វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៥១

I. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេឲ្យចំនួនកុំផ្លិចកំណត់ដោយ $A=(\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1)$ និង $B=\frac{x+iy}{1+i}$ ដែល $x; y$ ជាចំនួនពិត ។
ក. សរសេរ $A^2$ ជាទម្រង់ពិជគណិតហើយជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។
ខ. សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពិជគណិត ។ រក $x$ និង $y$ ដោយដឹងថា $2\bar{B}-A^2=0$ ($\bar{B}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $B$) ។

II. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

យើងមានសមីការ $(E): y'-y\ln 3 = 0$ ។
ក. រកសំណុំចម្លើយនៃ $(E)$ ។
ខ. កំណត់ $f$ ដែលជាចម្លើយនៃ $(E)$ ដោយដឹងថា $f(1)=2$ ។
គ. បង្ហាញថា $g(x)=3^{x-1}$ ជាចម្លើយនៃ $(E)$ ។ (សម្គាល់: $U(x)=a^x$ នោះ: $U'(x)=a^x \ln a$) ។

III. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

កំណត់ចំនួនពិត $a; b$ និង $c$ ដើម្បីឲ្យបាន: $\frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x+2}$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ដែល $x \neq -2; x \neq 1$
ខ. គណនាអាំងតេក្រាល $I = \int_{-1}^0 \frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2(x+2)}$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x \ln x + 1}{x^2}; x>0$ ។
ខ. គណនាដេរីវេនៃ $y=e^x \ln(x+1); x>1$ ។ ទាញរកព្រីមីទីវនៃ $f(x)=e^x \ln(x+1)+\frac{e^x+1}{x+1}$ ដោយដឹងថាព្រីមីទីវនោះស្មើ $1$ ចំពោះ $x=0$ ។

V. (៣៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅវិជ្ជមាន $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $S(0,0,3)$ និង $\vec{u}=(1,1,1)$ ។
ក. រកសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ $(D)$ ដែលកាត់តាមចំណុច $S$ ហើយស្របនឹងវ៉ិចទ័រ $\vec{u}$ ។
ខ. $M(x,y,z)$ ជាចំណុចមួយនៅក្នុងតម្រុយ $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ។ គណនាផលគុណស្កាលែ $\vec{u}.\vec{SM}$ ។
គ. រកសមីការមួយដែលជាប់ទាក់ទងនឹង $x; y; z$ ដើម្បីអោយវ៉ិចទ័រ $\vec{SM}$ អូតូណរមាល់នឹងវ៉ិចទ័រ $\vec{u}$ ។ តើសំណុំចំណុច $M$ ជាអ្វី?
ឃ. គេឲ្យចំណុច $A(3,0,0)$ និង $B(0,3,0)$ ។ បង្ហាញថាត្រីកោណ $SAB$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស ។
ង. គណនាផលគុណវ៉ិចទ័រ $\vec{SA} \times \vec{SB}$ ។ ទាញរកផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $SAB$ ។
ច. រកសមីការស្វ៊ែដែលមានផ្ចិត $O$ ហើយកាត់តាមចំណុច $S, A$ និង $B$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x \in D = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$ ដោយ $y=f(x)=-\frac{x}{2} + \ln(\frac{x-1}{x})$ ហើយមានខ្សែកោង $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមួយ ។
ក. គណនា $\lim_{x\to-\infty} f(x), \lim_{x\to 0^-} f(x), \lim_{x\to 1^+} f(x), \lim_{x\to +\infty} f(x)$ ។ រួចទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតឈរទាំងពីរនៃ $(C)$ ។
ខ. គណនា និងសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ (បើគេដឹងថា $x(x-1)>0$ ចំពោះគ្រប់ $x \in D$) ។ គណនាតម្លៃអប្បបរមា និងអតិបរមានៃ $f$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f$ ។
គ. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(L): y=-\frac{x}{2}$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃខ្សែែកោង $(C)$ ។
ឃ. សង់អាស៊ីមតូតទាំងអស់ និងខ្សែកោង $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមួយ ។ (គេយក $\ln 2 = 0.7; \ln(1/2) = -0.7$) ។
ង. រកតម្លៃ $a$ ដើម្បីឲ្យសមីការ $-\frac{x}{2} + \ln(\frac{x-1}{x}) = a$ មានឫសពីរផ្សេងគ្នា ដោយប្រើខ្សែកោង $(C)$ ។