វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៥០

I. (១០ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

សរសេរ $z=\frac{2(1+i)^2}{1-i\sqrt{3}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងជាទម្រង់ពិជគណិត ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

មេឃឃ្លោកការកងទ័ពការពារព្រំដែនបានបង្កើតចំនួនសម្ងាត់ដែលជាចំនួនមាន លេខបីខ្ទង់ហើយលេខទាំងបីខ្ទង់នោះខុសគ្នាដោយប្រើលេខ ក្នុងចំណោមលេខ 1 ដល់ 9 ។
ក. តើមេបញ្ជាការអាចបង្កើតកូដចំនួនសម្ងាត់ទាំងអស់ប៉ុន្មានរបៀបខុសគ្នា?
ខ. មេបញ្ជាការបានជ្រើសរើសយកចំនួនសម្ងាត់មួយដោយចៃដន្យ ដើម្បីប្រើក្នុងពេលចេញធ្វើប្រតិបត្តិការសឹក ។ រកប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ
A: "ចំនួនសម្ងាត់ជាចំនួនគត់គូ": "ចំនួនសម្ងាត់ជាចំនួនគត់សេស" ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេឲ្យសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-3y'+2y=2x+1$
ក. ដោះស្រាយសមីការ $(E_1): y''-3y'+2y=0$ ។ កំណត់ចម្លើយ $f$ នៃ $(E_1)$ ដែល $f(0)=3$ និង $f'(0)=4$ ។
ខ. កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $g(x)=ax+b$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) កោនិក

រកអរដោនេនៃផ្ចិត កំពូល និងកំណុំនៃអេលីប $(E): 4x^2+9y^2-8x+36y+4=0$ ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ ។
ខ. រកអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វរវាង $(E)$ និងអ័ក្សទាំងពីរនៃតម្រុយហើយសង់អេលីប $(E)$ ដោយយក $\frac{4\sqrt{2}}{3}=1.9$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

ក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ មួយយកនៅចំណុច $A(2,2,0); B(0,2,2)$ និង $C(1,0,1)$ ។
ក. រកសមីការស្វ៊ែ $(S)$ ដែលមានអង្កត់ផ្ចិត $[AB]$ ។ រកកូអរដោនេ ចំណុចប្រសព្វទាំងពីររវាងស្វ៊ែ $(S)$ និងបន្ទាត់ $(d)$ ដែលមានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $x=1+t; y=2$ និង $z=1+t$ ដែល $t$ ជាចំនួនពិត ។
ខ. រកអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រផលគុណ $\vec{n}=\vec{CA} \times \vec{CB}$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ $\Delta ABC$ ។ រកសមីការប្លង់ $(ABC)$ ។
គ. ប្លង់ $(ABC)$ ជួប $(ox)$ ត្រង់ $M$ និងជួប $(oz)$ ត្រង់ $N$ ។ រកអរដោនេ $M$ និង $N$ ។ បង្ហាញថា $\vec{AB}=\vec{MN}$ និង $\vec{MA}.\vec{MN}=0$ ។ ទាញបញ្ជាក់ថា $ABNM$ ជាចតុកោណកែង ។
ឃ. រកចម្ងាយពីចំណុច $D(0,2,0)$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ ។ ទាញរកមាឌនៃតេត្រាអ៊ែត $DBCA$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន $x$ ដោយ: $y=f(x)=-x-\frac{4\ln x}{x}$ ហើយមានក្រាប $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j})$ មួយ ។
ក. គណនា $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ ទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរនៃក្រាប $(C)$ ។
ខ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(L): y=-x$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ។ សិក្សាទីតាំងរវាង $(C)$ និង $(L)$ ។
គ. បង្ហាញថាដេរីវេ $f'(x) < 0$ បើគេដឹងថា $x^2+4-4\ln x > 0$ ចំពោះ $x>0$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។ បន្ទាត់ $(D)$ ប៉ះនឹងក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ $(L)$ ។ រកកូអរដោនេនៃ $A$ និង សមីការនៃបន្ទាត់ $(D)$ ។
ឃ. សង់ $(L); (D)$ និង $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j})$ ដោយយក $e=2.7; \frac{4}{e}=1.5$ ។ ដោយយក $S(a)$ ជាផ្ទៃក្រឡាផ្ទៃប្លង់កំណត់ដោយក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូតទ្រេត $(L)$ ដែលត្រូវនឹង $1 \le x \le a$ ។ រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឲ្យ $S(a)=2$ ឯកតាក្រឡាផ្ទៃ ។