វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៥៣

I. (១០ ពិន្ទុ) សមីការ និង ដេរីវេ

ក. (១០ ពិន្ទុ) កំណត់ចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍ $y=\frac{ax^2+bx}{x^2+1}$ មានបរមាដែកមួយគាត់ និងខ្សែកោងនៃអនុគមន៍នោះមានបន្ទាត់ $y=2$ ជាអាស៊ីមតូតដេក ។

II. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការ $y''+4y=0$ បើ $y(0)=1; y'(0)=-1$ ។

III. (១០ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រ

ចូររកកំពូល $S$ និងកំណុំ $F$ របស់ប៉ារ៉ាបូល $x^2-4x-12y+16=0$ ។

IV. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

គេចង់ជ្រើសរើសយកសិស្ស 3 នាក់ក្នុងចំណោមសិស្ស 10 នាក់ដែលនៅក្នងនោះមានសិស្សប្រុស 6 នាក់ និងសិស្សស្រី 4 នាក់ ។ រកប្រូបាបដែលគេជ្រើសរើសបានសិស្សប្រុស 2 នាក់ និងសិស្សស្រី 1 នាក់ ។

V. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឲ្យ $2xi-y = \frac{(3-2i)(1+i)}{i(1+2i)}$ ។
ខ. គេមាន $z=\cos \frac{2\pi}{9} + i\sin \frac{2\pi}{9}$ ។ ចូរសរសេរ $(1+z)^4$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។

VI. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាអាំងតេក្រាល

គេឲ្យអនុគមន៍ $g$ មួយកំណត់ដោយ $g(x) = \frac{x^2+x-6}{x^2-2x-3}$ ។
ក. កំណត់ចំនួនពិត $m, n$ និង $p$ ដើម្បីឲ្យបាន $g(x)=m+\frac{n}{x+1}+\frac{p}{x-3}$ ចំពោះគ្រប់ $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\}$ ។
ខ. គណនា $I = \int_0^2 g(x)dx$ ។

VII. (២៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

នៅក្នុងលំហប្រដាប់ដោយតម្រុយអូតូណរមេមានទិសដៅ $(o, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ គេឲ្យចំណុច $A(3,2,0)$ និង $K(0,-1,3)$ ។
ក. ចូរសរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ ដែលកាត់តាម $A$ ហើយកែងនឹងបន្ទាត់ $(AK)$ ។
ខ. គេឲ្យចំណុច $B(5,0,0); C(0,5,0)$ និង $D(0,0,-5)$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $B, C$ និង $D$ ជាចំណុចរបស់ប្លង់ $(P)$ ។
គ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ $\Delta BCD$ ។
ឃ. គណនាប្រវែង $AK$ រួចទាញរកមាឌនៃតេត្រាអ៊ែត $KBCD$ ។

VIII. (៣០ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

$f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ចំពោះ $x>0$ ដោយ $f(x)=1+2(\frac{\ln x}{x})$ ហើយ មានក្រាប $(C)$ ។
ក. គណនា $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ និង $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ រួចទាញរកសមីការអាស៊ីមតូតដេក និងឈរនៃក្រាប $(C)$ ។
ខ. គណនាដេរីវេ $f'(x)$ រួចសិក្សាសញ្ញានៃ $f'(x)$ ។ សង់តារាងអថេរភាពនៃ $f(x)$ ។
គ. កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វ $A$ រវាងក្រាប $(C)$ និងបន្ទាត់ $(D): y=1$ កំណត់សមីការបន្ទាត់ $(L)$ ដែលប៉ះក្រាប $(C)$ ត្រង់ចំណុច $A$ ។
ឃ. ចូរគណនា $f(\frac{1}{2})$ សង់បន្ទាត់ $(L)$ អាស៊ីមតូត និងក្រាប $(C)$ នៅក្នុងតម្រុយតែមួយ (គេយក $e=2.7; 2/e=0.7, \ln 2=0.7$) ។