វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤៤

I. (២០ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1}$
ខ. $\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1+\sin x}$
គ. $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x^2+x}-x)$
ឃ. $\lim_{x\to 0} \frac{(e^{-x}+e^x)\sin^2 x}{2x^2}$
ង. $\lim_{x\to +\infty} (\ln(x+2)-\ln x - \frac{2}{x+2}+\frac{1}{4})$

II. (២០ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

១. គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\sqrt{2}, z_2=-i\sqrt{2}$ និង $z_3=i\sqrt{2}$ ។
ក. គណនា $z_1+z_2, z_1+z_3, (z_1+z_2)(z_1+z_3)$
ខ. កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់ $z_1+z_2, z_1+z_3, (\frac{z_1+z_3}{z_1+z_2})^2$ ។
២. គណនា $i^n$ ចំពោះតម្លៃនៃចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n \ge 1$ ទាញរកតម្លៃ $i^{2015}-i^{2014}$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សនារី 4 នាក់ សិស្សអាហ្វ្រិក 2 នាក់ និងសិស្សអឺរ៉ុប 3 នាក់ ។ គេរៀបចំសិស្សជាក្រុមមួយដែលមានសិស្ស 3 នាក់ដោយចៃដន្យ ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖
ក. យ៉ាងតិចមានសិស្ស 2 នាក់ជាសិស្សអាហ្វ្រិក
ខ. យ៉ាងតិចមានសិស្ស 2 នាក់ជាសិស្សអឺរ៉ុប
គ. មានសិស្សម្នាក់ក្នុងមួយទ្វីប ។

IV. (៣០ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍ A

គេមានអនុគមន៍ $h$ កំណត់លើ $I=]0, +\infty[$ ដោយ $f(x)=\frac{x+\ln x}{x^2}$ ។
១. $h$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $I$ ដោយ $h(x)=-x+1-2\ln x$ គណនា $h(1)$ និងសិក្សាសញ្ញានៃ $h(x)$ ដោយមិនប្រើការគណនាលីមីតនៃ $h(x)$ ត្រង់ 0 និងត្រង់ $+\infty$ ឡើយ ។
២. ក. គណនាលីមីតនៃ $f(x)$ ត្រង់ 0 និងត្រង់ $+\infty$ ។
ខ. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ នៃអនុគមន៍ $f(x)$ ។
គ. បង្ហាញថានៅលើ $I, f'(x)$ មានសញ្ញាដូច $h(x)$ ។
ឃ. ទាញរកអថេរភាពនៃ $f(x)$ លើ $I$ និងសង់ក្រាប $(C)$ នៃ $f(x)$ នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O, \vec{i}, \vec{j})$ ។

V. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ក. រកអនុគមន៍ $f_1(x)=ax^2+bx+c$ ជាចម្លើយរបស់សមីការ $(E)$
ខ. បង្ហាញថាបើ $f(x)$ ជាចម្លើយរបស់សមីការ $(E)$ នោះ $g(x)=f(x)-f_1(x)$ ជាចម្លើយមួយរបស់សមីការ $y''+4y=0$ ។

VI. (៣០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យបីចំណុច $A(2,2,1); B(4,-2,0), C(3,1,1)$ និង $D(1,5,2)$ ។
ក. បង្ហាញថាចតុកោណ $ABCD$ ជាប្រលេឡូក្រាម រួចរកផ្ទៃក្រឡាប្រលេឡូក្រាមនេះ ។
ខ. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $d$ ដែលកាត់តាម $A(2,2,1)$ និង $B(4,-2,0)$ ។
គ. រកសមីការប្លង់ដែលកាត់តាមចំណុច $A(2,2,1), B(4,-2,0), D(1,5,2)$