វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៤៩

I. (១០ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to \pi} \frac{\sqrt{2}\cos x - 1}{2\cos 2x + 1}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{(a+x)^3} - \frac{1}{a^3}}{x}$

II. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការកុំផ្លិច

ដោះស្រាយសមីការ $z^2-2\sqrt{2}z+4=0$ (1) ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃឫសនីមួយៗ របស់សមីការ (1) ។
ខ. សរសេរ $w=(\frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{\sqrt{2}-i\sqrt{2}})^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការ $y''-6y'+8y=0(a)$ ។
ខ. រកអនុគមន៍ $g$ ដែលជាចម្លើយមួយនៃ $(a)$ ដោយដឹងថាក្រាប $(G)$ របស់វាប៉ះនឹងបន្ទាត់ដេកមួយនៅត្រង់ចំណុច $E(0,-1)$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ទេសចរណ៍មួយក្រុមមានបុរស 3 នាក់ និងស្ត្រី 5 បានឈរបន្តបន្ទាប់គ្នាជាជួរដោយចៃដន្យ ដើម្បីទិញសំបុត្រចូលទស្សនាប្រាសាទអង្គរវត្ត ។
ក. រកចំនួនរបៀបនៃការឈរបន្តបន្ទាប់គ្នាជាជួររបស់ក្រុមទេសចរណ៍នោះ ។
ខ. រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ
ក. $A$: ទេសចរណ៍ដែលឈរនៅមុខគេបង្អស់ជាស្ត្រី
ខ. $B$: ទេសចរណ៍ជាបុរសទាំងអស់ឈរជាប់គ្នា ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យបីចំណុច $A(-1,2,1); B(1,-6,-1)$ និង $C(2,2,2)$ ។
ក. គណនា $\vec{n}=\vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ កំណត់សមីការប្លង់ $(P)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $A; B; C$ ហើយមានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ $\vec{n}$ ។ កំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ $(d)$ កាត់តាមចំណុច $J(-2,0,0)$ និងមានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស $\vec{u}=(3,0,1)$ ។
ខ. រកអរដោនេនៃផ្ចិត $I$ និងកាំ $r$ នៃស្វ៊ែ $(S)$ ដែលមានសមីការ: $x^2+y^2+z^2-2y+2z-2=0$ ។ រកកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $(S)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ។
គ. គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $ABC$ ។ គណនាចម្ងាយពីចំណុច $D(0,1,-1)$ ទៅប្លង់ $(P)$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f(x)=\frac{x^2+3x+6}{x+2}$ កំណត់ចំពោះគ្រប់ $x \neq -2$ និងមានក្រាប $(C)$ ។
ក. គណនា $f'(x)$ ។ រកតម្លៃបរមានៃ $f$ ។ រកសមីការអាស៊ីមតូតនៃ $(C)$ ។ គណនាលីមីតនៃ $f$ កាលណា $x$ ខិតទៅរក $+\infty, -\infty$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
ខ. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹងខ្សែែកោង $(C)$ ត្រង់ $x_0=1$ ។ គណនាកូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $A$ រវាងសមីការបន្ទាត់ប៉ះ និងអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ $(C)$ ។
គ. សង់ខ្សែកោង $(C)$ សមីការបន្ទាត់នៃ $(C)$ និងអាស៊ីមតូតក្នុងតម្រុយអូតូណរមេតែមួយ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាខ័ណ្ឌដោយខ្សែកោង $(C)$ អ័ក្សអាប់ស៊ីស និងបន្ទាត់ $x=1, x=2$ ។