វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤៥

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

១. $\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{2\sin(x-\frac{\pi}{4})}{\pi-x}$
២. $\lim_{x\to 0} \frac{-2\sin 5x}{x\sqrt{5}-\sqrt{x+5}}$
៣. $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 3x}{-2x^2}$
៤. $\lim_{x\to 0} \frac{x^2-x}{|x|}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1+i\sqrt{3}; z_2=-1-i\sqrt{3}$
ក. គណនា $z_1+z_2; z_1-z_2; z_1z_2$ ។
ខ. សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z_1$ និង $z_2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។
គ. បង្ហាញថា $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^3-8=z-8=0$ ។ (ប្រហែលជា $z^3-8=0$ ឬ $z^2+2z+4=0$) ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

នៅក្នុងថង់មួយគេមានប៊ូល 12 ដែលគេសរសេរលេខពី 1 ដល់ 12 ។ គេចាប់យកប៊ូល 3 ចេញពីក្នុងប្រអប់គ្នាដោយចៃដន្យ ។
ក. រកប្រូបាបដែល "គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង 3"
ខ. រកប្រូបាបដែល "គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង 3"
គ. រកប្រូបាបដែល "គេចាប់បានមានលេខតាមលំដាប់កើនជានព្វន្តដែលមានផលសងរួម $d=3$"

IV. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $(0; +\infty)$ ដោយ $f(x)=x-5+\frac{8\ln x}{x} + \frac{9}{x}$ និង $C$ ជាក្រាបរបស់វា ។
ក. រក $\lim_{x\to+\infty} f(x), \lim_{x\to 0} f(x)$
ខ. ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ $\Delta$ ដែលមានសមីការ $y=x-5$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃខ្សែកោង $C$ ខាង $x$ ខិតជិត $+\infty$ ។
គ. កំណត់អាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $\Delta$ និងខ្សែែកោង $C$ ។
ឃ. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ នៅលើ $(0, +\infty)$ គេបាន $f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}$ ។
ង. សិក្សារអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ដោយដឹងថាសមីការ $g(x)=0$ មានចម្លើយ $x=1$ និង $x=\alpha; (1 < \alpha)$ ។ រក $\lim_{x\to+\infty} f(x)$

V. (៤៥ ពិន្ទុ) អនុគមន៍ B

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x)=4-x-2e^{-x}$ ។ គេតាងដោយ $C$ ជាក្រាបរបស់វា ។
ក. រក $\lim_{x\to+\infty} f(x)$
ខ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $D$ មានសមីការ $y=-x+4$ ជាអាស៊ីមតូតនៃខ្សែកោង $C$ ។
គ. តើខ្សែកោង $C$ នៅលើឬក្រោមបន្ទាត់ $D$? ចូរបញ្ជាក់ ។
ឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាគ្រប់ចំនួនពិត $x, f(x)=\frac{4e^x-xe^x-2}{e^x}$
ង. រក $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ (ប្រើលទ្ធផល $\lim_{x\to-\infty} xe^x=0$)
ច. គណនា $f'(x)$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃ $f$ ។ កំណត់តម្លៃពិតនៃអតិបរមារបស់ $f$ ។
ឆ. $A$ ជាចំណុចនៅលើខ្សែកោង $C$ ដែលមានអាប់ស៊ីស 0 ។ កំណត់សមីការបន្ទាត់ប៉ះនៃខ្សែកោង $C$ ត្រង់ $A$ ។
ជ. បង្ហាញថាសមីការ $f(x)=0$ មានចម្លើយតែមួយគត់ដែលគេតាងដោយ $\beta$ នៅចន្លោះ $[-1,0]$ ។