វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤០

I. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានឃ្លីពណ៌ 2 ឃ្លីពណ៌ក្រហមចំនួន 4 និងឃ្លីពណ៌ខៀវចំនួន 4 ។ គេចាប់យកឃ្លី 3 ព្រមគ្នា ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍
ក. $A$ ឃ្លីទាំង 3 មានពណ៌ក្រហម
ខ. $B$ យ៉ាងតិចមានឃ្លី 2 មានពណ៌ខៀវ

II. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^2(x-2)+x^2+x-1}{1-x}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{-2x}{\sin 3x}$
គ. $\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{2(\pi-3x)}$

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = 1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = \sqrt{3}+i$
ក. គណនា $z_1 \times z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$
ខ. សរសេរ $z_1, z_2$ និង $\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។
គ. សរសេរ $(\frac{z_1}{z_2})^3$ ជាទម្រង់ពិជគណិត ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_1^2 (2-x+x^2)dx$ ; $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} [\cos 2x - \frac{1}{\cos 4x}]dx$ ; $K = \int_2^3 (3x-2+\frac{1}{x-1})dx$

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

ក. (១៥ ពិន្ទុ) ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយ $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1;2;3), B(3;0;1), C(-1;0;1)$ និង $D(2;1;2)$ ។
a. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}, \vec{BC}$ ។
b. បង្ហាញថាចំណុច $A, B$ និង $C$ មិននៅលើបន្ទាត់តែមួយ ។
c. បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ $\vec{n}=(0,1,-1)$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ទៅនឹងប្លង់ $(ABC)$ ។
ខ. គេមានសមីការ $(2x+3y)^2=12(xy+3)$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាអេលីប ។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ អ័ក្សតូច អរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងសង់អេលីបនេះ ។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+4y'=5y$ រកចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដោយដឹងថា ក្រាប $(C)$ នៃអនុគមន៍ចម្លើយនោះកាត់តាមចំណុច $(0,3)$ ហើយបន្ទាត់ប៉ះ និងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុចនោះមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើនឹង $-3$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $f(x)=x-x+4+\ln(\frac{x+1}{x-1})$ ។ គេតាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់វា នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j})$ ។
ក. គណនាលីមីត $f$ ត្រង់ 1 និងត្រង់ $+\infty$ ។
ខ. ស្រាយបំភ្លឺថា នៅលើ $(1, +\infty)$ គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f$ គឺ $f'(x)=\frac{-(x^2+1)}{(x+1)(x-1)}$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ លើ $(1, +\infty)$ ។
គ. a. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d_1)$ មានសមីការ $y=-x+4$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ត្រង់ $+\infty$ ។
b. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ លើ $(1, +\infty)$ គេបាន $\frac{x+1}{x-1} > 1$ និងទាញរកការប្រៀបធៀបទីតាំងនៃ $(C)$ ធៀបនឹង $(d_1)$ ។
ឃ. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចនៅលើ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះ $(d_2)$ ទៅនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុចនោះមានមេគុណប្រាប់ទិសស្មើ $-\frac{5}{3}$ ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ប៉ះ $(d_2)$ នេះ ។
ង. សង់ក្រាប $(C)$ អាស៊ីមតូតទ្រេត $(d_1)$ និងបន្ទាត់ $(d_2)$ ។ ប្រើតម្លៃប្រហែល $\ln 3 = 1.1$ និងក្រាប $(C)$ កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ចំណុច $(4.5, 0)$ ។