វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤៣

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1 = -1+i\sqrt{3}$ និង $z_2 = 1-i\sqrt{3}$ ។
ក. គណនា $z_1+z_2; z_1-z_2; z_1 \times z_2$
ខ. សរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z_1-z_2; z_1 \times z_2$ ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{\sqrt{x+2}-2}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin^2 x}$
គ. $\lim_{x\to 0} \frac{3\sin 3x}{x}$

III. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងស្បោងមួយមានប៊ូលពណ៌ស 3 ប៊ូលពណ៌ក្រហម 2 និងប៊ូលពណ៌ខៀវ 2 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ក្នុងពេលតែមួយចេញពីស្បោងដោយចៃដន្យ ។ គេសន្មតថាប៊ូលដែលចាប់បាននីមួយៗជាសមប្រូបាប ។
គណនាប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
ក. $A$: "យ៉ាងតិចមានប៊ូលពណ៌ខៀវ1"
ខ. $B$: "ប៊ូលទាំង3មានពណ៌ខុសគ្នា" ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_1^2 (\frac{x^2}{3}+3)dx$ ។
គេមាន អនុគមន៍ $f(x)=\frac{2-x}{(x-1)^2}$ បង្ហាញថា $f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}$ ។ ចូរគណនា $K = \int_{-1}^1 f(x)dx$ ។

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

ក. គេមានវ៉ិចទ័រ $\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k} ; \vec{v}=-\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k} ; \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$ ។ រកវ៉ិចទ័រ
a. $\vec{u}+\vec{v}$
b. $\vec{w} \times \vec{u}$
c. $\vec{w} \times \vec{v}$ ។
ខ. រកសមីការប្លង់ជាអេលីបដែលមានកំពូលមួយជាចំណុចមានកូអរដោនេ $(-1,0)$ និងចំណុចកំពូលកណ្តាលមានកូអរដោនេ $(-3,0)$ និង $(3,0)$ ។ សង់អេលីបនេះ ។

VI. (២៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y'+2y=\frac{2e^{-x}}{1+2e^x}$ ។
ក. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាអនុគមន៍ $f$ ដែល $f(x)=e^{-2x}\ln(1+2e^x)$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។
ខ. បង្ហាញថាអនុគមន៍ $\phi$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ លុះត្រាតែ $(\phi-f)$ ជាចម្លើយនៃ សមីការ $(E'): y'+2y=0$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

A. គេមានអនុគមន៍ $g$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ដោយ $g(x)=x^2+\ln x$ បង្ហាញថា $g$ ជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ $(0, +\infty)$ ។ គណនា $g(1)$ ។
ក. ទាញយកពីលទ្ធផលនៃសំណួរទី 1 បញ្ជាក់លទ្ធផលខាងក្រោម: បើ $x \ge 1$ នោះ $x^2+\ln x \ge 1$ និង បើ $0 < x \le 1$ នោះ $x^2+\ln x \le 1$ ។
ខ. កំណត់សញ្ញានៃកន្សោម $x^2+\ln x - 1$ កាលណា $x$ នៅលើ $(0; +\infty)$ ។
B. គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0; \infty)$ ដោយ $f(x)=x+1-\frac{\ln x}{x}$ និងតាងដោយ $C$ ក្រាបរបស់វាក្នុងតម្រុយ $(o, \vec{i}, \vec{j})$ ។
ក. សិក្សាលីមីត នៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ 0 និង $+\infty$ (យើងដឹងថា $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$) ។
ខ. បង្ហាញថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f$ គឺ $f'(x)=\frac{x^2+\ln x - 1}{x^2}$ ។
គ. ប្រើលទ្ធផលនៃសំណួរ $A$ សិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ និងសង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ លើចន្លោះ $(0; +\infty)$ ។
ឃ. a. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $\Delta$ មានសមីការ $y=x+1$ អាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $C$ ត្រង់ $+\infty$ ។
b. សិក្សាទីតាំង $C$ ធៀបនឹង $\Delta$ និងបញ្ជាក់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $I$ រវាង ក្រាប $C$ និង $\Delta$ ។ សង់ $\Delta$ និង ក្រាប $C$ ។