វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤៨

I. (១០ ពិន្ទុ)

ក. រកឫស $t_1, t_2$ នៃសមីការ $-t^2+2t-4=0$ ដោយយក $t_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិម្មិតអវិជ្ជមាន ។
ខ. សរសេរ $Z = \frac{4t_2}{t_1^3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

II. (១០ ពិន្ទុ)

រកចំនួនពិត $p$ និង $q$ ដើម្បីឲ្យ $M(1,0)$ ជាចំណុចបត់នៃក្រាបតាងអនុគមន៍ $y=g(x)=px^3+qx^2+\frac{2}{3}$ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ)

ក្នុងថង់មួយមានប៊ិចពណ៌ក្រហម 8 និងប៊ិចពណ៌ខៀវ 6 ។ គេចាប់យកប៊ិច 5 ដើមព្រមគ្នាចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ ។ គណនាប្រូបាប៖
ក. $A$: ប៊ិចទាំង 5 ពណ៌ក្រហម
ខ. $B$: ប៊ិច 3 ពណ៌ក្រហម និង 2 ពណ៌ខៀវ
គ. $C$: មានប៊ិចពណ៌ខៀវ 1 យ៉ាងតិចក្នុងចំណោមប៊ិចទាំង 5 ។

IV. (២០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-2y'+5y=nx^2+px+q$ ។
ក. ដោះស្រាយសមីការ $(F): y''-2y'+5y=0$ ។ រកចម្លើយនៃ $(F)$ បើ $y(0)=2$ និង $y'(0)=6$ ។
ខ. រកចំនួនពិត $n, p$ និង $q$ ដោយដឹងថា $y=2x^2+3x+1$ ជាចម្លើយនៃសមីការ $(E)$ ។ រកចម្លើយទូទៅ $y$ នៃសមីការ $(E)$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

អនុគមន៍ $f$ កំណត់ដោយ $y=f(x)=x-1+2e^{-x}$ ហើយមានក្រាប $C$ ។
ក. រក $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតទ្រេត $L_1$ នៃក្រាប $C$ ។ បង្ហាញថា $f$ មានអប្បបរមាត្រង់ $x=\ln 2$ ។
ខ. សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។ រកសមីការបន្ទាត់ $L_2$ ដែលប៉ះក្រាប $C$ ត្រង់ចំណុច $A(0,1)$ ។
គ. សង់បន្ទាត់ $L_1, L_2$ និងក្រាប $C$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេតែមួយ ។ គេឲ្យ $\ln 2 = 0.7$ ។
ឃ. គណនាផ្ទៃក្រឡាផ្ទៃប្លង់កំណត់ដោយអាស៊ីមតូត $L_1$ និងក្រាប $C$ បន្ទាត់ឈរ $x=0$ និង $x=1$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ ដែលមានទិសដៅអវិជ្ជមាន $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,2,4), B(2,-1,3)$ និង $C(-2,3,-2)$ ។
ក. រកសមីការស្វ៊ែរនៃស្វ៊ែ $S$ ដែលមានផ្ចិត $A$ និង $r=\frac{1}{2}|\vec{BC}|$ ។ សមីការទូទៅនៃប្លង់ $P$ ដែលមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{AC}$ ហើយកាត់តាមចំណុច $B$ រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $d$ ដែលកាត់តាមចំណុច $C$ ហើយមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{AB}$ ។
ខ. រកចម្ងាយ $D_{BA}$ ពីចំណុច $B$ ទៅ $A$ ។ រកចម្ងាយ $D_{Bd}$ ពីចំណុច $B$ ទៅបន្ទាត់ $d$ ។ រកចម្ងាយ $D_{DP}$ ពីចំណុច $D(3,-3,-3)$ ទៅប្លង់ $P$ ។
គ. រកក្រឡាផ្ទៃប្រលេឡូក្រាម និងផ្ទៃត្រីកោណរបស់ត្រីកោណដែលសង់លើវ៉ិចទ័រ $\vec{BA}$ និង $\vec{BC}$ ។