វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤៧

I. (១០ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិច $x=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ និង $y=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ ។
ក. គណនា $A=x-y^2$ និង $B=x^2+x+1$ ។
ខ. សរសេរ $x$ និង $y$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ហើយបង្ហាញថា $C=x^{2013}+y^{2013}$ ជាចំនួនពិត ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

គេចង់បង្កើតចំនួនមានលេខ 3 ខ្ទង់ដែលខ្ទង់ទាំង 3 មានលេខខុសគ្នា ដោយយកចេញពីលេខ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ។
ក. រកចំនួនករណីអាច ។
ខ. រកប្រូបាបដែលចំនួនមានលេខ 3 ខ្ទង់នោះជាពហុគុណនៃ 5 ។
គ. រកប្រូបាបដែលចំនួនមានលេខ 3 ខ្ទង់នោះជាចំនួនគូ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $y=g(x)=xe^{2x}$ ។
ក. រកដេរីវេ $g'(x)$ និង $g''(x)$ ។ ទាញបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍ $g$ មានអប្បបរមាត្រង់ $x=-0.5$ ។
ខ. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងក្រាបតាង $y=g(x)$ ត្រង់ $x=1$ ។

IV. (២០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការ $y''-4y'+5y=0 (E)$ ។
ក. រកចម្លើយទូទៅ $y_g$ នៃសមីការ $(E)$ ។
ខ. គេដឹងថា $y_p=a\cos x + b\sin x$ ជាចម្លើយពិសេសនៃសមីការ $y''-4y'+5y=4\cos x - 12\sin x (F)$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $x$ ។ រកចំនួនពិត $a$ និង $b$ ហើយទាញរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(F)$ ។

V. (៣០ ពិន្ទុ) កោនិក

លើប $E$ មួយមានសមីការ $25x^2+16y^2-150x+64y=111$ ។
ក. រកកូអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល និងកំណុំរបស់អេលីប $E$ ។
ខ. សង់អេលីប $E$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមួយ ។

VI. ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

គេមានចំណុច $M(-1,0,1); N(0,1,2)$ និង $P(1,2,-1)$ ស្ថិតក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយ ។ ប្លង់ $\alpha$ មួយមានសមីការ $x-2y+z-4=0$ ។
ក. រកអរដោនេនៃ $\vec{n}=\vec{MN} \times \vec{MP}$ ហើយទាញរកសមីការប្លង់ $\beta$ ដែលកាត់តាមចំណុច $M, N$ និង $P$ ។
ខ. រកសមីការស្វ៊ែ $S$ មួយដែលមានផ្ចិត $M$ ហើយកាត់តាម $N$ ។ តើប្លង់ $\alpha$ ជួបនឹងស្វ៊ែ $S$ ឬទេ?

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $y=f(x)=1-\frac{2\ln x}{x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។
ក. រក $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to 0} f(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងអាស៊ីមតូតដេកនៃក្រាប $C$ ។
ខ. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ ហើយសង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។
គ. សង់ក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមួយ ។ គេឲ្យ $e=2.7 ; \frac{2}{e}=0.7$ ។
ឃ. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្ទៃប្លង់កំណត់ដោយក្រាប $C$ អាស៊ីមតូតដេក បន្ទាត់ឈរ $x=1$ និង $x=e$ ។