វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤៦

I. (១០ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $a=2\sqrt{3}-2i$ និង $b=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ ។
ក. សរសេរ $Z=a^2+b^2+4ai+\sqrt{2}b$ ជាទម្រង់ពិជគណិត ។
ខ. សរសេរ $a, b$ និង $ab$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងប្រអប់មួយមានប៊ូលពណ៌ 2 គ្រាប់ដែលមានចុះលេខ 1; 2 និង ឃ្លីពណ៌ខ្មៅ 3 គ្រាប់ដែលមានចុះលេខ 1; 2; 3 ។ គេចាប់យកឃ្លីពីរគ្រាប់ព្រមគ្នាដោយចៃដន្យក្នុងប្រអប់នោះ ។
ក. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ គេចាប់បានឃ្លីមានពណ៌ដូចគ្នា ។
ខ. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ គេចាប់បានឃ្លីមានផលបូកលេខស្មើ 3 ។
គ. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ $C$ គេចាប់បានឃ្លីមានផលបូកលេខស្មើ 3 ដោយបានដឹងថា វាមានពណ៌ដូចគ្នា ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

កំណត់ចំនួនពិត $m, n$ និង $p$ ដើម្បីឲ្យ $\frac{x^2+6x+5}{(x-2)(x^2+x+1)} = \frac{m}{x-2} + \frac{nx+p}{x^2+x+1} ; (x \neq 2)$
ខ. គណនាអាំងតេក្រាល $\int_0^1 \frac{x^2+6x+5}{(x-2)(x^2+x+1)}dx$ ។

IV. (២០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E_1): -y''-y'+6y=6x^2-2x+4$ ។
ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E_2): -y''-y'+6y=0$
ខ. រកពហុធា $p(x)=ax^2+bx+c$ ដែលជាចម្លើយមួយនៃសមីការ $(E_1)$ ។ ទាញរកចម្លើយទូទៅនៃ $(E_1)$ ។

V. (៣០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យបីចំណុច $A(1,0,1); B(0,2,2)$ និង $C(2,1,0)$ ។
ក. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណកែងត្រង់កំពូល $A$ ។
ខ. គណនា $\vec{n}=\vec{AB} \times \vec{AC}$ រួចរកសមីការប្លង់ $ABC$ ។
គ. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $d$ ដែលកាត់តាម $D(1,-1,3)$ ហើយកែងនឹងប្លង់ $ABC$ ត្រង់កំពូល $M$ ។ រកកូអរដោនេចំណុច $M$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $y=f(x)=2+\frac{\ln x}{x^2}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។
ក. រក $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to 0} f(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។
ខ. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ហើយសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។
គ. រកកូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $C$ និងអាស៊ីមតូតដេក ។ សង់ក្រាប $C$ ក្នុងតម្រុយ កូអរដោនេតែមួយ ។ គេឲ្យ $e \approx 2.7 ; e^{0.5} \approx 1.65$ ។
ឃ. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្ទៃប្លង់កំណត់ដោយ ក្រាប $C$ អាស៊ីមតូតដេក បន្ទាត់ឈរ $x=1$ និង $x=e^{0.5}$ ។