វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៥

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to+\infty} [\sqrt{x^2+2x+3}-(x+1)]$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{-2x\sin x}{1-\cos^2 x}$
គ. $\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin x}{\sin^4 x - 1}$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថង់មួយមានប៊ូល 16 គ្រាប់ ដែលគេសរសេរលេខពី 1 ដល់ 16 ។ គេចាប់យក 3 ចេញពីថង់ដោយចៃដន្យ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
A: គេចាប់បានប៊ូលបីមានលេខសុទ្ធតែចែកដាច់នឹង 4 ។
B: គេចាប់បានប៊ូលបីមានលេខសុទ្ធតែចែកមិនដាច់នឹង 5 ។
C: គេចាប់បានប៊ូលតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង 4 ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

ក. ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច $C$ សមីការ $z^2-8z+64=0$ ។
ខ. គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4+4i\sqrt{3}$ និង $z_2=4-4i\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $(2z_1+z_2)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងគណនា $(2z_1+z_2)^3$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

$I = \int_0^1 (x^2+1)^2dx$, $J = \int_0^{\ln 6} (e^x-1)dx$ និង $K = \int_0^{\frac{\pi}{4}} [\sin(3x+\frac{\pi}{4}) + \sin^4 x \cos x] dx$ ។

V. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

១. ក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ គេមានចំណុច $A(1,-1,4), B(7,-1,-2)$ និង $C(1,5,-2)$ ។
១. ក. គណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}, \vec{AC}$ និង $\vec{BC}$ ។
ខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថាចំណុច $A, B$ និង $C$ កំណត់បានប្លង់មួយ។
គ. បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ $\vec{n}=(1,1,1)$ ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់នៃប្លង់ $(ABC)$ ។
ឃ. ទាញរកសមីការរបស់ប្លង់ $(ABC)$ ។
២. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស។
៣. គេមានសមីការទូទៅ $y^2+4y-8x-12=0$ ។ ចូរបំលែងសមីការនេះជាទម្រង់ស្តង់ដារនៃប៉ារ៉ាបូល។ ទាញរកកូអរដោនេនៃកំពូល កំណុំ និងសមីការបន្ទាត់ប្រាប់ទិសរបស់ប៉ារ៉ាបូល។

VI. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''+3y'+3y=2y'+5y$ ។ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។ បង្ហាញថាអនុគមន៍ $y=-e^{-2x}+2e^x$ ជាចម្លើយពិសេសមួយនៃសមីការ $(E)$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) អនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $(0,+\infty)$ ដោយ $f(x) = \frac{x^2-2}{x}-\ln x$ ។ តាង $(C)$ ក្រាបរបស់អនុគមន៍ $f$ នៅក្នុងប្លង់ប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេ $(O,\vec{i},\vec{j})$ ។
១. ក. បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ នៅលើ $(0,+\infty)$ គេអាចសរសេរ $f(x) = x(1-\frac{\ln x}{x}-\frac{2}{x^2})$ និង $f(x) = \frac{1}{x}(x^2-x\ln x-2)$ ។
ខ. ដោយប្រើលទ្ធផល ដើម្បីគណនាលីមីតនៃអនុគមន៍ $f$ ត្រង់ $0$ និង $+\infty$ ។
២. ក. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ នៃអនុគមន៍ $f(x)$ និងបង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ $x$ នៅលើ $(0,+\infty)$, $f'(x)$ មានសញ្ញាដូច $(x^2-x+2)$ ។
ខ. សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ រួចសង់តារាងអថេរភាពរបស់វា។
៣. ក. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះទៅក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ នៅលើ $(C)$ ដែលមានអាប់ស៊ីស $1$ ។
ខ. រកកូអរដោនេនៃចំណុច $B$ នៃ $(C)$ ដែលបន្ទាត់ប៉ះទៅនឹង $(C)$ ត្រង់ $B$ ស្របនឹងបន្ទាត់ដែលមានសមីការ $y=x$ ។
៤. សង់ក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $A$ និង $B$ ។ (គេឲ្យតម្លៃ $\ln 2 \approx 0.7$)