វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤២

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{x^2+2-3x}$
ខ. $\lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^3-27}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{5\sin 5x}{x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\sqrt{3}-i, z_2=(1-\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})i$ និង $z_3=-\frac{1}{2}$
គណនា $z_1+z_2; (z_1+z_2)z_3$ សរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច $Z=(z_1+z_2)z_3$ រួចទាញរកតម្លៃ $Z^3$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_0^2 (6x^2-3x-1)dx$ និង $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1-2\sin^2 x)dx$ ។
គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=-2(\frac{x+1}{x^2})$ ។ បង្ហាញថា $f(x)=-\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}$ ។ គណនា $K = \int_1^e f(x)dx$ (ដោយ $\ln e = 1$) ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូលដែលចែកជា ប៊ូលពណ៌បីបែងចែកចំនួន 7 ពណ៌ និងគេសរសេរលេខលើប៊ូលទាំងនោះតាមលេខរៀងពីលេខ 1 ដល់ 7 រួចប៊ូលពណ៌ខៀវចំនួន 5 និងគេសរសេរលើប៊ូលទាំងនោះតាមលេខរៀងពីលេខ 1 ដល់លេខ 5 ផុតក្រោយប៊ូលពណ៌ក្រហមចំនួន 3 និងគេសរសេរលេខលើប៊ូលទាំង 3 នេះតាមលេខរៀងពី 1 ដល់ 3 ។ គេចាប់យកប៊ូលមួយចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
$A$: ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌បៃតង ។
$B$: ប៊ូលដែលចាប់បានមានលេខសេស ។
$C$: ប៊ូលដែលចាប់បានមានពណ៌ពីបៃតង និងលេខខុសសេស ។

V. (២៥ ពិន្ទុ) កោនិក និង វ៉ិចទ័រ

មានសមីការ $18x^2+10y^2=90$ ។
ក. បង្ហាញថាសមីការនេះជាសមីការអេលីប ។ រកប្រវែងអ័ក្សធំ ប្រវែងអ័ក្សតូច និងកូអរដោនេ នៃកំពូលទាំងពីរ ។
ខ. សង់អេលីបនេះ ។
VI. នៅក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមាន $M(2;3;4), N(3;5;6), P(4;6;7), Q(3;4;5)$ ។
ក. រកវ៉ិចទ័រ $\vec{MN}$ និង $\vec{QP}$ ។
ខ. ទាញបង្ហាញថាចតុកោណ $MNPQ$ ជាប្រលេឡូក្រាម ។

VII. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ក. ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+2y'-3y=0$ ។
ខ. រកចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E)$ ដែល $y(0)=1$ និង $y'(1)=e$ ។ ($e$ ជាចំនួនពិតដែល $\ln e = 1$) ។

VIII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=x+2-\frac{4e^x}{e^x+3}$ ។ គេតាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់វានៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j})$ ។
ក. a. គណនាលីមីតនៃ $f$ ត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។
b. សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ $d_1$ ដែលមានសមីការ $y=x+2$ ។
ខ. a. ស្រាយបំភ្លឺថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x: f'(x)=(\frac{e^x-3}{e^x+3})^2$ ។
b. សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ លើ $\mathbb{R}$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
គ. a. តើគេអាចថាយ៉ាងណាចំពោះបន្ទាត់ប៉ះ $d_2$ ទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $I$ ដែលមានអាប់ស៊ីស $\ln(3)$ ។
b. សិក្សាទីតាំងនៃក្រាប $C$ ធៀបនឹងបន្ទាត់ប៉ះ $d_2$ ។
ឃ. a. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $d_3$ ទៅនឹងក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុចមានអាប់ស៊ីសសូន្យមានសមីការ $y=\frac{1}{4}x+1$ ។
b. ដោយសន្មតថាចំណុច $I$ ជាផ្ចិតឆ្លុះនៃក្រាប $C$ និងក្នុងតម្លៃប្រហែលនៃ $\ln(3)$ ចូរសង់ក្រាប $C$ និងបន្ទាត់ $d_1, d_2, d_3$ ។ (នៅលើក្រដាសតែមួយនេះ មួយឯកតាស្នើ $2cm$) ។