វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៥២

I. (១០ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

ក. (១០ ពិន្ទុ) កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យ $x_1=1+i\sqrt{3}$ ជាឫសមួយនៃសមីការ $x^2+ax+b=0$ ។
ខ. រកឫស $x_2$ មួយទៀតនៃសមីការ ។ សរសេរ $Z=(\frac{x_1}{x_2})^2$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{x^2+x}$
ខ. $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x + 2}{x+1}$

III. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

គេប្រើលេខពី 0 ដល់ 9 ដើម្បីសរសេរចំនួនដែលមានលេខ 4 ខ្ទង់ដោយខ្ទង់ដើមបង្អស់ប្រើលេខ 0 ទេ។
ក. តើគេអាចសរសេរបានប៉ុន្មានចំនួនខុសៗគ្នាតាមរបៀបខាងលើនេះ?
ខ. តើមានប៉ុន្មានចំនួនដែលមានលេខទាំង 4 ខ្ទង់ខុសៗគ្នា?
គ. តើមានប៉ុន្មានចំនួនដែលមានលេខទាំង 4 ខ្ទង់ដូចគ្នា?

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការ $y''-2y'+5y=0$ បើយើងដឹងថា $y(0)=-1$ និង $y'(0)=1$ ។

V. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

កំណត់ចំនួនពិត $a, b$ និង $c$ ដើម្បីឲ្យ $\frac{2x+1}{x^2(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x+1}$ ចំពោះគ្រប់ $x$ ដែល $x \neq 0, x \neq -1$ ។
ខ. គណនាអាំងតេក្រាល: $I = \int_1^2 \frac{2x+1}{x^2(x+1)}dx$ ។

VI. (៣០ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ដោយចំពោះ: $x>0$ ដោយ $y=f(x)=1-\frac{\ln x}{x^3}$ ហើយមានខ្សែកោង $(C)$ ។
ក. គណនា $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ និង $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ ។ កំណត់សមីការអាស៊ីមតូតឈរ និងដេកនៃក្រាប $(C)$ ។
ខ. បង្ហាញថា $f$ មានតម្លៃអប្បបរមាត្រង់ $x=\sqrt[3]{e}$ ។ គណនា $f(\sqrt[3]{e})$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃអនុគមន៍ $f$ ។
គ. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $M$ រវាងខ្សែែកោង $(C)$ និងអាស៊ីមតូតដេក ។ សរសេរសមីការបន្ទាត់ $(T)$ ដែលប៉ះ $(C)$ នៅត្រង់ចំណុច $M$ ។
ឃ. សង់បន្ទាត់ $(T)$ និងខ្សែកោង $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេមួយ ។ គេឲ្យ $(e=2.7; \sqrt[3]{e}=1.4; \frac{1}{3e}=0.12)$ ។
កំណត់តម្លៃ $k$ ដើម្បីឲ្យវិសមីការ $1-\frac{\ln x}{x^3} > k$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ $x>0$ ដោយប្រើក្រាប $(C)$ ។

VII. (៣៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

នៅក្នុងតម្រុយអូតូណរមេ $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(1,0,1)$ និងវ៉ិចទ័រ $\vec{AB}=(-1,2,1)$ ។
ក. គណនាកូអរដោនេនៃចំណុច $B$ ។ រកសមីការប្លង់ $P$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយកែងនឹង $\vec{AB}$ ។
ខ. គេឲ្យចំណុច $C(2,1,0)$ និង $D(1,3,1)$ ។ រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ $\vec{AC}$ និង $\vec{CD}$ ។ គណនា $\vec{AB}.\vec{AC}$ រួចបង្ហាញ $ABCD$ ជាចតុកោណកែង ។
គ. គណនា $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ។ ទាញរកក្រឡាផ្ទៃនៃចតុកោណ $ABCD$ ។
ឃ. រកមាឌចតុមុខ $OABC$ ។ ទាញរកចម្ងាយពី $O$ ទៅប្លង់ $(ABC)$ ។