វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤

I. (១០ ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ស ២ ឃ្លីពណ៌ក្រហម ៤ និងឃ្លីពណ៌ខៀវ ៤ ។ គេចាប់យកឃ្លី ៣ ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ក្រហម។
B: យ៉ាងតិចមានឃ្លី ២ មានពណ៌ខៀវ។
C: ឃ្លីទាំង ៣ មានពណ៌ខុសគ្នា។

II. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-2)+x^2+x-1}{1-x}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{-2x}{\sin 3x}$
គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{2(\pi - 3x)}$

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 3+3i\sqrt{3}$ និង $z_2 = \sqrt{3}+i$
ក. គណនា $z_1 \times z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ។
ខ. សរសេរ $z_1 \times z_2$ និង $(\frac{z_1}{z_2})^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
គ. សរសេរ $(\frac{z_1}{z_2})^3$ ជាទម្រង់ពិជគណិត។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_1^2 (2-x+x^2)dx$; $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos 2x - \frac{1}{2}\cos 4x)dx$ និង $K = \int_2^3 (3x-2+\frac{1}{x-1})dx$ ។

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,2,3), B(3,0,1), C(-1,0,1)$ និង $D(2,1,2)$ ។
ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ និង $\vec{BC}$ ។
ខ. បង្ហាញថាចំណុច $A, B$ និង $C$ មិននៅលើបន្ទាត់តែមួយ។
គ. បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ $\vec{n} = (0,1,-1)$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃប្លង់ $(ABC)$ ។
២. គេមានសមីការ $(2x+3y)^2 = 12(xy+3)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាអេលីប។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច កូអរដោនេនៃកំពូល និងសង់អេលីបនេះ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E): y''+4y'=5y$ ។
ខ. រកចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដោយដឹងថាអនុគមន៍ចម្លើយនេះមានអប្បបរមាត្រង់ $(0,3)$ ហើយបន្ទាត់ប៉ះនៃក្រាបត្រង់ចំណុចនេះមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើនឹង $-3$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(1,+\infty)$ ដោយ $f(x) = -x+4+\ln(\frac{x+1}{x-1})$ តាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់អនុគមន៍ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{k})$ ។
១. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $1$ និង $+\infty$ ។
២. ស្រាយបំភ្លឺថាលើ $(1,+\infty)$ គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f$ គឺ $f'(x) = \frac{-(x^2+1)}{(x+1)(x-1)}$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ លើ $(1,+\infty)$ ។
៣. ក. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d_1)$ ដែលមានសមីការ $y=-x+4$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ត្រង់ $+\infty$ ។
ខ. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ លើ $(1,+\infty)$ គេបាន $\frac{x+1}{x-1} > 1$ និងទាញរកទីតាំងធៀបរវាងក្រាប $(C)$ ធៀបនឹង $(d_1)$ ។
គ. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចនៅលើ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះ $(d_2)$ ទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុចនោះមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ $-\frac{5}{3}$ ។ សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(d_2)$ នេះ។
ឃ. សង់ក្រាប $(C)$ អាស៊ីមតូតទ្រេត $(d_1)$ និងបន្ទាត់ $(d_2)$ ។