វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៥៧

I. (១៥ ពិន្ទុ) គណនាលីមីត

ក. $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$
ខ. $\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-\cos 2x}{x^2}$
គ. $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x^2+4x}-x)$

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

គេបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ពីរដង។
១. រកចំនួនករណីអាច។
២. រកប្រូបាបដែលផលបូកលេខលើមុខគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរស្មើ ៥។
៣. រកប្រូបាបដែលមុខគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរចេញលេខដូចគ្នា។

III. (១៥ ពិន្ទុ) ចំនួនកុំផ្លិច

គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z = \frac{2+2i}{1-i}$ ។
១. សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពិជគណិត $a+bi$ ។
២. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
៣. គណនា $z^{12}$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គេមានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $(E): y''-4y'+3y=0$ ។
១. រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $(E)$ ។
២. កំណត់ចម្លើយពិសេសមួយនៃ $(E)$ ដោយដឹងថាក្រាបនៃអនុគមន៍ចម្លើយ ប៉ះនឹងបន្ទាត់ $y=x$ ត្រង់ចំណុចគល់តម្រុយ $O$ ។

V. (១០ ពិន្ទុ) កោនិក

រកសមីការនៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $V(2, -3)$ និងកំណុំ $F(2, -1)$ ។ សង់ប៉ារ៉ាបូលនោះ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេឲ្យអនុគមន៍ $f$ កំណត់លើ $\mathbb{R}$ ដោយ $f(x) = x-2+2e^{-x}$ ។
១. គណនាលីមីតត្រង់ $-\infty$ និង $+\infty$ ។
២. បង្ហាញថាបន្ទាត់ $(d): y=x-2$ ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃក្រាប $(C)$ ត្រង់ $+\infty$ ។ សិក្សាទីតាំង។
៣. គណនា $f'(x)$ និងសង់តារាងអថេរភាព។
៤. រកគូអរដោនេចំណុចប្រសព្វរវាងក្រាប $(C)$ និងអ័ក្ស $(Oy)$ ។ សរសេរសមីការបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ចំណុចនោះ។
៥. សង់ក្រាប $(C)$ និងអាស៊ីមតូត។