វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤១

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{x^3-x^2+x-1}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{-x}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{\sin x}$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស 10 នាក់ ដែលក្នុងនោះ៖ 4 នាក់ជាសិស្សស្រី និង 6 នាក់ជាសិស្សប្រុស ។ គេរៀបចំសិស្សជាក្រុមមួយ ក្រុមមានសិស្ស 4 នាក់ដោយចៃដន្យទៅប្រកួតជាក្រុមសិស្សនៃថ្នាក់ដទៃ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
ក. $A$: "ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែស្រី"
ខ. $B$: "ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបានសុទ្ធតែប្រុស"
គ. $C$: "ក្រុមសិស្សដែលជ្រើសរើសបាន 50% ជាប្រុស"

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i\sqrt{3}$ និង $z_2=6(\cos \frac{\pi}{4} - i\sin \frac{\pi}{4})$
ក. សរសេរ $z_1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ
ខ. រកម៉ូឌុលនិងអាគុយម៉ង់នៃ $z_1^3$
គ. សរសេរផលគុណ $z_1 \times z_2$ ជាទម្រង់ពិជគណិត ។

IV. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

ក. (១៥ ពិន្ទុ) ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយ $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(-2;1;0), B(0;1;1), C(1;2;2)$ និង $D(0;3;-4)$ ។
a. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}, \vec{BC}, \vec{BD}, \vec{CD}$ ។
b. គណនាប្រវែង $AB, AC, AD, BC, BD$ និង $CD$ ។ ទាញបង្ហាញថាត្រីកោណ $ABD$ និង $ACD$ កែងត្រង់ $A$ ។
ខ. គេមានសមីការ $9y^2-16x^2=144$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអ៊ីពែបូល ។ រកកូអរដោនេនៃកំពូលទាំងពីរ និងកំណុំទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូល ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតនៃអ៊ីពែបូលនេះ រួចសង់អ៊ីពែបូល ។

V. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_0^3 (x-2+3x^2)dx$, $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sin 2x - \cos x)dx$, $k = \int_0^1 \frac{x^3+(x+1)^2}{x^2+1}dx$ ។ ដើម្បីគណនា $K$ យើងត្រូវបង្ហាញថា $\frac{x^3+(x+1)^2}{x^2+1} = x+1+\frac{x}{x^2+1}$ ។

VI. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=0$
ខ. រកចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y(0)=1$ និង $y'(1)=2e^2$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=x+\frac{1-3e^x}{1+e^x}$ ។ គេតាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់ $f$ នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j})$ ។
ក. បង្ហាញថា $f(x)=x+1-\frac{4e^x}{1+e^x}$ និងគណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ ។ ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y=x+1$ ជាអាស៊ីមតូតទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ $-\infty$ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ។
ខ. គណនាលីមីត $f$ ត្រង់ $+\infty$ ។ ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ $d_2$ ដែលមានសមីការ $y=x-3$ ជាអាស៊ីមតូតទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ $+\infty$ ។ សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_2$ ។
គ. a. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ និងបង្ហាញថាគ្រប់ចំនួនពិត $x, f'(x)=(\frac{e^x-1}{e^x+1})^2$ ។
b. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ សង់ក្រាប $C$ និងអាស៊ីមតូត $d_1$ និង $d_2$ របស់វា ។