វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យា ទី៥៩

I. (១៥ ពិន្ទុ)

១. គណនាលីមីត $A = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x\sqrt{2})}{x^2}$ ។
២. គណនាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z = (-1+i\sqrt{3})(1+i)$ ។

II. (១០ ពិន្ទុ) ប្រូបាប

ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្ស ២០ នាក់ (ស្រី ៨ នាក់)។ គេជ្រើសរើសសិស្ស ៣ នាក់ដោយចៃដន្យដើម្បីទៅចូលរួមកម្មវិធីមួយ។
១. រកប្រូបាបដែលសិស្សទាំង ៣ នាក់សុទ្ធតែជាស្រី។
២. រកប្រូបាបដែលយ៉ាងហោចណាស់មានសិស្សប្រុសម្នាក់។

III. (១៥ ពិន្ទុ) អាំងតេក្រាល

គេមានអនុគមន៍ $f(x) = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}$ ។
១. កំណត់ $A$ និង $B$ ដើម្បីឲ្យ $f(x) = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$ ។
២. គណនា $I = \int_0^1 f(x) dx$ ។

IV. (១៥ ពិន្ទុ) ធរណីមាត្រក្នុងលំហ

គេឲ្យស្វ៊ែ $(S): x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ ។
១. រកកូអរដោនេផ្ចិត $I$ និងកាំ $R$ នៃស្វ៊ែ។
២. សរសេរសមីការប្លង់ $(P)$ ប៉ះនឹងស្វ៊ែ $(S)$ ត្រង់ចំណុច $A(1, 1, 6)$ ។ (ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $A$ នៅលើស្វ៊ែជាមុនសិន)។

V. (១០ ពិន្ទុ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដោះស្រាយសមីការ $(E): y''+9y=0$ ។ រកចម្លើយ $f(x)$ ដែល $f(0)=1$ និង $f(\frac{\pi}{2})=2$ ។

VI. (៣៥ ពិន្ទុ) សិក្សាអនុគមន៍

គេមានអនុគមន៍ $g(x) = 1-x+x\ln x$ កំណត់លើ $(0, +\infty)$ ។
១. គណនា $g'(x)$ ។ សិក្សាអថេរភាពនៃ $g$ ។
២. បង្ហាញថា $g(x) \ge 0$ ចំពោះគ្រប់ $x > 0$ ។
៣. គេមានអនុគមន៍ $f(x) = \ln x - x + 1$ ។
១. រកដែនកំណត់ និងលីមីតចុងដែន។
២. សិក្សាអថេរភាព។
៣. សង់ក្រាប។