(o,\vec{i},\vec{j})$ ។
5. គណនាក្រឡាផ្ទៃខ័ណ្ឌដោយខ្សែកោង $(C)$ ជាមួយនិងអាស៊ីមតូតដេក និង បន្ទាត់ឈរ $x=0, x=1$ ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ មានចំណុច $A(-2,3,0)$ និងវ៉ិចទ័រ $\vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}$ ។
1. រកសមីការផ្ទះបន្ទាត់ $(L)$ ដែលកាត់តាម $A(-2,3,0)$ ហើយស្រប $\vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}$ ។
2. គណនា $\vec{n}=\vec{OA} \times u$ ។ រកសមីការប្លង់ $P$ កាត់តាម $A$ និងមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n}$ ។