វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៣៩

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to+\infty} [\sqrt{x^2+2x+3}-(x+1)]$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{-2x\sin x}{1-\cos^2 x}$
គ. $\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin x}{\sin^4 x - 1}$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល 16 ដែលគេសរសេរលេខពី 1 ដល់ 16 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
ក. $A$: "គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង 4"
ខ. $B$: "គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែមិនអាចចែកដាច់នឹង 5"
គ. $C$: "គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង 4"

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

ដោះស្រាយនៅក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច $\mathbb{C}$ សមីការ $z^2-8z+64=0$ ។
ខ. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4+4i\sqrt{3}$ និង $z_2=4-4i\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $(2z_1+z_2)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង គណនា $(2z_1+z_2)^3$ ។ (យើងតាងដោយ $z_2$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1$)

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

ក. $I = \int_0^1 (x^2+1)^2dx$
ខ. $J = \int_0^{\ln 6} (e^x-1)dx$
គ. $K = \int_0^{\frac{\pi}{4}} [\sin(3x+\frac{\pi}{4}) + \sin^4 x \cos x] dx$

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ។ គេមានចំណុច $A(1,-1,4), B(7,-1,-2)$ និង $C(1,5,-2)$
ក. a. គណនាអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$ ។
b. ស្រាយបំភ្លឺថាចំណុច $A, B$ និង $C$ កំណត់បានប្លង់មួយ ។
c. បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ $\vec{n}=(1,1,1)$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ទៅនឹងប្លង់ $(ABC)$ ។
d. ទាញបង្ហាញសមីការរបស់ប្លង់ $(ABC)$ ។
ខ. បង្ហាញថាត្រីកោណ $(ABC)$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស ។
២. គេមានសមីការប៉ារ៉ាបូលទូទៅ $y^2+4y-8x-12=0$ ។ ចូរបំលែងសមីការនេះជាទម្រង់ស្តង់ដារប៉ារ៉ាបូល ។ រកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសរបស់ប៉ារ៉ាបូលនេះ ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+3y'+3y=2y'+5y$ ។ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ ។ បង្ហាញថាអនុគមន៍ $y=-e^{-2x}+2e^x$ ជាចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការ $(E)$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x)=\frac{x^2-2}{x}-\ln x$ គេតាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។
ក. a. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ នៅលើ $(0, +\infty)$ គេអាចសរសេរ $f(x)=x(1-\frac{\ln x}{x}-\frac{2}{x^2})$ និង $f(x)=\frac{1}{x}(x^2-x\ln x-2)$ ។
b. ប្រើលទ្ធផលនេះដើម្បីគណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $0$ និងត្រង់ $+\infty$ ។
ខ. a. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ នៃអនុគមន៍ $f(x)$ និងបង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ លើ $(0, +\infty)$ , $f'(x)$ មានសញ្ញាដូច $(x^2-x+2)$ ។
b. សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពរបស់វា ។
គ. a. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ នៅលើ $(C)$ ដែលមានអាប់ស៊ីសស្មើ $1$ ។
b. រកកូអរដោនេចំណុច $B$ នៃ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ $B$ ស្របនឹងបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y=x$ ។
ឃ. សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $A$ និងត្រង់ $B$ ។ គេឲ្យ $\ln 2 = 0.7$